Produit cartésien
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En mathématiques, le produit cartésien de deux ensembles X et Y est l'ensemble de tous les couples, dont la première composante appartient à X et la seconde à Y. On généralise facilement la notion de produit cartésien (En mathématiques, le produit cartésien de deux ensembles X et Y est l'ensemble de tous les couples, dont la première composante appartient à X et la seconde à Y. On généralise facilement la notion de produit cartésien binaire à celle de...) binaire à celle de produit cartésien fini, qui est alors un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout »,...) de multiplets, on dit n-uplets pour les éléments d'un produit cartésien de n ensembles. On peut aussi introduire la notion de somme disjointe (ou cartésienne). Pour généraliser aux produits cartésiens infinis, des produits d'une famille quelconque (éventuellement infinie) d'ensembles, on a besoin (Les besoins se situent au niveau de l'interaction entre l'individu et l'environnement. Il est souvent fait un classement des besoins humains en trois grandes catégories : les besoins primaires, les besoins...) de la notion de fonction.

Les produits cartésiens doivent leur nom à René Descartes, qui, en créant la géométrie analytique (La géométrie analytique est une approche de la géométrie dans laquelle on représente les objets par des équations ou inéquations. Le plan ou l'espace est...), a le premier utilisé ce que nous appelons maintenant, \ _\mathbb R2   =   \ _\mathbb R x \ _\mathbb R   pour représenter le plan euclidien et   \ _\mathbb R3   =   \ _\mathbb R x \ _\mathbb R x \ _\mathbb R   pour représenter l'espace euclidien (Un espace euclidien, dans la conception actuelle, est un espace vectoriel ou affine réel de dimension finie muni d'un produit scalaire. Dans un tel espace, on peut traiter des questions de longueur ou d'orthogonalité. En...) tri-dimensionnel (\ _\mathbb R désigne la droite réelle).

Produit cartésien de deux ensembles

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions...)

Pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) ensemble A et tout ensemble B, il existe un unique ensemble dont les éléments sont les couples dont la première composante appartient à A et la seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de mesure du temps. La...) à B :

\forall A \; \forall B \; \exists! P\;\forall x \; \forall y \;[( x \in A  \wedge  y \in B ) \Leftrightarrow ( x , y ) \in P]

Cet ensemble est noté " A x B " (lire " A croix B ") et il est appelé produit cartésien de A par B.

Si on considère couples et produits cartésiens comme une notion primitive, on aura comme axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en soi ») désigne une vérité...) cette propriété d'existence et d'unicité. Elle se démontre en théorie des ensembles (La théorie des ensembles est une branche des mathématiques créée initialement par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du...), pour la représentation des couples choisie.

Exemple

Si A est l'ensemble { A, R, D, V, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 } et B l'ensemble { pique, cœur, carreau, trèfle (Les trèfles sont des plantes herbacées de la famille des Fabacées (Légumineuses), appartenant au genre Trifolium.) }, alors le produit cartésien de ces deux ensembles est l'ensemble à 52 éléments suivant :

{ (A, pique), (R, pique), ... (2, pique), (A, cœur), ... (3, trèfle), (2, trèfle) }.

Propriétés

  • Par définition, le produit cartésien d'un ensemble par l'ensemble vide (En mathématiques, l'ensemble vide est l'ensemble ne contenant aucun élément.) est égal à l'ensemble vide :
\forall\ A ,\ \varnothing \times A = A \times \varnothing = \varnothing \,
  • Si A et B sont de cardinaux finis, alors le cardinal de A x B est égal au produit des cardinaux de A et de B.
  • En règle générale, B x AA x B. Plus précisément :
\forall\ A , \forall\ B ,\ [\ A \times B \ne B \times A \ ] \Leftrightarrow [\ ( A \ne B ) \wedge ( A \ne \varnothing ) \wedge ( B \ne \varnothing ) \ ] \,
  • A x A est noté A2 (lire " A au carré ") et appelé carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses...) cartésien de A :
A^2 = \{ ( x, y ) | ( x \in A ) \wedge ( y \in A ) \}

A2 ne doit pas être confondu avec ΔA (lire " delta A "), diagonale (On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non reliés par un côté). Un polygone à n...) de A :

\Delta A = \{ ( x, x ) |  x \in A  \}

Remarque : La diagonale d'un ensemble se confond avec son carré cartésien si et seulement si cet ensemble est vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) ou se réduit à un singleton.

  • Les sous-ensembles d'un produit cartésien sont appelés graphes.

Représentation en théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur l’observation ou...) des ensembles

En théorie des ensembles, si on choisit, comme usuellement, la représentation des couples de Kuratowski, les couples dont la première composante est dans A et la seconde dans B sont des éléments de \ _\mathfrak P [ \ _\mathfrak P ( A \  _{ \cup } B ) ]   (où \ _\mathfrak P ( E ) désigne l' ensemble des parties de E). L'existence de cet ensemble résulte de l'axiome de la réunion (Dans la théorie axiomatique des ensembles et dans les branches de la logique, des mathématiques, et de l'informatique, l'axiome de la réunion est l'un des axiomes de...) et de l'axiome de l'ensemble des parties.

