Problèmes de Hilbert

Lors du deuxième congrès international de mathématiques tenu à Paris en 1900, David Hilbert présenta une liste de problèmes qui tenaient jusqu'alors les mathématiciens en échec. Ces problèmes devaient, selon Hilbert, marquer le cours des mathématiques du XXe siècle, et l'on peut dire aujourd'hui que cela a été grandement le cas. La liste définitive fut publiée après la tenue du congrès et est aujourd'hui familièrement appelée problèmes de Hilbert (Lors du deuxième congrès international de mathématiques tenu à Paris en 1900, David Hilbert présenta une liste de problèmes qui tenaient jusqu'alors les mathématiciens en échec. Ces problèmes devaient, selon Hilbert,...).

Les sections suivantes présentent brièvement chaque problème.

L'équivalent pour le XXIe siècle a été défini sous le programme des problèmes du prix du millénaire (Un millénaire est une période de mille années, c'est-à-dire de dix siècles.).

Premier problème

Prouver l'hypothèse du continu de Cantor.

Paul Cohen, en se basant sur les travaux de Gödel, montra en 1963 que cette conjecture (En mathématiques, une conjecture est une assertion qui a été proposée comme vraie, mais que personne n'a encore pu démontrer ou réfuter.) était indécidable.

Hilbert rattache ce problème à la question suivante : prouver que l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) des nombres réels peut être bien ordonné. Ernst Zermelo prouva que l'existence de ce bon ordre est équivalent à l'axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en soi ») désigne une vérité...) du choix de Zermelo. Ainsi, le prouver revient à accepter cet axiome, ce que nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de mathématiciens refusèrent. Alors que Hilbert pensait que ces deux problèmes étaient liés, Cohen prouva qu'ils étaient indépendants en montrant que l'hypothèse du continu de Cantor était indécidable.

Deuxième problème

Démontrer la consistance des axiomes de l'arithmétique.

Gödel montra en 1931, via son théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement...) d'incomplétude (On parle de complétude en mathématiques dans des sens très différents. On dit d'un objet mathématiques qu'il est complet pour exprimer que rien ne peut lui être ajouté, en un sens qu'il...), que cela ne pouvait être démontré sans sortir de l'arithmétique. Gerhard Gentzen, cependant, donna, en 1936, une réponse affirmative au moyen d'une récurrence transfinie.

Troisième problème

Étant donnés deux polyèdres d'égal volume, peut-on découper le premier polyèdre (Traditionnellement, un polyèdre est une forme géométrique à 3 dimensions ayant des faces planes qui se rencontrent le long d'arêtes droites. Le mot polyèdre...) en des polyèdres et les rassembler pour former le second polyèdre ?

Max Dehn, élève de Hilbert, montra que non, en 1902, en démontrant qu'il était impossible de diviser un cube (En géométrie euclidienne, un cube est un prisme dont toutes les faces sont carrées. Les cubes figurent parmi les solides les plus remarquables de l'espace. C'est...) et un tétraèdre (Le tétraèdre (du grec tétra : quatre), est un solide composé de quatre triangles, de la famille des pyramides, donc des cônes.) régulier de même volume en un nombre fini de polyèdres deux à deux identiques. Malgré tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.), le paradoxe de Banach-Tarski (Le paradoxe de Banach-Tarski, dû à Stefan Banach et Alfred Tarski, montre qu’il est possible de couper une boule de en un nombre fini de morceaux et de réassembler ces morceaux pour...) constitue un résultat positif pour cette question si l'on n'exige pas que les morceaux intermédiaires soient des polyèdres et surtout si l'on suppose l'axiome du choix.

Quatrième problème

Définir toutes les géométries dont la plus courte distance entre deux points est un segment de droite.

La géométrie différentielle (En mathématiques, la géométrie différentielle est l'application des outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie. Les objets d'étude de base sont les...) a permis de répondre en partie à ce problème, bien que l'on ne puisse pas à proprement parler de réponse ferme.

Cinquième problème

Démontrer que les groupes de Lie sont nécessairement différentiables.

Le théorème de Gleason-Montgomery-Zippin en 1953 y répondit par l'affirmative.

