Conduction thermique - Définition

Conduction en régime dynamique

La résolution de l'équation de la chaleur en régime dynamique est beaucoup plus délicate. Elle fait appel aux notions de transformées de Fourier, de produit de convolution et de distributions. Nous donnons quelques exemples de résolution.

Cas d'un domaine illimité

Principe général

Ecrivons l'équation de la chaleur sous la forme :

où D est le coefficient de diffusivité thermique et P représente des sources de chaleur. P peut être une fonction du temps et de la position de la source de chaleur, mais aussi une distribution. Par exemple, l'injection instantanée et ponctuelle d'une quantité de chaleur peut se représenter par le produit δ(t)δ(x) d'une distribution de Dirac à l'instant t = 0 par une distribution de Dirac en x = 0, x étant l'abscisse dans le cas d'un problème unidimensionnel ou le vecteur position dans le cas général.

On se donne également l'état initial du domaine T₀ = T(0,x), qui peut être également une fonction de x ou une distribution. On considère que T est nulle pour t < 0.

La méthode de résolution consiste à :

• Appliquer une transformée de Fourier relative à la variable x, à tous les termes de l'équation différentielle. Cela transforme la dérivation par rapport à x par un produit. Si on prend , alors l'équation devient :

où plutôt, au sens des distributions :

pour tenir compte de la condition initiale.

• Reconnaître dans cette équation un produit de convolution :

L'opérateur qu'on applique à F est un produit de convolution relatif à la variable t.

• Appliquer la réciproque de l'opérateur dont on montre qu'il vaut H(t)exp( − 4π²Dp²t), où H est la fonction de Heaviside, pour aboutir à :

F(T) = F(P) * H(t)exp( − 4π²Dp²t) + F(T₀)H(t)exp( − 4π²Dp²t)

Si F(P) est une fonction et non une distribution, cette relation devient, pour t > 0 :

• Prendre la transformée de Fourier inverse pour en déduire T.

Cas particulier

Si on prend T₀ = 0 et P = δ(t)δ(x) (injection instantanée de chaleur en un point donné), la méthode décrite ci-dessus conduit à :

F(P) = δ(t)

donc, pour t > 0 :

F(T) = exp( − 4π²Dp²t)

dont la transformée de Fourier inverse est, pour t > 0 :

dans le cas unidimensionnel.

dans le cas tridimensionnel.

Domaine illimité sans source de chaleur

Si on se donne seulement la température initiale T₀ du milieu sans source de chaleur (P = 0), alors on trouve que :

dans le cas unidimensionnel.

dans le cas tridimensionnel.

Cas de domaines limités, sans source de chaleur

Cas d'un domaine limité par un plan. Le problème de Kelvin

Supposons le domaine limité par le plan x=0. Si on se donne pour condition aux limites supplémentaire T(0,t) = 0 pour tout t, alors, il suffit de prolonger la répartition initiale de température T₀ par une fonction impaire en x et d'appliquer le résultat précédent.

Le cas le plus célèbre est celui du problème de Kelvin. Ce dernier a considéré dans les années 1860 que la Terre était initialement à une température constante T₀ de l'ordre de 3000° et qu'elle s'est refroidie par simple conduction. Utilisant la valeur actuelle du gradient de température en fonction de la profondeur, il en a déduit une estimation de l'âge de la Terre. On peut appliquer la méthode de résolution précédente en considérant la Terre comme plate et infiniment profonde, limitée par le plan de sa surface. Le calcul conduit à :

où erf est dite fonction d'erreur de Gauss.

Le gradient de température à la surface est :

Connaissant de l'ordre de 3 °C pour 100 mètres de profondeur et D estimé à , on trouve que t vaut 100 millions d'années. Ce résultat est largement sous-estimé car Kelvin ignorait les phénomènes de convection au sein du manteau terrestre.

Cas d'un domaine limité par deux plans parallèles

Considérons un domaine limité par les deux plans x=0 et x=L. Supposons qu'on se donne comme conditions aux limites T(0,t) = T(L,t) = 0. On utilise une méthode de résolution basée sur les séries de Fourier, en cherchant T sous la forme :

Cette expression vérifie à la fois l'équation de la chaleur et les conditions aux limites. Si on se donne la répartition de température initiale T₀, il suffit de développer celle-ci en série de Fourier pour déterminer les b_n.

