Choc sous-compressif
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Un choc sous-compressif (undercompressive shock) est une onde de choc qui n'obéit pas aux inégalités de Peter Lax sur la vitesse caractéristique des ondes. Ils ont quelque chose d'incroyable et peuvent être observés lors d'expériences simples.

Définitions

Pour les chocs compressifs, la vitesse (On distingue :) caractéristique à l’arrière du choc (Dès que deux entitées interagissent de manière violente, on dit qu'il y a choc, que ce soit de civilisation ou de particules de hautes énergies.) est plus grande que la vitesse du choc, qui est elle-même plus grande que la vitesse caractéristique à l’avant du choc. Ce sont les conditions de Lax.

Les ondes de choc sous-compressives sont des chocs qui n’obéissent pas aux conditions de Lax, par définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.). On pourrait donc dire aussi, non-compressives, mais ce n’est pas d’usage.

Elles sont incroyables parce que la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur...) (rappelée dans onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible de propriétés physiques locales. Elle transporte de...) de choc) sur la formation des ondes de choc semblait d’une portée générale et parce qu’on ne comprend pas facilement comment elles peuvent se former et se conserver. Pourquoi se conservent-elles ? Pourquoi les petites perturbations ne se détachent pas du choc ? Des expériences simples montrent qu’on peut les fabriquer facilement et qu’elles se conservent.

Les premiers chocs sous-compressifs ont été découverts par des mathématiciens. Les découvertes expérimentales sont venues ensuite, principalement à la suite de la rencontre entre une mathématicienne, Andrea Bertozzi, et une physicienne, Anne-Marie Cazabat. Elles se sont rendues compte qu’elles travaillaient, chacune à sa façon, sur la même équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons...) d’onde.

Preuves de l’existence des chocs sous-compressifs

Présentation des expériences

L’onde étudiée est la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est...) d’un liquide (La phase liquide est un état de la matière. Sous cette forme, la matière est facilement déformable mais difficilement compressible.) qui s’étale. On peut forcer l’étalement par gravitation (La gravitation est une des quatre interactions fondamentales de la physique.) et par effet Marangoni thermique (La thermique est la science qui traite de la production d'énergie, de l'utilisation de l'énergie pour la production de chaleur ou de froid, et des...). La gravitation force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale « cardinale » équivalent...) l’écoulement du liquide vers la bas. L’effet Marangoni thermique force l’écoulement du côté où le liquide est le plus froid (Le froid est la sensation contraire du chaud, associé aux températures basses.). Si on met une goutte sur une plaque dont la température (La température est une grandeur physique mesurée à l'aide d'un thermomètre et étudiée en thermométrie. Dans la vie courante,...) n’est pas uniforme (chauffée d’un côté et refroidie de l’autre) elle s’étale du côté le plus froid, comme si elle voulait y aller.

Lorsqu’on se place dans une géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et,...) unidimensionnelle (une vague (Une vague est un mouvement oscillatoire de la surface d'un océan, d'une mer ou d'un lac. Les vagues sont générées par le vent et ont une amplitude crête-à-crête allant...) théoriquement infinie et parfaitement rectiligne dans une direction), les conditions du cas étudié par Poisson (Dans la classification classique, les poissons sont des animaux vertébrés aquatiques à branchies, pourvus de nageoires et dont le corps est le plus souvent couvert...) sont presque remplies. L’équation d’onde est donc très simple à la base. Mais il y a des différences, et surtout un terme associé à l’effet d’aplanissement provoqué par la tension (La tension est une force d'extension.) de surface. C’est ce terme qui ouvre la possibilité des chocs sous-compressifs, parce qu'il bloque la formation des petites perturbations.

En présence de la gravitation seule ou de l’effet Marangoni thermique seul, ou lorsque les deux effets vont dans le même sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du vieillissement, suivi...), les chocs sont toujours compressifs.

