Lagrangien - Définition et Explications

Le lagrangien \mathcal{L}[\varphi_i] d'un système dynamique, dont le nom vient de Joseph Louis Lagrange, est une fonction des variables dynamiques qui décrit de manière concise les équations du mouvement du système. Ces dernières s'obtiennent par application du principe de moindre action (Le principe de moindre action est l'hypothèse physique selon laquelle la dynamique d'une...) (ou principe d'action extrémale), qui s'écrit :

\frac{\delta \mathcal{S}}{\delta \varphi_i} = 0

avec l'action \mathcal{S}[\varphi_i] = \int{\mathcal{L}[\varphi_i(s)]{}\,d^ns},

et {}{}{}{}\ s_\alpha l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) des paramètres du système.

Les équations du mouvement obtenues sont équivalentes aux équations d'Euler-Lagrange. Un système dynamique (En mathématiques, en physique théorique et en ingénierie, un système dynamique...) dont les équations du mouvement peuvent s'obtenir à partir d'un principe de moindre d'action et d'un lagrangien (Le lagrangien d'un système dynamique, dont le nom vient de Joseph Louis Lagrange, est une...) est un système dynamique lagrangien. C'est le cas de la version classique du modèle standard, des équations de Newton, des équations de la relativité générale (La relativité générale, fondée sur le principe de covariance générale...) ,et de problèmes purement mathématiques comme les équations des géodésiques ou le problème de Plateau.

Un exemple en mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes...) classique

Le concept de lagrangien fut historiquement introduit dans une reformulation de la mécanique classique, la mécanique lagrangienne. Dans ce contexte (Le contexte d'un évènement inclut les circonstances et conditions qui l'entourent; le...), le lagrangien vaut généralement l'énergie cinétique (L'énergie cinétique (aussi appelée dans les anciens écrits vis viva, ou force vive) est...) ôtée de l'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la...) potentielle :

L = TV

En coordonnées cartésiennes

Le lagrangien d'une particule de masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un...) m non relativiste dans un espace Euclidien (En mathématiques, un espace euclidien est un objet algébrique permettant de...) à trois dimensions s'écrit :

L(\vec{x}, \dot{\vec{x}}) \ = \ \frac{1}{2} \ m \ \dot{\vec{x}}^2 \ - \ V(\vec{x})

où la dérivation temporelle est notée par un point (Graphie) au dessus de la quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire,...) différentiée. Les équations d'Euler-Lagrange s'écrivent :

\frac{d~}{dt} \ \left( \, \frac{\partial L}{\partial \dot{x}^i} \, \right) \ - \ \frac{\partial L}{\partial x^i} \ = \ 0

L'indice i = 1, 2, 3. Le calcul des dérivées donne :

\frac{\partial L}{\partial x^i} \ = \ - \ \frac{\partial V}{\partial x^i}
\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^i} \ = \ \frac{\partial ~}{\partial \dot{x}^i} \, \left( \, \frac{1}{2} \ m \ \dot{\vec{x}}^2 \, \right) \ = \ \frac{1}{2} \ m \ \frac{\partial ~}{\partial \dot{x}^i} \, \left( \,  \dot{x}_j \, \dot{x}^j \, \right) \ = \ m \, \dot{x}_i
\frac{d~}{dt} \ \left( \, \frac{\partial L}{\partial \dot{x}^i} \, \right) \ = \ m \, \ddot{x}_i

Les équations d'Euler-Lagrange s'écrivent donc explicitement :

m \, \ddot{x}_i \ + \ \frac{\partial V}{\partial x^i} \ = \ 0 \quad \Longleftrightarrow \quad  m \, \ddot{x}_i \ = \ - \ \frac{\partial V}{\partial x^i}

soit sous forme vectorielle :

m \ \ddot{\vec{x}} \ = \ - \ \vec{\nabla} V

Les approches lagrangienne et newtonienne sont donc équivalentes lorsque la force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un...) dérive d'un potentiel :

\vec{F} \ = \ - \ \vec{\nabla} V(x)

puisque la formulation (La formulation est une activité industrielle consistant à fabriquer des produits...) de la deuxième loi de Newton dans un référentiel Galiléen (En physique, un référentiel galiléen, ou inertiel, est un référentiel dans...) s'écrit :

m \ \ddot{\vec{x}} \ = \ \vec{F}

En coordonnées sphériques

Soit un espace à trois dimensions en coordonnées sphériques (r,θ,φ), et le lagrangien :

\frac{m}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2 +r^2\sin^2\theta\dot{\varphi}^2)-V(r).

