Développement décimal
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En mathématiques, le développement décimal est une façon d'écrire des nombres réels positifs à l'aide des puissances de 10 (négatives ou positives). Lorsque les nombres sont des entiers naturels, le développement décimal correspond à l'écriture en base 10. Lorsqu'ils sont décimaux, on obtient un développement décimal (En mathématiques, le développement décimal est une façon d'écrire des nombres réels positifs à l'aide des puissances de 10 (négatives ou positives). Lorsque les nombres sont des entiers naturels, le développement...) limité. Lorsqu'ils sont rationnels, on obtient un développement décimal illimité périodique. Enfin, lorsqu'ils sont irrationnels, le développement décimal est illimité et non périodique.

Cas des nombres entiers

Tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) entier possède une écriture décimale qui nous est naturelle car enseignée depuis notre enfance. Nous prenons conscience du fait qu'il ne s'agit que d'une écriture lorsque les circonstances nous mettent en contact avec d'autres systèmes de numération.

Exemple : 123 827 = 1×105 + 2×104 + 3×103 + 8×102 + 2×101 + 7×100

Cas des nombres décimaux

Un nombre décimal est un nombre pouvant s'écrire sous la forme \frac{N}{10^n}N et n sont des entiers relatifs.

Un nombre décimal positif possède alors un développement décimal limité comportant des puissances de 10 à exposant (Exposant peut signifier:) négatif mais le plus petit exposant ne peut être que - n.

Exemple : \frac{1267}{625} = \frac{1267 \times 16}{10000} = \frac{2.10^4 + 2.10^2 + 7.10^1 + 2.10^0}{10^4}

\frac{1267}{625} = 2.10^0 + 2.10^{-2} + 7.10^{-3} + 2.10^{-4}

Et on vérifie très simplement à l'aide d'une calculatrice (Une calculatrice, ou calculette, est une machine conçue pour effectuer des calculs. D'abord mécanique, la machine à calculer est devenue électronique dans les...) que \frac{1267}{625} = 2,0272

Réciproquement : tout nombre possédant un développement décimal limité est un nombre décimal car il suffit de le multiplier par la puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) de 10 adéquate pour retomber sur un entier.

Cas des nombres rationnels

Aborder l'écriture décimale de certains nombres rationnels nous fait rentrer dans le monde (Le mot monde peut désigner :) de l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.) car l'écriture ne s'arrête jamais. On parle de développement décimal illimité.

exemple: Division (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par l'inverse du second. Si un nombre est non nul, la fonction "division par ce nombre"...) de 13 par 7

 
 13          |7 
 60         |1,85714285... 
 40        | 
 50       | 
 10      | 
 30     | 
 20    | 
 60   | 
 40  | 
 

Puisque l'on obtient de nouveau le reste 6 (avant dernière ligne), en abaissant le 0, on se trouvera à diviser encore 60 par 7 à réobtenir pour quotient 8, pour reste 4 etc. Le cycle 857142 s'appelle la période du développement décimale illimité périodique. On écrira \frac{13}{7} = 1,\overline{857142}.

La période du développement décimal ne commence pas toujours juste après la virgule : \frac{83}{70} = 1,1\overline{857142}.

On peut démontrer que tout nombre rationnel (Un nombre rationnel est un nombre réel exprimable par le quotient de deux entiers relatifs (), dont le second est non nul. L'ensemble des nombres rationnels est noté .) possède un développement décimal illimité périodique. Pour le comprendre, il suffit de généraliser le principe de la division précédente. Supposons que l'on divise P par Q, dans la division de P par Q, on est amené, pour les décimales après la virgule, à " abaisser des zéros ". Si le reste précédent est r, on cherche alors à diviser 10r par Q. Les restes de la division sont en nombre fini (0, 1, ..., Q - 1), donc on ne peut pas prolonger indéfiniment la division sans rencontrer deux restes identiques. Si on appelle r1 et r'1 les deux premiers restes identiques, on voit que la division de 10r1 par Q sera identique à celle de 10r2 par Q, donnera le même quotient q1 = q'1 et même reste r2 = r'2 et ainsi de suite.

Un nombre décimal possède aussi un développement décimal illimité de période 0.

