Spin
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Historique

Le spin de l'électron a été expérimentalement mis en évidence en 1922 dans l'expérience de Stern et Gerlach et a d'abord été interprété comme une rotation de la particule autour d'un axe (comme son nom l'indique en anglais) en 1923 par George Uhlenbeck et Samuel Goudsmit, mais Wolfgang Pauli a montré en 1924 que, compte tenu des dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de révolution.) connues de l'électron (L'électron est une particule élémentaire de la famille des leptons, et possèdant une charge électrique élémentaire de signe négatif. C'est un des composants de l'atome.), cela nécessitait une vitesse (On distingue :) de rotation à son équateur qui serait supérieure à la vitesse de la lumière (La vitesse de la lumière dans le vide, notée c (pour « célérité », la lumière se manifestant macroscopiquement comme un phénomène...). Dès lors la représentation du spin (Le spin est une propriété quantique intrinsèque associée à chaque particule, qui est caractéristique de la nature de la particule, au même titre que sa masse et...) en termes de rotation n'a plus été utilisée en dehors d'un cadre de vulgarisation.

La notion théorique de spin a été introduite par Pauli en décembre 1924 pour l'électron, afin d'expliquer un résultat expérimental qui restait incompréhensible dans le cadre naissant de la mécanique quantique (La mécanique quantique est la branche de la physique qui a pour but d'étudier et de décrire les phénomènes fondamentaux à l'œuvre dans...) non relativiste : l'effet Zeeman (L'effet Zeeman est un phénomène physique, découvert par Pieter Zeeman, physicien néerlandais qui reçut le prix Nobel de physique en 1902.) anomal. L'approche développée (En géométrie, la développée d'une courbe plane est le lieu de ses centres de courbure. On peut aussi la décrire comme l'enveloppe de...) par Pauli consistait à introduire de façon ad-hoc le spin en ajoutant un postulat supplémentaire aux autres postulats de la mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de transmission, pistons, ...), bref, de tout ce qui produit ou...) quantique non relativiste (équation de Schrödinger, etc.).

En 1927, Wolfgang Pauli a proposé la modélisation du spin en termes de matrices, ce qui correspond à une écriture en termes d'opérateurs sur la fonction d'onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible des propriétés physiques locales. Elle transporte de l'énergie sans transporter de matière. Une onde...) intervenants dans l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à...) de Schrödinger : l'équation de Pauli. En 1928, à partir de l'équation de Klein-Gordon, Paul Dirac démontra qu'une particule ayant un spin non-nul vérifie une équation relativiste, appelée aujourd'hui équation de Dirac (L'équation de Dirac est une équation formulée par Paul Dirac en 1928 dans le cadre de sa mécanique quantique relativiste de l'électron.).

Enfin, c'est en théorie quantique des champs (La théorie quantique des champs est l'application des concepts de la physique quantique aux champs. Issue de la mécanique quantique relativiste, dont l'interprétation comme théorie décrivant une seule particule s'était avérée...) que le spin montre son caractère le plus fondamental. L'analyse du groupe de Poincaré effectuée par Wigner en 1939 montra en effet qu'une particule est associée à un champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) quantique, opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :) qui se transforme comme une représentation irréductible du groupe de Poincaré. Ces représentations irréductibles se classent par deux nombres réels positifs : la masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un corps : l'une quantifie l'inertie du corps (la masse inerte) et l'autre la contribution du corps à la force de gravitation (la...) et le spin.

Le spin du photon (En physique des particules, le photon est la particule élémentaire médiatrice de l'interaction électromagnétique. Autrement dit, lorsque deux particules chargées...) a été découvert expérimentalement par Raman et Bhagavantam en 1931.

Formalisme de Pauli

Opérateur spin

En mécanique quantique, le spin est un opérateur vectoriel hermitien (Plusieurs entités mathématiques sont qualifiées d'hermitiennes en référence au mathématicien Charles Hermite.) comportant trois composantes, notées usuellement \hat{S}_x, \, \hat{S}_y et  \hat{S}_z par référence aux trois axes de coordonnées cartésiennes de l'espace physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens...). Ces composantes sont des observables vérifiant les relations de commutations caractéristiques d'un moment cinétique :

 \left[ \, \hat{S}_i \, , \ \hat{S}_j \, \right] \ = \ i \  \hbar \ \epsilon_{ijk} \ \hat{S}_k

εijk est le symbole de Levi-Civita (Le symbole de Levi-Civita, noté ε (lettre grecque epsilon), est un indicateur antisymétrique d'ordre 3 qui peut être exprimé à partir du...). Ces relations de commutations sont analogues à celles découvertes en novembre 1925 par Born, Heisenberg et Jordan pour les composantes du moment cinétique (Le mot cinétique fait référence à la vitesse.) orbital :  \left[ \, \hat{L}_i \, , \ \hat{L}_j \, \right] \ = \ i \  \hbar \ \epsilon_{ijk} \ \hat{L}_k