Les équations d'Euler-Lagrange s'écrivent alors :

m\ddot{r}-mr(\dot{\theta}^2+\sin^2\theta\dot{\varphi}^2)+V' =0,
\frac{d}{dt}(mr^2\dot{\theta}) -mr^2\sin\theta\cos\theta\dot{\varphi}^2=0,
\frac{d}{dt}(mr^2\sin^2\theta\dot{\varphi})=0.

Ici l'ensemble des paramètres \ s_i se réduit au temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le...) \ t, et les variables dynamiques \ \phi_i(s) sont les trajectoires \vec x(t) des particules.

Lagrangiens et densités de lagrangien dans la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) des champs

Dans la théorie des champs, on distingue parfois le lagrangien L, dont l'intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé...) sur le temps est l'action :

S = \int{L \, dt}

et la densité lagrangienne \mathcal{L}, qu'on intègre sur tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) l'espace pour obtenir l'action :

S [\varphi_i] = \int{\mathcal{L} [\varphi_i (x)]\, d^4x}

Le lagrangien est ainsi l'intégrale spatiale de la densité lagrangienne. Cependant, on appelle souvent \mathcal{L} simplement le lagrangien, surtout dans l'usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) moderne. C'est plus simple dans les théories relativistes où l'espace est défini localement. Ces deux types de lagrangiens peuvent être vus comme des cas particuliers d'une formule plus générale, selon qu'on introduit la variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle...) spatiale \vec x dans les index i ou dans les paramètres s pour écrire \varphi_i(s). Les théories quantiques des champs en physique des particules (La physique des particules est la branche de la physique qui étudie les constituants...), comme l'électrodynamique quantique (L'électrodynamique quantique relativiste est une théorie physique ayant pour but de concilier...), sont généralement écrites en termes de densités de lagrangiens \mathcal{L}, ces termes se transformant facilement pour donner les règles permettant d'évaluer les diagrammes de Feynman.

Lagrangien électromagnétique

En général, en mécanique lagrangienne, le lagrangien vaut:

L = TV

T est l'énergie cinétique (Le mot cinétique fait référence à la vitesse.) et V l'énergie potentielle.

Etant donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire,...) une particule chargée électriquement de masse m et charge (La charge utile (payload en anglais ; la charge payante) représente ce qui est effectivement...) q, et de vitesse (On distingue :) \vec{v} dans un champ électromagnétique (Un champ électromagnétique est la représentation dans l'espace de la force...) et de potentiel scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les...) φ et de potentiel vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet...) \vec{A}, l'énergie cinétique de la particule est:

T = {1 \over 2} m \vec{v} \cdot \vec{v}

et son énergie potentielle est:

V = q\phi - {q \over c} \vec{v} \cdot \vec{A}

c est la vitesse de la lumière (La vitesse de la lumière dans le vide, notée c (pour...).

Le lagrangien électromagnétique est alors:

L = {1 \over 2} m \vec{v} \cdot \vec{v}  - q\phi + {q \over c} \vec{v} \cdot \vec{A} .

Lagrangiens en théorie quantique des champs (La théorie quantique des champs (QFT, abréviation du terme anglais Quantum field theory)...)

Le lagrangien de Dirac

La densité lagrangienne pour un champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) de Dirac est:

\mathcal{L} = \bar \psi (i \hbar c \not\!\partial - mc^2) \psi

ψ est un spineur, \bar \psi = \psi^\dagger \gamma^0 est son adjoint de Dirac, \partial est la dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la...) covariante de jauge ( En tant qu'instrument de mesure : Une jauge est un instrument de mesure. On trouve par...), et \not\!\partial est la notation de Feynman pour \gamma^\sigma \partial_\sigma.