On peut donc définir le produit cartésien par compréhension, on aura bien sûr besoin des couples, donc, en plus des axiomes précédents, de l'axiome de la paire (En mathématiques, l'axiome de la paire est l'un des axiomes de la théorie axiomatique des ensembles, plus précisément des théories des ensembles de Zermelo et...) et du schéma d'axiomes de compréhension :

A \times B = \left \{ (a, b)| ( a \in A ) \wedge ( b \in B ) \right \}=\left \{z\in \mathfrak P(\mathfrak P(A\cup B))|\exists a \in A\; \exists b \in B\  z = (a,b) \right\}

Généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les détails de façon à ce qu'ils puissent être...) à plus de deux ensembles

Triplets

Comme pour les couples, l'important, c'est leur propriété fondamentale : deux triplets sont égaux si et seulement si leurs premières composantes sont égales entre elles, puis leurs deuxièmes composantes, et enfin leurs troisièmes :

\forall a , \forall b , \forall c , \forall d , \forall e , \forall f , [\, ( a , b , c ) = ( d , e , f ) \,] \Leftrightarrow [\, ( a = d ) \wedge ( b = e ) \wedge ( c = f ) \,]

Là encore, cette propriété ne suffit pas à définir la notion de triplet, et là encore, plusieurs définitions incompatibles entre elles sont possibles a priori. On pose habituellement :

\forall a , \forall b ,  \forall c , ( a , b , c ) = ( ( a , b ) , c )

Produit cartésien de trois ensembles

Il est défini par :

A \times B \times C = \left \{ ( a, b, c ) | ( a \in A ) \wedge ( b \in B ) \wedge ( c \in C ) \right \}

D'après ce qui précède, A x B x C = ( A x B ) x C. Là encore l'ordre des termes est important. Le produit A x A x A est appelé cube (En géométrie euclidienne, un cube est un prisme dont toutes les faces sont carrées. Les cubes figurent parmi les solides les plus remarquables de l'espace. C'est un des...) cartésien de A et il est noté A3 (lire " A au cube ") :

A^{3} = \{ ( x, y , z) | ( x \in A ) \wedge ( y \in A ) \wedge ( z \in A ) \}

Multiplets

Les définitions précédentes se généralisent par récurrence :

  • Propriété fondamentale d'un multiplet d'ordre n, ou n-uplet :
\forall a_{1} , \forall a_{2} , \cdots , \forall a_{n} , \forall b_{1} , \forall b_{2} , \cdots , \forall b_{n} ,
[\, ( a_{1} , a_{2} , \cdots a_{n} ) = ( b_{1} , b_{2} , \cdots b_{n} ) \,] \Leftrightarrow [\, ( a_{1} = b_{1} ) \wedge ( a_{2} = b_{2} ) \wedge \cdots ( a_{n} = b_{n} ) \,]
  • Définition d'un n-uplet :
\forall a_{1} , \forall a_{2} , \cdots \forall a_{n} , ( a_{1} , a_{2} , \cdots a_{n-1} , a_{n} ) = ( ( a_{1} , a_{2} , \cdots a_{n-1} ) , a_{n} )
  • Produit cartésien de n ensembles :
A_{1} \times A_{2} \times \cdots \times A_{n-1} \times A_{n} = ( A_{1} \times A_{2} \times \cdots \times A_{n-1} ) \times A_{n}
  • Puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) cartésienne n-ième d'un ensemble :
A^{n} = A^{n-1} \times A = \prod_{i=1}^n A = \{ ( x_1 , x_2 , \cdots x_n ) | \,\forall i , x_i \in A \,\}

Note : en peut définir des produits cartésiens infinis (voir ci-dessous), mais pour le faire, nous avons besoin de la notion de fonction.

Somme disjointe

Dans une réunion d'ensembles AB, l'origine des éléments y figurant est perdue. Un moyen d'éviter cette perte d'information est de réunir non pas directement les ensembles de départ, mais des copies de ces ensembles de la forme  { α } × A  et  { β } × B , où " α " et " β " sont deux symboles quelconques distincts servant à identifier les ensembles A et B, par exemple " Ø " et " { Ø } ", ou " 0 " et " 1 ".

L' union disjointe, encore appelée somme disjointe ou somme cartésienne de deux ensembles A et B est ainsi définie par :

A + B = A \dot \cup B  = ( \{ 0 \} \times A ) \cup ( \{ 1 \} \times B )

On peut remarquer que la somme disjointe de deux ensembles vérifie également la propriété fondamentale des couples. De plus, contrairement aux couples de Kuratowski, cette notion, qui n'utilise que des opérations ensemblistes élémentaires, peut s'appliquer aux classes propres. C'est pourquoi les sommes disjointes sont parfois appelées couples généralisés, et utilisées ainsi en théorie des classes.

