Piézoélectricité - Définition
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.
Physique macroscopique et formalisme
Dans ce qui suit, on utilisera les notations standard. On notera notamment :
- θ la température et σ l'entropie,
- Tij et Sij le tenseur des contraintes et le tenseur des déformations respectivement,
- Ei et Di le champ électrique et le déplacement électrique respectivement.
De plus, on adopte la convention de sommation d'Einstein.
Approche thermodynamique
Dans une approche thermodynamique, la piézoélectricité est un cas particulier de phénomène de couplage : le couplage entre les phénomènes élastiques et diélectriques d'un système.
Selon les postulats de thermodynamique, on peut caractériser entièrement le système à l'équilibre par la donnée de variables extensives. Il s'agit ici de l'entropie, de la déformation et de la polarisation du système. Ces trois grandeurs sont les variables d'un potentiel thermodynamique dont les caractéristiques du système se déduisent par dérivations successives. Les autres potentiels thermodynamiques, fonctions de variables intensives, sont obtenus du premier par transformation de Legendre. Une présentation des différents potentiels peut être trouvée dans différents ouvrages.
Dans ce qui suit, on partira de l'énergie libre de Gibbs qui est uniquement fonction des grandeurs intensives : la température Θ, le champ électrique Ei et les contraintes Tjk. Elle est donnée par
U est l'énergie interne du système, fonction de l'entropie σ, de la déformation S et du déplacement électrique D. La prise en compte de la température n'est pas stricto sensu indispensable à la description thermodynamique de la piézoélectricité : les couplages thermiques étant faibles, il n'est généralement pas fait de distinction entre les constantes piézoélectriques isothermes et adiabatiques.
Les constantes piézoélectriques se déduisent du potentiel thermodynamique par dérivée seconde :
L'ordre dans lequel on effectue les deux dérivations est indifférent (c'est le théorème de Schwarz). Selon l'ordre choisi, on fait apparaître deux expressions différentes correspondant aux deux manifestations de l'effet piézoélectrique :
La première expression reflète la variation de polarisation induite par l'application d'une contrainte : c'est l'effet piézoélectrique direct. La seconde indique qu'un champ électrique crée une déformation : c'est l'effet inverse. Ces deux effets sont donc indissociables, et les coefficients associés sont égaux. Dans le système international, on les exprime en mètres par volts m/V ou en coulomb par newton C/N.
L'intégration de ces relations conduit aux équations constitutives de la piézoélectricité. Avec ce choix de potentiel thermodynamique, celles-ci s'écrivent :
Une convention de notation appelée notation de Voigt permet de contracter les indices et de représenter les propriétés électromécaniques sous forme d'une matrice carrée. Les équations constitutives s'écrivent alors sous forme matricielle :
![\left[\begin{array}{l}S_{\alpha} \\ D_i \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c|c}s_{\alpha\beta}^E & d_{\alpha j} \\\hline d_{i\beta} & \varepsilon_{ij}^T \end{array}\right] \left[\begin{array}{l}T_{\beta} \\ E_j \end{array}\right]](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/e/e0f1fba76626ea73b69080525fd20fa0_ce23c74904605afe3c53cb660e748e37.png)
D'autres choix de potentiels thermodynamiques (et donc de variables indépendantes) sont possibles ; il existe donc quatre jeux d'équations constitutives. La représentation pertinente dépend en général des conditions aux limites du problème considéré. Les coefficients piézoélectriques sont alors notés selon les cas e, g ou h. Ces différentes formes des équations de la piézoélectricité sont données dans la norme ANSI/IEEE.
Tenseur piézoélectrique
On représente donc la piézoélectricité par un tenseur d'ordre 3, par exemple
Le tenseur piézoélectrique a des propriétés de symétrie qui découlent directement de la symétrie du tenseur des déformations : puisque Sij = Sji, on a également dkij = dkji.
Dans le cas le plus général, il faut 18 coefficients indépendants pour caractériser complètement les propriétés piézoélectriques d'un matériau. Ce nombre est réduit si la structure cristalline du matériau présente des symétries particulières : il n'en faut plus que 4 dans le quartz et 3 dans le titanate de baryum BaTiO3.
Coefficients de couplage électromécanique
Les coefficients de couplage électromécanique sont généralement notés kij. Ils sont compris en 0 et 1 et peuvent être vus comme une sorte de rendement : ils traduisent la faculté d'un matériau piézoélectrique à transformer l'énergie mécanique qu'il reçoit en énergie électrique et inversement. Il s'agit d'une caractéristique essentielle d'un matériau dans la conception de différents dispositifs ; il est notamment relié très directement à la bande passante des transducteurs acoustiques.
On peut définir un coefficient de couplage soit en quasi-statique, soit plus couramment en dynamique dans le cadre de l'étude de la propagation des ondes acoustiques dans le matériau.
Coefficients piézoélectriques complexes
On utilise habituellement les nombres complexes pour rendre compte des phénomènes de dissipation causés par les défauts du milieu. Ainsi, une permittivité complexe permet de représenter les pertes diélectriques d'un milieu, i.e. une faible conductivité. De même, des constantes élastiques complexes permettent de représenter des pertes mécaniques responsables de l'atténuation des ondes acoustiques.
Dans le même esprit, des coefficients piézoélectriques complexes sont parfois utilisés par certains auteurs. Dans bien des cas néanmoins, il est possible de se limiter à des coefficients piézoélectriques réels associés à des constantes diélectriques et élastiques complexes.