Groupe de Lie
Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

Un groupe de Lie est un groupe — au sens mathématique — continu (c'est-à-dire dont chaque élément est infinitésimalement proche d'au moins un autre élément).

Un exemple simple est le groupe des matrices de rotation 2×2, noté SO(2,\mathbb R) : \begin{bmatrix} \cos \lambda & -\sin \lambda \\ \sin \lambda & \cos \lambda \end{bmatrix}.

Il est paramétré par un seul angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) λ : sa variété est donc unidimensionnelle (un cercle). C'est bien un groupe car l'inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y...) d'un élément de paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte pour prendre une décision ou pour effectuer un calcul.) λ est donné par l'élément de paramètre −λ et le produit des éléments de paramètres λ et μ est donné par l'élément de paramètre λ+μ.

Plus précisément en mathématiques, un groupe de Lie (Un groupe de Lie est un groupe — au sens mathématique — continu (c'est-à-dire dont chaque élément est infinitésimalement proche d'au moins un autre élément).) est une variété différentielle réelle ou complexe munie d'une structure de groupe, les opérations sur ce groupe devant également être différentiables ou holomorphes. Le concept fut introduit par le mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale. Ce terme recouvre une...) norvégien Sophus Lie en 1888 afin d'étudier certaines propriétés des équations différentielles, et il est couramment utilisé en physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un...) quantique. Un analogue algébrique existe, il s'agit des groupes algébriques (des variétés algébriques munies d'une structure de groupe).

Comme exemples de groupes de Lie, on peut citer l'espace euclidien (Un espace euclidien, dans la conception actuelle, est un espace vectoriel ou affine réel de dimension finie muni d'un produit scalaire. Dans un tel espace, on peut...) \mathbb R^n (muni de l'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs extensives de...) vectorielle ordinaire comme opération de groupe) ou, de façon plus caractéristique, le groupe GL_n(\mathbb{R}) des matrices inversibles (selon la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) matricielle) et certains de ses sous-groupes comme le groupe SO(3) des rotations dans un espace de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si...) 3.

\mathbb Z n'est pas un groupe continu, car il n'y a aucun élément entre 1 & 2.

Définitions

Une structure algébrique (En mathématiques, plus particulièrement en algèbre, une structure algébrique est formée d’un ensemble combiné à une ou plusieurs lois de composition, éventuellement complétées par un ordre ou une topologie, le tout satisfaisant...) G est un groupe de Lie réel ou complexe lorsque :

  • G est une variété différentiable réelle ou complexe ;
  • G, munie de deux fonctions G×G\rightarrowG (multiplication) et G\rightarrowG (inversion), est un groupe ;
  • les applications de multiplication et d'inversion sont différentiables ou holomorphes.

Il est également possible de définir un groupe de Lie comme une variété différentielle munie d'opérations de groupe seulement continues. Cette définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) est équivalente à la précédente et est une interprétation du 5e problème de Hilbert.

La dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son...) d'un groupe de Lie est définie comme sa dimension en tant que variété.

Il existe également un notion analogue de Groupe de Lie p-adique lorsque la variété différentielle sous-jacente est remplacée par un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude...) analytique p-adique. Ce sera le cas, par exemple, du groupe des points p-adiques d'un groupe algébrique.

Propriétés

Types de groupes de Lie

Les groupes de Lie sont classés selon leur propriétés algébriques (abélien, simple, semisimple, résoluble, nilpotent), ou topologiques (connexe, simplement connexe, compact).

Homomorphismes et isomorphismes

Si G et H sont deux groupes de Lie (tous deux réels ou complexes), alors un homomorphisme de groupes de Lie f : G\rightarrowH est un homomorphisme de groupe qui est également une fonction différentiable ou holomorphe (il suffit en fait que f soit continue).

La composition de deux homomorphismes de groupes de Lie est un homomorphisme de groupes de Lie et la classe de tous les groupes de Lie est une catégorie dont les flèches sont les homomorphismes de groupes de Lie. Deux groupes de Lie sont dit isomorphes s'il existe entre eux un homomorphisme bijectif dont la réciproque (La réciproque est une relation d'implication.) est également un homomorphisme.

La classe des groupes de Lie réels ou complexe de dimension n identifiés à isomorphisme près est un ensemble.

Algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon...) de Lie associée à un groupe de Lie

Il est possible d'associer naturellement à tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) groupe de Lie G une algèbre de Lie. Il existe deux manières équivalentes d'introduire cette algèbre de Lie. L'une consiste à introduire un espace de champs de vecteurs sur G, la seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une...) consiste à munir l'espace tangent en l'élément neutre d'un crochet de Lie, dérivant de l'expression locale de la loi interne (En France, ce nom désigne un médecin, un pharmacien ou un chirurgien-dentiste, à la fois en activité et en formation à l'hôpital ou en cabinet pendant une durée variable...) de G.

Comme algèbre de champs de vecteurs

G désigne un groupe de Lie réel ou complexe de dimension n. Pour g un élément de G, l'application Lg : G\rightarrowG définie par Lg(f) = gf est un difféomorphisme de la variété réelle ou complexe sous-jacente à G. Un champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) de vecteurs X sur G est dit invariant à gauche lorsque pour tout élément g de G, on a : TLg(X) = X.

Pour toute variété différentielle réelle ou complexe M, l'espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur, voir l'article Vecteur.) réel ou complexe des champs de vecteurs sur M, noté I(M), est muni d'une structure naturelle d'algèbre Lie réel ou complexe, dont le crochet est le crochet de champs de vecteurs. La naturalité signifie exactement que tout morphisme f:M\rightarrowN entre variétés réelles ou complexes induit (L'induit est un organe généralement électromagnétique utilisé en électrotechnique chargé de recevoir l'induction de l'inducteur et de la transformer en électricité (générateur) ou en force (moteur).) un morphisme d'algèbres de Lie f*I(M)\rightarrowI(N). En particulier, pour M = N = G, on dispose d'automorphisme d'algèbres de Lie Lg *:I(G)\rightarrowI(G). En particulier, l'ensemble des points fixes communs à tous les difféomorphismes Lg * est une sous-algèbre de Lie de I(G), notée g. Ses éléments sont dits des champs de vecteurs invariants à gauche sur G.

Comme espace tangent

Soit TeG l'espace tangent en e à G, e désignant l'élément neutre de G. L'application \left\{\begin{matrix} I(G) \rightarrow T_eG \\ X \mapsto X_e \end{matrix}\right. (où Xe est la valeur de X en l'élément neutre) est un isomorphisme linéaire. La structure d'algèbre de Lie de g se transporte donc, via cet isomorphisme, en une structure d'algèbre de Lie sur l'espace vectoriel TeG

Cette structure peut se définir directement. Supposons donnée (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un événement, etc.) f une carte locale de G en l'élément neutre e avec f(e)=0, alors, l'application produit lue dans la carte locale f est au second ordre près :

f(f-1(a).f-1(b))=a+b+B(a,b)+...

B est une forme bilinéaire (Soit E, F et G trois espaces vectoriels sur un corps . Soit une application, on dit que est bilinéaire si et seulement si elle est linéaire en chacune de ses variables, c'est-à-dire:...) antisymétrique. La structure d'algèbre de Lie sur TeG est donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) par :

[X,Y] = B(X,Y).

Application exponentielle (La fonction exponentielle est l'une des applications les plus importantes en analyse, ou plus généralement en mathématiques et dans ses domaines d'applications. Il existe plusieurs définitions équivalentes : un morphisme continu de...)

Dans la première présentation, tout vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer...) X de g est par définition un vecteur invariant à gauche sur G. L'invariance à gauche implique que son flot est globalement défini. L'exponentielle de X est définie comme l'image au temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) 1 de l'élément neutre. Plus précisément, il existe une unique fonction c : \mathbb R \rightarrowG dont la dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une dérivée est une expression (numérique...) est donnée par :

c'(t) = X[c(t)] [eq.1].

et c(0) = 1

Elle possède la propriété remarquable suivante :

c(s + t) = c(s).c(t) [eq.2]

pour tous s et t.

On peut écrire : ev = c(1)

Une reparamétrisation incluant la variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule,...) t montre

c(t) = etv [eq.3]

On peut vérifier : c(0) = 1; d(c(t)) / dt = vetv ; d(c(0)) / dt = X[c(0)] = v .

Cette fonction est également appelée fonction exponentielle et relie l'algèbre de Lie g au groupe de Lie G. Elle définit un difféomorphisme entre un voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la topologie. La topologie traite plus naturellement les notions globales comme la continuité qui s'entend ici comme la...) de 0 dans g et un voisinage de e dans G. Toutefois, en général, l'application exponentielle n'est pas surjective.