On peut faire jouer l’effet Marangoni thermique en sens inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que x·y = y·x = 1, si 1 désigne...) de la gravitation : il suffit de plonger une plaque dans un bain chaud et de la refroidir à l’autre extrémité. Dans ce cas le liquide monte sur la plaque (il faut prendre quelques précautions pour que ça marche). Les chocs que l’on peut alors obtenir sont en général compressifs mais pas tous. Il y a plusieurs exceptions qui ont été découvertes par Anne-Marie Cazabat et deux de ses étudiants, Xavier Fanton et moi-même (TD).

Pour fabriquer un choc, il suffit de laisser monter un premier film de liquide, puis de varier l’inclinaison de la plaque. Un second film de liquide monte à la suite du premier. Dans certains cas, la marche (La marche (le pléonasme marche à pied est également souvent utilisé) est un mode de locomotion naturel. Il consiste en un déplacement en...) de liquide ainsi obtenue devient de plus en plus douce, le second film reste à la traîne et s’éloigne de plus en plus du premier. Ce n’est pas alors une onde de choc (Une onde de choc est un type d'onde, mécanique ou d'une autre nature, associé à l'idée d'une transition brutale. Elle peut prendre la forme d'une vague de haute pression, et elle est alors...). Dans d’autres cas, la marche de liquide monte sans se déformer. Souvent elle est instable, elle se déforme en doigts de liquide, mais comme l’instabilité se développe lentement, on a le temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) de voir une propagation sans déformation. Les mesures par interférométrie (L'interférométrie est une méthode de mesure qui exploite les interférences intervenant entre plusieurs ondes cohérentes entre elles.) Laser (Un laser est un appareil émettant de la lumière (rayonnement électromagnétique) amplifiée par émission stimulée. Le terme laser provient de l'acronyme anglo-américain...) sont très précises. Les images des doigts de liquide sont magnifiques (pas celles des chocs, ce sont seulement des lignes parallèles). La marche de liquide n’est jamais très abrupte, mais comme elle ne change pas au cours du temps, on peut la voir comme une transition discontinue par un effet de zoom.

N’importe quelle transition douce peut avoir l’air abrupte si on change d’échelle. C’est pourquoi ces marches de liquide dont la pente ne dépasse pas quelques pourcents peuvent être considérées comme des ondes de choc.

Les preuves sont de plusieurs types :

Validité mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations....) du modèle

Il s’agit de prouver que les solutions trouvées sont bien des solutions des équations étudiées et que ce qu’on dit à leur sujet est vrai, en tant qu’êtres mathématiques. Se reporter aux articles des théoriciens.

Valeur prédictive du modèle mathématique (Un modèle mathématique est une traduction de la réalité pour pouvoir lui appliquer les outils, les techniques et les théories mathématiques, puis généralement, en sens inverse, la traduction des...)

On connaît le résultat d’une expérience avant de la faire. On peut alors vérifier si les observations (L’observation est l’action de suivi attentif des phénomènes, sans volonté de les modifier, à l’aide de moyens d’enquête et d’étude appropriés. Le plaisir procuré...) expérimentales sont en accord avec les prédictions mathématiques. On peut vérifier tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) ce qui est mesurable. Se reporter à la thèse (Une thèse (du nom grec thesis, se traduisant par « action de poser ») est l'affirmation ou la prise de position d'un locuteur, à l'égard du sujet ou du...) de Xavier Fanton et à mon compte-rendu de stage (Un stage est le plus souvent une période de formation, d'apprentissage ou de perfectionnement qui dure quelques jours à plusieurs mois dans un lieu adapté :). Aucun désaccord entre la théorie et l’expérience n’a pu être établi (compte-tenu des incertitudes de la mesure et de quelques termes négligés dans l’équation étudiée.)

Valeur prédictive des expériences

Certaines expériences ont montré l’existence de chocs sous-compressifs nouveaux, inconnus des théoriciens. Leur existence, comme solutions de l’équation, a été confirmée ensuite par les calculs. Un expérimentateur peut faire des découvertes mathématiques. Cela se produit souvent, mais ce n’est pas souvent remarqué. Se reporter à mon compte-rendu de stage.