Sixième problème

L'axiomatisation, basée sur le modèle mathématique, de la physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique désigne...).

Du fait de l'apparition de la théorie de la relativité (Cet article traite de la théorie de la relativité à travers les âges. En physique, la notion de relativité date de Galilée. Les travaux d'Einstein en ont fait un important champ d'étude, tant...) et de la mécanique quantique (Fille de l'ancienne théorie des quanta, la mécanique quantique constitue le pilier d'un ensemble de théories physiques qu'on regroupe sous l'appellation générale de physique quantique. Cette dénomination s'oppose...), le problème fut vite obsolète. Malgré tout, on peut noter que la physique théorique (La physique théorique est la branche de la physique qui étudie l’aspect théorique des lois physiques et en développe le formalisme mathématique.) et les mathématiques ne cessent de se rapprocher. En axiomatisant la Théorie des probabilités (La Théorie des probabilités est l'étude mathématique des phénomènes caractérisés par le hasard et l'incertitude. Les objets centraux de la...), Kolmogorov a résolu en partie ce problème.

Septième problème

Démontrer la transcendance des nombres ab, avec a algébrique et b irrationnel (par exemple 2^{\sqrt{2}}).

Les travaux de Gelfond, complétés par Schneider et Baker, ont permis de résoudre en partie ce problème (voir Théorème de Gelfond-Schneider).

Huitième problème

Démontrer l'hypothèse de Riemann.

Malgré les progrès faits notamment par Deligne qui démontra les conjectures de Weil, et reçut pour cela la médaille Fields (La médaille Fields est la plus prestigieuse récompense pour la reconnaissance de travaux en mathématiques, souvent comparée au Prix Nobel. Son but est d'apporter un...) en 1978, on est encore loin d'avoir résolu ce problème, qui s'annonce comme celui du XXIe siècle.

Neuvième problème

Établir une loi de réciprocité dans les corps de nombres algébriques.

Une réponse à ce problème est apportée par la loi de réciprocité d'Artin, démontrée par celui-ci en 1927.Ce théorème enrichit la connaissance de la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur l’observation ou...) des corps de classes, dont le développement fut facilité par l'introduction des idèles par Chevalley en 1936.

Dixième problème

Trouver un algorithme déterminant si une équation diophantienne a des solutions.

Il fallut attendre les travaux de Church et Turing en 1930 pour définir rigoureusement la notion d'algorithme. En 1970, Yuri Matijasevic, établissant une équivalence entre les ensembles récursivement énumérables et les ensembles diophantiens, a établi qu'un tel algorithme ne pouvait pas exister.

Onzième problème

Classifier les formes quadratiques à coefficients dans les anneaux d'entiers algébriques.

Le théorème de Hasse-Minkowski résout le problème sur \mathbb Q, et Siegel le résolut sur d'autres anneaux intègres.

Douzième problème

Prolonger le théorème de Kronecker sur les corps non-abéliens.

Treizième problème

Montrer l'impossibilité de résoudre les équations du septième degré au moyen de fonctions de seulement deux variables.

Plus généralement, il s'agit d'étudier les fonctions continues (et, en fait, les fonctions continues de trois variables) qui ne peuvent pas s'exprimer par composition à partir de fonctions continues de deux variables. En 1954, Kolmogorov et son élève Vladimir Arnold (Vladimir Igorevitch Arnol'd, plus couramment appelé Vladimir Arnold est un mathématicien russe, né le 12 juin 1937 à Odessa, à l'époque en URSS.) ont montré que cette classe était vide : il existe n(2n + 1) fonctions continues universelles Φij (de [0;1] dans [0;1]) telles que pour toute fonction continue f:[0;1]^n \to [0;1], il existe 2n + 1 fonctions continues g_j :[0;1] \to [0;1] telles que f(x_1 , \dots, x_n) = \sum_{j=1}^{2n+1} g_j \left( \sum_{i=1}^n \Phi_{ij} (x_i)\right). En revanche, la question de la résolubilité de l'équation du septième degré par des fonctions analytiques de deux variables est encore ouverte.

Quatorzième problème

Prouver le caractère fini de certains systèmes complets des fonctions.

