Alvéole d'abeille
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Les alvéoles d'abeilles, construits en cire par les abeilles ouvrières afin de stocker le miel et le pollen (Le pollen (du grec palè : farine ou poussière) constitue, chez les végétaux supérieurs, l'élément fécondant mâle de la fleur : ce sont de minuscules grains de forme plus ou moins...) ou les œufs et les larves, sont des prismes juxtaposés d’axes horizontaux qui constituent le gâteau de cire (Chimiquement, la cire est un ester de l'éthylène glycol et de deux acides gras ou un monoester d'acide gras et d'alcool à longues chaines. Le terme de cire a longtemps fait...). Ce gâteau de cire est ainsi formé de deux séries d’alvéoles hexagonaux se rejoignant en leur base.

Mais ce qui est vraiment surprenant, c’est la forme plus que singulière de ces alvéoles. Contrairement à ce qu’on pourrait supposer, l’autre extrémité de ces cellules n’est pas un hexagone (Un hexagone (du grec hexi = six et gonia = angle) est un polygone à six sommets et six côtés. Les angles internes d'un hexagone régulier sont tous de 120° et ses côtés sont de...) régulier, mais un emboîtement de trois losanges identiques, appelés rhombes. Les prismes ne se raccordent donc pas par leur surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent abusivement confondu avec sa...) hexagonale, mais justement par ces losanges, chaque cellule étant adossée, décalée, à trois autres au moyen de ces surfaces.

La construction de l'alvéole commence par le fond. L'épaisseur des parois est infime (moins de 300 micromètres, c'est diaphane-translucide), seul le bord supérieur est plus épais, pour éviter l'effritement.

pavage hexagonal

Aperçu historique

La forme hexagonale des alvéoles fut repérée par Aristote (Aristote (en grec ancien Ἀριστοτέλης / Aristotélês) est un philosophe grec né à Stagire (actuelle Stavros) en Macédoine...) dès le IVe siècle av. J.-C. (Histoire des Animaux) puis traitée géométriquement huit siècles plus tard par Pappus (Pappus d'Alexandrie vécut au IVe siècle après J.C. Il est un des plus important mathématiciens de la Grèce antique, connu pour son ouvrage Synagoge...), mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale. Ce terme recouvre une large...) grec ; mais ce n’est qu’au XVIIIe siècle que cette forme rhomboïdale fut remarquée. Ainsi, Maraldi, astronome (Un astronome est un scientifique spécialisé dans l'étude de l'astronomie.) à l’Observatoire de Paris (Paris est une ville française, capitale de la France et le chef-lieu de la région d’Île-de-France. Cette ville est construite sur une boucle de la Seine, au centre du bassin parisien, entre les confluents de la Marne et de la Seine en...), détermina expérimentalement en 1712 la valeur des angles de ces rhombes, égale à 109°28’ et 70°32’.

Intrigué par la complexité (La complexité est une notion utilisée en philosophie, épistémologie (par exemple par Anthony Wilden ou Edgar Morin), en physique, en biologie (par exemple par Henri Atlan), en sociologie, en informatique...) de ces formes, le physicien (Un physicien est un scientifique qui étudie le champ de la physique, c'est-à-dire la science analysant les constituants fondamentaux de l'univers et les forces qui les relient. Le mot physicien dérive du grec, qui connaît la...) Réaumur soupçonne les abeilles de construire leur gâteau de cire dans un souci d’économie (voir l'article Apiculture). Afin de vérifier son hypothèse, il demanda au géomètre allemand König de déterminer quelle était la cellule hexagonale à fond composé de trois rhombes égaux qui pouvait être construite avec le moins de matière (La matière est la substance qui compose tout corps ayant une réalité tangible. Ses trois états les plus communs sont l'état solide, l'état liquide, l'état gazeux. La matière occupe de l'espace et...) possible. Par calcul différentiel (Un différentiel est un système mécanique qui a pour fonction de distribuer une vitesse de rotation de façon adaptative aux besoins d'un ensemble...), König trouva en 1739 que les angles de ces losanges devaient être égaux à 109°26’ et 70°34’. La correspondance (La correspondance est un échange de courrier généralement prolongé sur une longue période. Le terme désigne des échanges de courrier personnels plutôt qu'administratifs.) de ce résultat avec celui de Maraldi est déjà étonnante, mais elle fut améliorée en 1734 par le mathématicien écossais Maclaurin qui démontra que König avait commis une erreur dans ses calculs, et que les angles des losanges correspondant à l’utilisation d’un minimum de matière étaient justement ceux indiqués par Maraldi : 109°28’ et 70°32’ [les valeurs mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations....) optimales sont égales respectivement à Arc cos (-1/3) et Arc cos (1/3)]. c'est bien l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) des faces de contact de 4 bulles de savon (Le savon est un objet liquide ou solide composé de molécules amphiphiles composées de sels métalliques, spécifiquement d'hydroxyde de sodium ou d'hydroxyde de potassium, et d'acides...) qui se rencontrent en un point (Graphie). Les bulles de savon réalisent toujours, à cause de leur tension superficielle (La tension superficielle, ou énergie d'interface, ou énergie de surface, est la tension qui existe à la surface de séparation de deux milieux.), la surface minimale (En mathématiques et en physique, une surface minimale est une surface minimisant son aire. Ce minimum est réalisé sous une contrainte : un ensemble de points, le bord de la surface, est d'avance...) à contrainte de contour donné.