Un sous-groupe à un paramètre de G est une application différentiable c \mathbb R \rightarrowG vérifiant l'identité eq.2 ci-dessus. À tout sous-groupe à un paramètre c est associé un unique élément X de g vérifiant : c(t) = etv.

Classification des groupes de Lie

Plusieurs groupes de Lie peuvent partager la même algèbre de Lie associée. Cependant, à toute algèbre de Lie g correspond un groupe de Lie simplement connexe G, unique à isomorphisme près. De plus cet isomorphisme est uniquement déterminé par l'isomorphisme d'algèbre de Lie associé. Tout groupe de Lie connexe dont l'algèbre de Lie est isomorphe à g se réalise comme quotient de G par un sous-groupe normal discret.

Un groupe de Lie connexe est simple, semisimple, résoluble, nilpotent (En mathématiques, un élément x d'un anneau R est appelé nilpotent s'il existe un certain nombre entier positif n tel que .) ou abélien si et seulement si son algèbre de Lie associée possède la propriété de même nom. En particulier, la classification des algèbres de Lie semi-simples donne une classification des groupes de Lie simplement connexes et semi-simples.

Exemples

Groupes de Lie réels

Groupe de Lie Description Propriétés Algèbre de Lie Description Dimension
\mathbb R^n Espace euclidien muni de l'addition Abélien; Simplement connexe, non compact \mathbb R^n Le crochet de Lie est nul n
\mathbb R^* Nombres réels non nuls munis de la multiplication Abélien; Non connexe, non compact \mathbb R Le crochet de Lie est nul 1
\mathbb R^*_+ Nombres réels strictement positifs munis de la multiplication Abélien; Simplement connexe, non compact \mathbb R Le crochet de Lie est nul 1
S^1=\mathbb R/\mathbb{Z} Nombres complexes de module 1 munis de la multiplication Abélien; Connexe, non simplement connexe, compact \mathbb R Le crochet de Lie est nul 1
GL(n,\mathbb R) Groupe général linéaire : matrices réelles n×n inversibles Non connexe, non compact \mathcal M_n(\mathbb R) Matrices n×n, le crochet de Lie étant le commutateur n²
GL^{+}(n,\mathbb R) matrices réelles n×n à déterminant positif Simplement connexe, non compact \mathcal M_n(\mathbb R) Matrices n×n, le crochet de Lie étant le commutateur n²
SL(n,\mathbb R) Groupe spécial linéaire : matrices réelles de déterminant 1 Simplement connexe, non compact si n > 1 sl(n,\mathbb R) Matrices carrées de trace (TRACES (TRAde Control and Expert System) est un réseau vétérinaire sanitaire de certification et de notification basé sur internet sous la responsabilité de la Commission européenne dans le cadre...) nulle, le crochet de Lie étant le commutateur n²-1
O(n,\mathbb R) Groupe orthogonal : matrices orthogonales réelles Non connexe, compact so(n,\mathbb R) Matrices antisymétriques carrées réelles, le crochet de Lie étant le commutateur; so(3,\mathbb R) est isomorphe à su\left(2\right) et \mathbb R^3 muni du produit vectoriel (Le produit vectoriel est une opération vectorielle effectuée dans les espaces euclidiens orientés de dimension trois[1]. Le formalisme utilisé actuellement est apparu en 1881 dans un...) n(n - 1)/2
SO(n,\mathbb R) Groupe spécial orthogonal : matrices orthogonales réelles de déterminant 1 Simple et semisimple pour n=3 et n≥5; Connexe, compact, non simplement connexe pour n≥2 so(n,\mathbb R) Matrices antisymétriques carrées réelles, le crochet de Lie étant le commutateur n(n - 1)/2
Spin\left(n\right) Groupe Spin (Le spin est une propriété quantique intrinsèque associée à chaque particule, qui est caractéristique de la nature de la particule, au même titre que sa...) Simple et semisimple pour n=3 et n≥5; Simplement connexe, compact so(n,\mathbb R) Matrices antisymétriques carrées réelles, le crochet de Lie étant le commutateur n(n - 1)/2
Sp(2n,\mathbb R) Groupe symplectique : matrices symplectiques réelles Simple, semisimple; Non compact sp(2n,\mathbb R) Matrices réelles satisfaisant JA + ATJ = 0 où J est la matrice antisymétrique (En algèbre linéaire, une matrice carrée A est dite antisymétrique si sa transposée est égale à son opposé ; c'est-à-dire si elle satisfait à l'équation :) standard n(2n + 1)

Groupes de Lie complexes

Les dimensions sont données sur \mathbb C (sauf pour les groupes unitaires où elles sont données sur \mathbb R). Tout groupe ou algèbre de Lie complexe peut être vu comme un groupe ou une algèbre de Lie réel de dimension double.