Réciproquement, tout développement décimal illimité périodique correspond à l'écriture d'un rationnel.

Exemple : 3,25723723723... = x
100x = 325,723723723...
100x - 325 = y = 0,723723723... On peut remarquer que, si y est rationnel, x le sera aussi.
y = 0,723723....
1000y = 723,723723723...
1000y = 723 + y
999y = 723
y = \frac{723}{999}. y est alors un rationnel et x aussi.

La méthode se généralise pour tout développement décimal illimité périodique. On se débarrasse de la mantisse (Le terme mantisse (du latin mantissa = addition) a plusieurs sens en mathématiques. On restera donc très vigilant quant à l'utilisation de ce terme.) par une multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) par la puissance de 10 adéquate et par la soustraction (La soustraction est l'une des opérations basiques de l'arithmétique. La soustraction combine deux ou plusieurs grandeurs du même type,...) d'un nombre entier. On obtient alors un nombre y s'écrivant 0,périodepériodepériode.... sur lequel on effectue le même type d'opération que plus haut : multiplication par la puissance de 10 adéquate 10ny = période + y . La résolution de l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à...) précédente prouve que y est rationnel et donc que x est rationnel.

Cette méthode de décalage sera employée par la suite pour calculer de façon analogue la somme des termes d'une suite géométrique (En mathématique, on appelle suite géométrique une suite u définie sur à valeurs dans un corps E, et telle qu'il existe un élément q de appelé raison pour...).

Cas particulier de 0,99999999... = y.

En utilisant la technique précédente, on obtient 10y = 9,99999... = 9 + y. La résolution de l'équation précédente mène donc à y = 1.

1 possède donc deux " développements décimaux illimités " périodiques : 1,000000... et 0,9999.... Selon la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) d'un développement décimal illimité sur \mathbb{R}, seul sera retenu le premier développement illimité, le second s'appelant un développement impropre.

Cas des nombres réels

Si x est un nombre réel, on construit les suites de nombres décimaux suivantes :

u_n = \frac{E(10^n \times x)}{10^n} et v_n = \frac{E(10^n \times x) + 1}{10^n} où E(a) = partie entière (En mathématiques, la fonction partie entière est la fonction définie de la manière suivante :) de a

un s'appelle l'approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore assez significative pour être utile. Bien qu'une...) décimale de x par défaut à 10-n et vn celle par excès.

On démontre facilement que un et un+1 ne diffèrent (éventuellement) que sur la n+1e décimale qui est de 0 pour un et de an+1 pour un+1.

un s'écrit alors

u_n = \sum_{k = 0}^{n}a_k10^{-k}

où tous les ak pour k = 1 à n sont des entiers compris dans {0, ..., 9}

On démontre aussi que (un) et (vn) sont des suites adjacentes encadrant x donc elles convergent ( en astronautique, convergent en mathématiques, suite convergente série convergente ) vers x. On appelle alors développement décimal illimité la suite (an) et on remarquera que

x = \sum_{k = 0}^{+ \infty}a_k10^{-k}.

Réciproquement, si (an) est une suite d'entiers tels que tous les ak pour k = 1 à n sont des entiers compris dans {0, ..., 9}, on démontre que la série U_n = \sum_{k = 0}^{n}a_k10^{-k} est convergente dans R vers un réel x = \sum_{k = 0}^{+ \infty}a_k10^{-k}. Il faut maintenant distinguer deux cas:

  • Si la suite (an) converge vers 9 (tous les termes égaux à 9 à partir d'un certain rang ( Mathématiques En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par cette famille. Le théorème du rang lie le rang et la dimension...) k). Alors x est un décimal d'ordre k - 1. La suite (un) définie dans la première partie ne coincidera pas à la suite (Un). La suite (an) ne sera pas appelée un DDI.
  • Si la suite ne converge pas vers 9, la suite (un) définie dans la première partie coincidera à la suite (Un) . La suite (an) sera appelée un DDI.

Cette construction d'un développement illimité permet de retrouver le développement d'un décimal 3,5670000.... , d'un rationnel 3,25743743743...... non impropre.