Le problème est le suivant : on considère un corps k et un sous-corps K de E = k(X_1, \dots, X_n) ; on pose R = k[X_1 , \dots, X_n ] ; l'anneau K \cup R est-il une k-algèbre de type fini ? La réponse est négative, comme l'a montré Zariski (qui donna l'interprétation géométrique suivante : il existe une variété projective X de corps des fonctions K et un diviseur (En mathématiques, un nombre entier d est un diviseur d'un entier n lorsque la division euclidienne de n par d donne un reste égal à zéro. Autrement dit, il existe un entier q tel que n = d ×...) effectif D sur X tel que K \cup R soit l'ensemble des fonctions de K n'ayant de pôles que sur R). Cependant, la recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Par extension métonymique, la...) de conditions suffisantes pour la validité du résultat d'Hilbert a été source d'idées très fécondes en géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures...).

Nagata donna en 1959 un contre-exemple (En mathématiques, un contre-exemple est un exemple, un cas particulier ou un résultat général, qui contredit les premières impressions. Un contre-exemple peut aussi être donné pour rejeter une conjecture,...) qui montra la fausseté de la conjecture.

Quinzième problème

Mettre en place les bases du calcul énumératif de Hermann Schubert.

Il s'agit là de rendre rigoureux certains calculs sur les objets " en position générale " en théorie de l'intersection, et en particulier le " principe de conservation des nombres ". Ce problème a donné naissance aux théories de la multiplicité de Samuel et Grothendieck.

Résolu par Van der Waerden en 1930.

Seizième problème

Développer une topologie des courbes et des surfaces algébriques.

Ce problème comporte deux parties. La première concerne le nombre de branches réelles d'une courbe algébrique (Une courbe algébrique est une courbe, le plus souvent plane, dont l’équation cartésienne peut se mettre sous forme polynômiale. Une courbe non algébrique est...), et leur disposition ; de nombreux résultats modernes (Petrovskii, Thom, Arnold) apportent des informations à leur sujet. La seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La...) partie du problème pose la question de l'existence d'un nombre maximal de cycles limite pour une équation différentielle linéaire définie par des polynômes homogènes de degré donné ; cette question est encore ouverte.

Dix-septième problème

Montrer qu'une fonction rationnelle positive peut s'écrire sous la forme de somme de carrés de fonctions rationnelles.

Résolu par Artin en 1927. Une démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées...) purement logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois raison, langage, et...) a été trouvée par Robinson.

Dix-huitième problème

Construire un espace euclidien avec des polyèdres congruents.

Le problème comporte trois parties.

  • Premièrement, montrer qu'il n'existe à isomorphisme près qu'un nombre fini de groupes discrets d'isométries de \mathbb R^n admettant un domaine fondamental compact ; cette question fut résolue par Ludwig Bieberbach en 1910.
  • Deuxièmement, la question de l'existence de polyèdres qui ne sont pas des groupes fondamentaux, mais qui peuvent cependant paver l'espace ; de tels polyèdres furent construits par Reinhardt et Heesch dans les années trente.
  • Troisièmement, ce problème comporte aussi la fameuse conjecture de Kepler sur l'empilement des sphères dans l'espace, résolue en 1998 par Thomas Hall.

Dix-neuvième problème

Prouver que le calcul des variations est toujours nécessairement analytique.

Résolu par Bernstein et Tibor Rado en 1929.

Vingtième problème

Étudier la solution générale des problèmes de valeur limite.

Vingt-et-unième problème

Prouver que toute représentation complexe de dimension finie peut s'obtenir par action de monodromie sur une équation différentielle de Fuchs.

Résolu par Helmut Rörl en 1957.

Vingt-deuxième problème

Uniformiser des courbes analytiques au moyen de fonctions automorphes.

Résolu par Koebe et Henri Poincaré (Henri Poincaré (29 avril 1854 à Nancy, France - 17 juillet 1912 à Paris) est un mathématicien, un physicien et un philosophe français. Théoricien de génie, ses apports à maints...) en 1907.

Vingt-troisième problème

Développer une méthode générale de résolution dans le calcul des variations.

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