Équation - Définition

Préambule

Définition - équation, inconnue et solution

L'exemple suivant est extrait du livre d'Al-Khwarizmi, l'un des fondateurs de l'algèbre.

« Un homme meurt et laisse quatre fils et il fait, à un homme, une donation égale à la part d'un de ses fils et, à un autre, le quart de la différence entre le tiers de l'héritage et la première donation. ». Si x désigne l'inconnue, ici la fraction de l'héritage que reçoit un fils, la question se traduit par l'équation suivante, où la valeur 1 à droite désigne 1 héritage :

Dans l'exemple, la formulation sous forme d'équation, c'est-à-dire l'égalité (1), est équivalente à la question posée. Y répondre revient à déterminer l'unique valeur que doit prendre l'inconnue x pour que l'égalité définissant l'équation soit vraie. Le maniement de l'inconnue permet de résoudre quelques équations, comme celle présentée ici. Cette vision est source d'une autre manière de définir une équation. Pour l'Encyclopédie Soviétique de Mathématiques, une équation est la traduction, sous une forme analytique, d'un problème. L'équation f(x) = g(x) correspond à la question : pour quelle valeur de x, l'équation se transforme-t-elle en égalité ? Cette définition décrit bien les premières équations étudiées, qui sont parfois la formulation mathématique d'une question de la vie courante.

Cette définition fondée sur une question n'est pas la plus générale : en géométrie, l'équation du cercle ne fait pas référence à une question. Cependant, la forme reste la même : une égalité entre deux expressions, utilisant deux variables généralement notées x et y.

Paramètre

Au XVI^e siècle, Viète, un mathématicien français, trouve une méthode pour exprimer de manière générique une famille d'équations. Pour en comprendre l'intérêt, illustrons le par une question.

Exemple d'équation paramétrée.

Le graphe de la fonction f est la parabole illustrée en bleu sur la figure, celui de g1(x) la droite illustrée en rouge, celui de g-2(x) en violet et celui de g-1 en vert. Quel est le nombre de solutions des équations réelles suivantes ? Pour trouver ce nombre, on considère la fonction f(x), qui à x associe x2, dont le graphe est la parabole représentée à droite en bleu. La fonction g1(x) associe à x la valeur 2.x +1 (la droite rouge). Les solutions de l'équation sont les abscisses des intersections de la parabole avec la droite rouge, la représentation graphique montre l'existence de deux solutions, car il existe deux intersections. Pour l'équation (2), considérons la fonction g-2(x) qui à x associe 2.x -2 (la droite violette). Elle ne rencontre pas la parabole et l'équation n'admet pas de solution. Pour traiter le dernier cas, on considère la fonction g-1(x) qui à x associe 2.x -1 (la droite verte), c'est encore une droite parallèle à la précédente et cette fois-ci il existe une unique solution. Une manière globale de résoudre ces trois questions est de faire appel à une lettre a qui représente un nombre quelconque. Les trois équations précédentes correspondent à la suivante, si a est égal à 1, -2 ou encore à -1 :

L'équation (4) ci-contre est dite équation paramétrée et la lettre a désigne le paramètre. Son usage permet d'étudier les équations par familles.

Problèmes soulevés par une équation

Démontrer l'existence d'une solution au problème isopérimétrique, revient à montrer l'existence d'un sommet sur la figure. À chaque couple (C, φ), on associe l'aire du triangle de périmètre 3, contenant un côté de longueur C et un angle adjacent à ce côté égal à φ. Les mathématiciens de l'antiquité ne disposaient pas d'outils pour résoudre cette question.

Les questions que soulève l'étude d'une équation dépendent de sa nature. À l'image de l'équation précédente, certaines sont définies à l'aide d'une fonction f : R —> R, c'est-à-dire de l'ensemble des nombres réels dans lui-même. L'équation s'écrit f(x) = 0. On commence parfois l'étude par établir l'existence ou non de solution à l'équation. Le nombre de solutions est donnée par l'étude de la fonction f, ce cas est étudié dans le paragraphe sur les zéros d'une fonction.

Parfois, il est plus simple de commencer par étudier les propriétés de la ou des éventuelles solutions, sans se préoccuper initialement de leur existence. C'est le cas pour le problème isopérimétrique du triangle. La question revient à trouver le triangle de périmètre donné (on prend ici la valeur 3) de plus grande aire possible. Si T désigne l'inconnue, ici un triangle de périmètre 3, S(T) la fonction qui à un triangle associe son aire et m la borne supérieure des surfaces des triangles de périmètre 3, la traduction sous forme d'équation du problème s'écrit :

Dès l'antiquité, les mathématiciens savent que l'unique réponse possible est le triangle équilatéral. En revanche, établir l'existence d'une solution est plus technique et fait appel à des outils inconnus jusqu'au XVIII^e siècle. L'existence d'une solution est intimement liée à l'ensemble dans lequel on recherche cette solution. Si, dans l'exemple choisi, cet ensemble est étendu à celui des polygones de périmètre 3, l'équation n'admet plus de solution. Pour établir ce résultat, on démontre dans un premier temps qu'une éventuelle solution serait nécessairement un polygone régulier. Or plus le nombre de côtés d'un polygone régulier de périmètre donné augmente, plus son aire croît ; ce qui montre l'absence de solution, car aucun polygone régulier n'est d'aire maximale.

La forme d'une solution dépend des besoins. L'équation définissant le nombre d'or φ est : X² - X - 1 = 0. Pour un architecte, la forme la plus pragmatique est une approximation décimale comme 1,618. En revanche, si l'objectif est d'établir la formule reliant la suite de Fibonacci (u_n) avec φ :

Une forme exacte comme (1+ √5)/2 est indispensable. Comme le nombre d'or est irrationnel, il ne peut y avoir d'expression exacte sans l'aide d'une fonction auxiliaire comme la racine carrée, car les quatre opérations et les nombres entiers n'expriment que des rationnels. L'approximation de solutions fait l'objet de vastes études, qui entrent dans un domaine des mathématiques appelé analyse numérique.