On démontre que cette définition construit une bijection (Une fonction f: X → Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y dans l’ensemble d'arrivée Y il existe un et un seul...) entre les réels et les suites (an) d'entiers tels que tous les ak pour k = 1 à n sont des entiers compris dans {0, ..., 9} ne convergeant pas vers 9.

Régularité dans les développement décimaux illimités

Sauf pour les décimaux et les rationnels dont le développement illimité est périodique, il n'est en général pas possible de " prévoir " les décimales d'un réel. Seuls des calculs poussés permettent de découvrir les premières décimales (on connaît jusqu'à présent les 1 241 100 000 000 premières décimales de π.

Des études portant sur la fréquence (En physique, la fréquence désigne en général la mesure du nombre de fois qu'un phénomène périodique se reproduit par unité de temps. Ainsi lorsqu'on emploie le mot fréquence sans...) des entiers dans les développement décimaux de \sqrt{2} ou de π sont menées (à compléter par des spécialistes....)

Lorsque les fréquences d'apparition de chaque chiffre (Un chiffre est un symbole utilisé pour représenter les nombres.) est de 10% dans le développement décimal, on dit que le réel est un nombre normal.

Curiosités

  • Le réel dont le développement décimal est 0,1234567891011121314151617... possède un développement décimal prévisible non périodique. Ce réel est la constante de Champernowne, du nom du mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité...) anglais qui l'a inventé en 1933. Ce nombre est évidemment irrationnel, mais aussi transcendant (prouvé par Kurt Mahler en 1961).
  • La constante de Copeland-Erd?s 0,2357111317192329313741... constituée de la succession des nombres premiers.
  • Le réel dont le développement décimal est 0,110001000000000000000001..., c'est-à-dire la somme des puissances factorielles négatives de 10 (10-1 + 10-2 + 10-6 + ...+ 10 -k! + ...) possède un développement décimal prévisible non périodique. Ce réel est la constante de Liouville, du nom du mathématicien français qui l'a inventé. Ce nombre est irrationnel, mais aussi transcendant (prouvé par Joseph Liouville).
  • Le développement décimal est impossible dans un système positionnel sans zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr, d’abord transcrit zefiro en italien) est un symbole marquant une position vide dans l’écriture des...), c'est-à-dire que le développement décimal dépend non seulement d'un système de numération (Un système de numération est un ensemble de règles d'utilisation des signes, des mots ou des gestes permettant d'écrire, d'énoncer ou de mimer des nombres. Sous leur...) positionnel, mais également de l'usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) du zéro positionnel.

Développement en base quelconque

Utiliser un développement décimal fait jouer un rôle particulier à la base 10. Tout ce qui précède s'applique à n'importe quel nombre entier b (comme base), supérieur à 1. Cette fois, les nombres admettant deux développements seront ceux de la forme \frac{a}{b^k}\,, les nombres rationnels restant cararactérisés par la périodicité de leur développement.

En fait la base 10 présente surtout un intérêt pratique, c'est celle à laquelle nous sommes habitués. Les bases 2 et 3 notamment sont très intéressantes. Plaçons nous en base 2. L'application de d:\{0,1\}^\N \rightarrow [0,1] qui associe à une suite (\epsilon_n)_{n\ge 1}, où εnl, vaut 0 ou 1, le nombre \sum_{n=1}^\infty\frac{\epsilon_n}{2^n} est surjective (car tout nombre réel admet un développement en base 2). Elle n'est pas bijective, puisque précisément les rationnels dyadiques, c’est-à-dire ceux de la forme \frac{a}{2^k}, admettent deux développements.

Plaçons nous maintenant en base 3. L'application qui aà la même suite (\epsilon_n)_{n\ge 1} associe le nombre \sum_{n=1}^\infty\frac{2\epsilon_n}{3^n} est maintenant injective. Elle n'est pas surjective : son image est l'ensemble de Cantor (L'ensemble de Cantor (ou ensemble triadique de Cantor, ou poussière de Cantor) est un sous-ensemble remarquable de la droite réelle construit par le...). On peut tirer de cette repésentation des choses curieuses, par expemple une application continue du segment [0,1]\, sur le carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre...) [0,1]\times[0,1]\,. Cliquer ici pour les détails.

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