[C'est Réaumur qui propose l'idée originale et avant-gardiste de prendre comme unité de mesure (En physique et en métrologie, les unités sont des étalons pour la mesure de grandeurs physiques qui ont besoin de définitions précises pour être utiles. Les...) le côté du pavage (Un pavage (ou dallage) est une partition d'un espace (généralement un espace euclidien comme le plan ou l'espace tridimensionnel) par un ensemble fini...) hexagonal et regrette beaucoup qu'il n'en fût pas fait de mesure dans les civilisations anciennes, car cela aurait donné une traçabilité des unités de mesure.

On retrouve sur ce problème : Lhuillier (Berlin,1781), Lalanne (Ann.sc.nat.1840), Brougham (CRAS, 1858) et Hennessy (proc. roy. soc. London 1886), avec évidemment Buffon et Plateau. Buffon commet une erreur : son idée, souvent reprise hélas, est FAUSSE : qu'on comprime simultanément deux ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un...) de cylindres de cire allongés ; ils prendront cette forme hexagonale. C'est possible, mais les abeilles ne procèdent pas de cette manière (HUBER, Paris 1814, observation (L’observation est l’action de suivi attentif des phénomènes, sans volonté de les modifier, à l’aide de moyens d’enquête et d’étude appropriés. Le plaisir procuré explique la très grande...) des abeilles) : elles commencent par construire le fond, puis les faces des cylindres hexagonaux ! Elles ont donc en elles une adaptation à la construction d'un tel gaufrage du fond. Cela procède certes du tassement simultané en recto-verso de la cire, et l'explication de Buffon n'est donc pas à négliger, mais cela ne correspond pas à une situation (En géographie, la situation est un concept spatial permettant la localisation relative d'un espace par rapport à son environnement proche ou non. Il inscrit un lieu dans un...) de toutes les alvéoles, ensemble, comme on le voit écrit parfois.

Pourquoi un hexagone ?

Le premier souci des abeilles est de paver le plan pour pouvoir ensuite paver l’espace. On connaît trois polygones réguliers permettant de paver le plan : le triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de « triangle » est...) équilatéral, le carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un carré est à la fois...) et l’hexagone. Or, on peut démontrer que, parmi ces trois polygones réguliers, pour une même surface, l’hexagone est le polygone (En géométrie euclidienne, un polygone (du grec polus, nombreux, et gônia, angle) est une figure géométrique plane, formée...) régulier offrant le plus petit périmètre (Le périmètre d'une figure plane est la longueur du bord de cette figure. Le calcul du périmètre sert par exemple à déterminer la quantité de grillage...).

Cependant, on pourrait se demander si l’hexagone est bien le pavage du plan le plus économique. En effet, on pourrait envisager de combiner des polygones de toutes sortes, qui ne sont pas forcément réguliers ni même dont les côtés forment une ligne droite. On ne savait pas grand-chose sur ce sujet jusqu’en 1943, date à laquelle le mathématicien hongrois Fejes Toth démontra que la structure hexagonale régulière restait le polygone le plus économique pour paver le plan parmi tous les polygones à côtés droits.

Mais que se passe-t-il lorsque les côtés sont courbes ? Fejes Toth pensait que la structure hexagonale régulière resterait la plus efficace, mais il ne parvint pas à le démontrer.