Par exemple, si on prend T₀ constant, on obtient :

En faisant tendre L vers l'infini, on retrouve la solution de Kelvin du , la somme précédente étant considérée comme une somme de Riemann convergeant vers l'intégrale.

Cas d'un domaine à géométrie sphérique

Dans le cas où la propagation se fait dans un domaine sphérique, et où la température ne dépend que de la distance r au centre, l'équation de la chaleur devient, compte tenu de l'expression du laplacien en sphérique :

Si on pose F = rT, l'équation devient :

On peut alors appliquer les méthodes précédentes pour déterminer F, puis en déduire T en divisant par r.

Ainsi, la résolution du problème de Kelvin dans le cas d'une boule de rayon R (température initiale uniformément égale à T₀, la surface étant maintenue à une température nulle) conduit à l'expression suivante de T :

où sinc est la fonction sinus cardinal.

Cas de domaines limités, avec source de chaleur

On considère l'équation :

avec P non nul. On cherche en général une solution particulière à cette équation, de façon à ce que, une fois retranchée à T, on puisse se ramener à une équation sans second membre. Voici quelques exemples, dans le cas où P représente une densité de source de chaleur constante, indépendante de la position et du temps.

Domaine limité par deux plans parallèles

Considérons un domaine limité par les deux plans x=0 et x=L. On suppose qu'à l'instant initial, la température du domaine est égale à une température de référence nulle, et que les bords du domaine resteront en permanence à cette température nulle. T vérifie donc :

T(0,t) = T(L,t) = 0 pour tout t positif.

T(x,0) = 0 pour tout x entre 0 et L.

La fonction indépendante de t vérifie les deux premières relations, de sorte que, si on pose , alors G vérifie :

G(0,t) = G(L,t) = 0

On peut appliquer la méthode en cherchant G sous la forme d'une série :

qui vérifie les deux premières relations. Comme, pour des raisons de symétrie, on s'attend à ce que G(x) = G(L − x), on peut supposer que les coefficients b_n sont nuls lorsque n est pair, de sorte que :

Pour t = 0, on a :

On trouve les b_{2n + 1} en développant en série de Fourier. On trouve :

D'où G, puis finalement :

Lorsque t tend vers l'infini, la température du domaine tend vers , l'échauffement thermique dans le milieu étant alors en équilibre avec l'évacuation de la chaleur par les deux bords.

Domaine limité par un plan

La résolution du même problème dans le cas où x>0 consiste à déterminer T tel que  :

T(0,t) = 0 pour tout t positif.

T(x,0) = 0 pour tout x > 0.

On peut obtenir la solution en faisant tendre L vers l'infini dans l'expression donnée dans le , en assimilant la série à une somme de Riemann. On obtient alors l'expression suivante :

erf est la fonction dite fonction d'erreur de Gauss. On peut également trouver cette expression en appliquant la méthode découlant du relatif à un domaine illimité, après avoir étendu à l'espace entier les fonctions T et P en des fonctions impaires en x, de façon à ce que T s'annule en x = 0.

Quand t tend vers l'infini, T vaut environ Pt, analogue à celle d'un domaine infini. Le bord unique n'est pas suffisant pour évacuer la chaleur.

Domaine à géométrie sphérique

Dans le cas d'un domaine dont le bord est une sphère de rayon R, on utilise l'expression du laplacien en sphérique et on est amené à résoudre :

Pour tout t, T(R,t) = 0

Pour tout r, T(r,0) = 0

En posant , G vérifie le système :

Pour tout t, G(R,t) = 0

Pour tout r,

La méthode des séries de Fourier suggère de chercher G sous la forme d'une série , où les b_n sont trouvés en développant en série de Fourier. On obtient :

et donc :

où sinc est la fonction sinus cardinal.

Quand t tend vers l'infini, la température T tend vers la répartition limite .