Par analogie avec les résultats obtenus pour le moment cinétique orbital (Le moment cinétique orbital est un concept de la mécanique quantique. C'est un cas particulier de moment cinétique quantique.) (ou plus généralement pour un moment cinétique quantique), il existe pour l'opérateur spin une base de vecteurs propres notés | s,ms > , où s est entier ou demi-entier, et ms est un entier ou demi-entier prenant l'une des 2s + 1 valeurs - \, s \le m_s \le s, tels que :

\hat{S}^2  \ | s,m_s \rangle \ = \ s(s+1) \, \hbar^2 \ | s,m_s \rangle
\hat{S}_z  \ | s,m_s \rangle \ = \ m_s \, \hbar \ | s,m_s \rangle

Spin 1/2 - matrices de Pauli

Pour une particule de spin 1/2 comme l'électron, on a s = 1 / 2, donc 2s + 1 = 2 : il existe seulement deux états de spin distincts, caractérisés par m_s = \pm 1/2.

On note souvent les deux états propres correspondant : |+\rangle et |-\rangle, ou encore symboliquement : |\uparrow\rangle et |\downarrow\rangle.

Pauli a introduit trois matrices 2 x 2, notées \hat{\sigma}_i, \ i = 1,2,3 telles que l'opérateur de spin s'écrive :

\hat{S}_i  \ = \ \frac{\hbar}{2} \ \hat{\sigma}_i

Ces trois matrices de Pauli s'écrivent explicitement :

\hat{\sigma}_x  \ = \  \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \ ; \quad \hat{\sigma}_y  \ = \  \begin{pmatrix} 0 & - \ i \\ i & 0 \end{pmatrix} \ ; \quad \hat{\sigma}_z  \ = \  \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & - \ 1 \end{pmatrix}

Elles satisfont les relations de commutation :

 \left[ \, \hat{\sigma}_i \, , \ \hat{\sigma}_j \, \right] \ = \  2 \ i \ \epsilon_{ijk} \ \hat{\sigma}_k

Représentation géométrique du spin par une sphère de Riemann (En mathématiques, la sphère de Riemann est une manière de prolonger le plan des nombres complexes avec un point additionnel à l'infini, de manière à ce que certaines...)

Un état quantique (En mécanique quantique, l'état d'un système décrit tous les aspects du système physique. Il est représenté par un objet mathématique qui donne le maximum...) quelconque d'une particule de spin 1/2 peut s'exprimer sous la forme générale :

 |\nearrow\rangle = a |\uparrow\rangle + b  |\downarrow \rangle

(a et b étant deux nombres complexes). Cette formule exprime une superposition (En mécanique quantique, le principe de superposition stipule qu'un même état quantique peut possèder plusieurs valeurs pour une certaine quantité observable (spin, position, quantité de mouvement etc.)) des deux états propres.

Selon les règles de la mécanique quantique, l'état quantique représenté par |\psi\rangle et \alpha |\psi\rangle sont physiquement rigoureusement les mêmes. Par conséquent, on peut également exprimer l'état général d'une particule de spin 1/2 par:

 |\nearrow\rangle = |\uparrow\rangle + \frac ba |\downarrow \rangle
Représentation géométrique d'un état de spin 1/2 par une sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les points situés à une même distance...) de Riemann

L'état de spin 1/2 est donc entièrement caractérisé par un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) complexe  u = \frac ba. Ce rapport pouvant être infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.) quand a = 0 (état pur de spin "down"), il est nécessaire d'utiliser une sphère de Riemann pour représenter ce rapport, la sphère de Riemann étant une extension du corps des complexes avec l'infini. Dans ce contexte (Le contexte d'un évènement inclut les circonstances et conditions qui l'entourent; le contexte d'un mot, d'une phrase ou d'un texte inclut les mots qui l'entourent. Le concept de contexte issu traditionnellement de l'analyse...), la sphère de Riemann est également appelée la sphère de Bloch dans le cas de l'électron, ou la sphère de Poincaré dans le cas du photon.

Selon cette représentation, tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) état de spin 1/2 trouve une représentation géométrique (voir figure ci-contre). Le vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet...) passant par l'origine et pointant sur la projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la surface plane d'une carte.) du complexe u sur la sphère de Riemann donne une visualisation géométrique de l'état de spin 1/2 comme étant une direction dans l'espace.

Bien que semblant a priori purement mathématique, cette représentation de l'état de spin comme étant une direction dans l'espace possède une certaine pertinence. Notamment, on peut retrouver simplement à l'aide de cette représentation géométrique la probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des...) d'obtenir l'état |\uparrow\rangle et |\downarrow\rangle lors d'une mesure de l'état |\nearrow\rangle (il ne faut pas perdre de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) que l'état mesuré d'un état de spin 1/2 sera toujours soit |\uparrow\rangle soit |\downarrow\rangle).

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