Groupe de Lie Description Propriétés Algèbre de Lie Description Dimension
\mathbb C^n Espace euclidien muni de l'addition Abélien; Simplement connexe, non compact \mathbb C^n Le crochet de Lie est nul n
\mathbb C^* Nombres complexes non nuls munis de la multiplication Abélien; Non simplement connexe, non compact \mathbb C Le crochet de Lie est nul 1
GL(n,\mathbb C) Groupe général linéaire : matrices complexes n×n inversibles Simplement connexe, non compact; Isomorphe à \mathbb C^* pour n=1 \mathcal M_n(\mathbb C) Matrices n×n, le crochet de Lie étant le commutateur n²
SL(n,\mathbb C) Groupe spécial linéaire : matrices complexes de déterminant 1 Simple, semisimple; Simplement connexe, non compact pour n≥2 sl(n,\mathbb C) Matrices carrées de trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le champ magnétique à petite échelle du Soleil et la géométrie du plasma coronal, à travers des images haute...) nulle, le crochet de Lie étant le commutateur n²-1
O(n,\mathbb C) Groupe orthogonal : Matrices orthogonales complexes Non connexe, non compact pour n≥2 so(n,\mathbb C) matrices antisymétriques carrées complexes, le crochet de Lie étant le commutateur n(n-1)/2
SO(n,\mathbb C) Groupe spécial orthogonal : matrices orthogonales complexes de déterminant 1 Simple et semisimple pour n=3 et n≥5; Non simplement connexe, non compact pour n≥2 so(n,\mathbb C) Matrices antisymétriques carrées complexes, le crochet de Lie étant le commutateur n(n-1)/2
Sp(2n,\mathbb C) Groupe symplectique : matrices symplectiques complexes Simple et semisimple; Non compact sp(2n,\mathbb C) Matrices complexes satisfaisant JA+ATJ=0 où J est la matrice antisymétrique standard n(2n+1)
U\left(n\right) Groupe unitaire : matrices unitaires n×n complexes Non simplement connexe, compact; Isomorphe à S1 pour n=1 u\left(n\right) Matrices carrées complexes A vérifiant A=-A*, le crochet de Lie étant le commutateur n²
SU\left(n\right) Groupe spécial unitaire : matrices unitaires complexes n×n de déterminant 1 Simple et semisimple pour n≥2; Simplement connexe, compact su\left(n\right) Matrices carrées complexes de traces nulles A vérifiant A=-A*, le crochet de Lie étant le commutateur n²-1

Groupes de Lie quaternioniques

Les dimensions sont données sur \mathbb R.

Groupe de Lie Description Propriétés Algèbre de Lie Description Dimension
\mathbb{H}^{*} Quaternions non nuls munis de la multiplication Simplement connexe, non compact \mathbb{H} Quaternions, le crochet de Lie étant le commutateur 4
\mathbb S^3 Quaternions de module 1 munis de la multiplication, également noté Sp\left(1\right) Simple, semisimple; Simplement connexe, compact; Topologiquement une sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les points situés à...), isomorphe à SU\left(2\right) et Spin\left(3\right) Im(\mathbb{H}) Quaternions de partie réelle nulle, le crochet de Lie étant le produit vectoriel; Isomorphe aux vecteurs réels de dimension 3, également isomorphe à su\left(2\right) et so\left(3\right) 3
Sp\left(n\right) Groupe compact symplectique : matrices unitaires n×n quaternioniques Simple, semisimple; Compact, simplement connexe sl\left(n\right) Matrices quaternioniques carrées A vérifiant A=-A*, le crochet de Lie étant le commutateur n(2n + 1)

Groupes de Lie exceptionnels

On répertorie 5 Groupes de Lie dits exceptionnels, notés respectivement E6, E7, E8, F4 & G2

Page générée en 0.215 seconde(s) - site hébergé chez Amen
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
Ce site est édité par Techno-Science.net - A propos - Informations légales
Partenaire: HD-Numérique