Preuves spécifiques du caractère sous-compressif des chocs

On peut voir directement qu’un choc est compressif ou sous-compressif en faisant une petite perturbation à côté de lui. S’il y a un côté où la perturbation se sépare du choc, c’est qu’il est sous-compressif. Dans le cas compressif, la perturbation est avalée par le choc. Se reporter à mon compte-rendu de stage.

Bibliographie

Les ondes non-linéaires et la théorie classique des chocs

J. David Logan. An introduction to nonlinear partial differential equations Wiley-Interscience 1994

G.B. Whitham. Linear and non-linear waves Wiley-Interscience 1974

Peter D. Lax. Hyperbolic systems of conservation laws and the mathematical theory of shock waves Society for industrial and applied mathematics Philadelphia, Pennsylvania 1973, Hyperbolic systems of conservation laws II Comm. Pure Appl. Math., 10 :537-566, 1957

La théorie mathématique des chocs sous-compressifs

M. Shearer, D.G. Schaeffer, D. Marchesin, P. Paes-Leme. Solution of the Riemann problem for a prototype 2 X 2 system of non-strictly hyperbolic conservation laws Arch. Rat (Le mot « rat » désigne en français, dans le langage vernaculaire certains mammifères rongeurs, le plus souvent du genre Rattus ou au moins de la famille des muridés. Mais certains...). Mech. Anal. 97 :299-320, 1987

A.L. Bertozzi, A. Münch, M. Shearer. Undercompressive shocks in thin film flows 1998 où l’on trouve davantage de références.

A. Münch. Shock transition in Marangoni and gravitation driven thin film flow 1999

A. Münch, A. L. Bertozzi. Rarefaction-undercompressive fronts in driven films 1998

Les expériences d’étalement forcé

V. Ludviksson, E. N. Lightfoot. The dynamics of thin liquid films in the presence of surface_tension gradients AIChE Journal 17 :5, 1166-1173, 1971

Herbert E. Huppert. Flow and instability of a viscous current down a slope Nature Vol. 300, 427-429, 1982

A.M. Cazabat, F. Heslot, S.M. Troian, P. Carles. Fingering instability of thin spreading films driven by temperature gradients Nature Vol. 346, 824-826 1990

Leur application aux chocs sous-compressifs

X. Fanton. Etalement et instabilités de films de mouillage en présence de gradients de tension superficielle (La tension superficielle, ou énergie d'interface, ou énergie de surface, est la tension qui existe à la surface de séparation de deux milieux.) Thèse, LPMC, Collège de France (Le Collège de France, situé au no 11 place Marcelin-Berthelot dans le quartier latin de Paris (Ve arrondissement), est un grand établissement d'enseignement et...) 1998

A.L. Bertozzi, A. Münch, X. Fanton, A.M. Cazabat, Contact Line Stability and "Undercompressive Shocks" in Driven Thin Film Flow, Physical Review Letters, Volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.) 81, Number 23, 7 December 1998, pp. 5169-5172

L'article ci-dessus fait l'objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une étiquette...) d'une controverse entre Mme Cazabat et moi-même (T. Dugnolle). Les barres d'erreur de la figure 4 y sont calculées à partir d'une précision de 1/1000 sur la viscosité du liquide alors que celle-ci varie du simple au double à l'intérieur de l'écoulement. Cela fait perdre, selon moi, toute signification à cette figure. Cet article ne prouve donc pas ce qu'il prétend prouver. Mme Cazabat n'a toujours pas répondu, malgré mon insistance, à cette objection.

T. Dugnolle, Des chocs non-classiques lors de l’étalement forcé d’un liquide, Compte rendu (Le rendu est un processus informatique calculant l'image 2D (équivalent d'une photographie) d'une scène créée dans un logiciel de...) de stage de DEA (Paris 6, Physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique désigne la connaissance de la...) des Liquides), LPMC, Collège (Un collège peut désigner un groupe de personnes partageant une même caractéristique ou un établissement d'enseignement.) de France 1999

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