Ce n’est qu’en 1999 que Thomas Hales présente sa preuve en 19 pages (Honeycomb Conjecture).

Pourquoi des rhombes ?

Le fond formé de trois rhombes permet un adossement simple des alvéoles. Il est même facile de prouver qu'il est plus économique qu'un fond plat hexagonal mais reste-t-il le moyen le plus économique ?

En 1964, Fejes Toth a démontré que si le fond était formé de deux petits hexagones ainsi que de deux losanges, à la place de trois rhombes, la quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière de dénommer la valeur...) de cire serait, pour un même volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.), inférieure de 0,35% à ce qu’elle est avec les losanges.

Calcul des angles

Pour déterminer les angles des rhombes minimisant la surface, on peut déjà remarquer que le remplacement d'un fond hexagonal AB'CD'EF' par un fond formé de 3 rhombes de diagonales AC, CE, EF, ne modifie pas le volume de l'alvéole. En effet, le volume ôté est exactement égal au volume ajouté.

Il s'agit maintenant de comparer les surfaces.

. Dans un fond rhomboïdal, la surface est celle de trois losanges SABC, SCDE, SEFA

Cette surface remplace exactement la surface du fond hexagonal AB'CD'EF' et de 6 triangles égaux au triangle AB'B.

La position de B est optimale quand aire(SABC) - 2 aire (AB'B) est minimale.

Or la diagonale (On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non reliés par un côté). Un polygone à n côtés possède diagonales.) du losange (Dans un espace affine normé, un losange, anciennement appelé rhombe, est un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur.) se calcule aisément AC= a\sqrt{3}. Si on appelle P le centre du losange, l'aire de SABC est alors AC= a\sqrt{3}PB.

Quant au triangle AB'B, rectangle (En géométrie, un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont des angles droits.) en B', son aire vaut \frac 12 a \times BB'

La quantité aire(SABC) - 2 aire (AB'B) sera donc minimale si le chemin \sqrt{3}PB - BB' est minimal

Deux méthodes sont alors possibles. L'une est accessible au niveau lycée, l'autre utilise le principe de Fermat

Niveau lycée : on appelle x la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de...) BB', il s'agit alors de rendre minimale la quantité

f(x) = \sqrt{3}\sqrt{\frac{a^2}{4} + x^2} - x
Le calcul de la dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une dérivée...) mène à
f'(x) = \sqrt{\frac{3x^2}{\frac{a^2}{4}+x^2}} - 1
C'est une fonction croissante sur \R+ (car X \mapsto \frac{3X}{X + a^2/4} est croissante) qui s'annule pour \frac{x}{\sqrt{\frac{a^2}{4} + x^2}} = \frac{1}{\sqrt 3}, c’est-à-dire lorsque \frac{BB'}{BP} = \frac{1}{\sqrt 3}.
C'est donc pour ce rapport que la fonction f\,atteint son minimum.

Principe de Fermat : il précise que le chemin \sqrt{3}PB - BB' est minimal lorsque \sqrt 3 \frac{\overrightarrow {PB}}{PB} - \frac{\overrightarrow {B'B}}{B'B} est orthogonal à \overrightarrow{BB'} soit lorsque \frac{BB'}{BP} = \frac{1}{\sqrt 3}.

Il ne reste plus qu'à trouver les angles du losange. On appelle \theta  = \widehat{ABC} et \phi = \widehat{SAB}

  • Dans le triangle PB'B, on a
\frac{BB'}{BP} = \frac{1}{\sqrt 3} = \cos(\widehat{B'BP})
\frac{PB'}{BP} = \frac{\sqrt 2}{\sqrt 3} = \sin(\widehat{B'BP})
ce qui donne
BP = \frac{\sqrt 3}{\sqrt 2} PB'
  • Dans le triangle APB'
AP = \sqrt 3 PB'
  • Donc, dans le losange SABC, on a
    • \frac{PA}{PB} =\sqrt 2 = \tan(\theta/2), ce qui donne \cos(\theta)= \frac{1-2}{1+2} = -\frac 13
    • \frac{PB}{PA} = \frac{1}{\sqrt 2}  = \tan(\phi/2), ce qui donne\cos(\phi)= \frac{1-1/2}{1+1/2} = \frac 13

soit des angles de 109°28' et de 70°32', comme l'a trouvé Mac Laurin.


Développement d'un alvéole d'abeille
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