Le lagrangien de l'électrodynamique (L'électrodynamique est la discipline physique qui étudie et traite des actions dynamiques entre...) quantique

La densité lagrangienne en QED (CQFD (ou c.q.f.d.[1]) est l'abréviation de « ce qu'il fallait démontrer », ponctuant,...) est:

\mathcal{L}_{\mathrm{QED}} = \bar \psi (i \hbar c\not\!\partial - mc^2) \psi - {1 \over 4\mu_0} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}

Fμν est le tenseur (Tenseur) électromagnétique.

Le lagrangien de la chromodynamique quantique (La chromodynamique quantique, acronyme QCD de l'anglais Quantum ChromoDynamics, est une théorie...)

La densité lagrangienne en QCD est (lien) (lien) (lien)

\mathcal{L}_{\mathrm{QCD}} = \sum_n \bar \psi_n (i \hbar c\not\!\partial - m_n c^2) \psi_n - {1\over 4} G^\alpha {}_{\mu\nu} G_\alpha {}^{\mu\nu}

\partial est la dérivée covariante de jauge en QCD, et Gαμν est le tenseur de la force du champ du gluon (Le gluon est le boson responsable de l'interaction forte. Les gluons confinent les quarks ensemble,...).

Formalisme mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...)

Soit M une variété de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce...) n, et une variété de destination T. Soit \mathcal{C} l'espace de configuration de la fonction continue s de M dans T.

Avant tout donnons quelques exemples :

  • En mécanique classique, dans le formalisme d'Hamilton, M est le variété de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une...) 1 \mathbb{R}, qui représente le temps, et l'espace de destination est le fibré (En mathématiques, un espace fibré est la donnée d'un espace topologique appelé...) cotangent de l'espace des positions généralisées.
  • Dans la théorie des champs, M est la variété espace-temps (La notion d'espace-temps a été introduite au début des années 1900 et reprise...) et l'espace de destination est l'ensemble des valeurs possibles des champs en chaque point. Si par exemple il y a m champs scalaires réels φ1,...,φm, alors la variété de destination est \mathbb{R}^m. Si on a un champ de vecteurs réels, la variété de destination est isomorphe à \mathbb{R}^n. Il y a en fait une manière plus élégante d'utiliser le fibré tangent, mais on s'en tiendra à cette version.

Supposons maintenant qu'il existe une fonctionnelle (En mathématiques, le terme fonctionnelle se réfère à certaines fonctions....) S:\mathcal{C}\rightarrow\mathbb{R}, qu'on appelle l'action physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la...). Notons que c'est une application vers \mathbb{R}, et non vers \mathbb{C}, pour des raisons physiques.

Pour que l'action soit locale, nous avons besoin (Les besoins se situent au niveau de l'interaction entre l'individu et l'environnement. Il est...) de restrictions supplémentaires sur l'action. Si \varphi\in\mathcal{C}, on impose que S[φ] soit l'intégrale sur M d'une fonction de φ, de ses dérivées et des positions qu'on appelle le lagrangien \mathcal{L}(\varphi,\partial\varphi,\partial\partial\varphi, ...,x). En d'autres termes,

\forall\varphi\in\mathcal{C}\, S[\varphi]\equiv\int_M d^nx \mathcal{L}(\varphi(x),\partial\varphi(x),\partial\partial\varphi(x), ...,x).

La plupart du temps, on impose que le lagrangien dépende uniquement de la valeur des champs, de leur dérivées premières, mais pas des dérivées d'ordre supérieur. C'est en fait seulement par commodité, et ce n'est pas vrai en général. Nous le supposons cependant dans le reste de cet article.

Fixons des conditions aux limites, essentiellement la donnée de φ aux frontières si M est compact, ou une limite pour φ quand x tend vers l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus,...) (ce qui est être pratique lors d'intégrations par parties). Le sous-espace de \mathcal{C} des fonctions φ telles que toutes les dérivées fonctionnelles de l'action S en φ soient 0 et que φ satisfasse aux conditions aux limites, est l'espace des solutions physiques.

La solution est donnée par les équations d'Euler-Lagrange (en utilisant les conditions aux limites) :

\frac{\delta}{\delta\varphi}S=-\partial_\mu  \left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi)}\right)+ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\varphi}=0.

Notons qu'on retrouve la dérivée fonctionnnelle par rapport à φ de l'action dans le membre de gauche.

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