La somme disjointe peut se généraliser à plus de deux ensembles. Par exemple, pour trois ensembles quelconques A, B et C:

A\dot \cup  B \dot \cup  C  = ( \{ 0 \} \times A ) \cup ( \{ 1 \} \times B ) \cup ( \{ 2 \} \times C )

On rappelle que l'entier de von Neumann 2 peut se définir comme {Ø, {Ø}}. Plus généralement, l'entier de von Neumann n étant défini, l'entier de von Neumann n+1 est défini par n+1 = n ∪ {n}.

On peut donc généraliser ce qui précède et définir ainsi la somme disjointe de n ensembles A_0 , A_1, \cdots A_{n-1} quelconques :

A_0 \dot\cup A_1 \dot\cup\cdots\dot\cup A_{n-1} = \bigcup_{i=0}^{n-1}(\{i\}\times A_i)

D'autre part cette définition de la somme disjointe utilise les entiers de la théorie des ensembles, non ceux du méta-langage. On peut donc également généraliser cette notion à des ensembles quelconques (non nécessairement finis) d'index, par exemple des réunions disjointes dénombrables.

Produits infinis

On peut généraliser la notion de produit cartésien à celle de produit d'une famille d'ensembles indexée par un ensemble quelconque, fini ou infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque...).

Bien que plus générale, cette notion peut difficilement être introduite en théorie des ensembles avant celle de produit cartésien binaire, du moins naturellement, car elle fait appel à la notion de fonction, qui utilise à son tour justement celle de couple, et donc de produit cartésien binaire.[1]

Famille d'ensembles

Une famille A d'ensembles indexée par un ensemble I est une fonction définie sur I. L'image de i par A est notée Ai. Il s'agit juste d'une notation (adaptée à un certain usage) pour une construction connue.

  • LA famille A indexée par I sera plutôt notée { Ai } i∈I. Au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du...) de la théorie des ensembles, la famille { Ai } i∈I peut être assimilée à son graphe (Le mot graphe possède plusieurs significations. Il est notamment employé :), l'ensemble des couples ( i, Ai ), pour i ∈ I.
  • Toutefois, la réunion (La Réunion est une île française du sud-ouest de l'océan Indien située dans l'archipel des Mascareignes à environ 700 kilomètres à l'est de Madagascar et à 170...) d'une famille { Ai } i∈I, notée \bigcup_{i \in I}\, \begin{matrix} \, \\ A_i \end{matrix} \,, désigne bien la réunion des images Ai de la famille en tant que fonction, et non celle des éléments de la famille en tant que graphe, qui sont au sens strict les couples ( i, Ai ).

Produit cartésien d'une famille d'ensembles

On peut maintenant définir le produit cartésien d'une famille d'ensembles { Ai } i∈I, que l'on note habituellement \prod_{i \in I}\, \begin{matrix} \, \\ A_i \end{matrix} \,, ou parfois \begin{matrix} \, \\ \times \\ \,^{i \in I} \end{matrix} \, \begin{matrix} \, \\ A_i \end{matrix} \,.

Il s'agit de l'ensemble des fonctions f de I dans la réunion de la famille, telles que pour tout i dans I, f(i) appartienne à Ai :

\prod_{i \in I} A_i = \{ f : I \to \bigcup_{i \in I} A_i \ |\ \forall\ i , \, f(i) \in A_i \} \,
  • Pour utiliser cette définition, il faut pouvoir extraire d'un élément du produit sa composante d'index j, élément de I.

Pour cela, on définit pour tout j dans I, la fonction appelée j-ème projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la surface plane d'une carte.),

\pi_{j} : \prod_{i \in I} A_i \to A_{j},

par :

\pi_{j}(f) = f(j)\,.
  • On peut énoncer l'axiome du choix ainsi : le produit d'une famille d'ensembles non vides est non vide.

Notes

  1. Une fonction de A dans B est souvent introduite comme un triplet ( A, B, C ), où C est un sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou encore B est sur-ensemble de A, si tout élément du sous-ensemble A est aussi élément du sur-ensemble B. Il peut par...) du produit cartésien A × B, appelé graphe de la fonction et tel que tout élément de A figure (en première composante) dans exactement un couple de C. En pratique toutefois, s'il n'y a pas de risque d'ambiguïté, on peut par abus de langage assimiler la fonction à son graphe C. D'ailleurs en théorie axiomatique des ensembles (Il existe plusieurs versions formelles de la théorie des ensembles, mais quand on parle de « la » théorie axiomatique des ensembles, on désigne habituellement sous ce nom la théorie ZFC....) on définit souvent une fonction directement comme un ensemble de couples. La pratique est cohérente -- être une fonction de A dans B devient alors une propriété de la fonction -- mais pas à conseiller dans les cours d'introduction aux mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les...).
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