Scalaire (mathématiques) - Définition

Introduction

En algèbre linéaire, les nombres réels qui multiplient les vecteurs dans un espace vectoriel, sont appelés des scalaires. Cette multiplication par un scalaire, qui permet de multiplier un vecteur par un nombre pour produire un vecteur, correspond à la loi externe de l'espace vectoriel.

Plus généralement, dans un -espace vectoriel, les scalaires sont les éléments de , où peut être l'ensemble des nombres complexes ou n'importe quel autre corps.

D'autre part, un produit scalaire (à ne pas confondre avec la multiplication par un scalaire) peut être défini sur un espace vectoriel, permettant à deux vecteurs d'être multipliés entre eux pour donner un scalaire. Un espace vectoriel de dimension fini et muni d'un produit scalaire est appelé un espace vectoriel euclidien.

La composante réelle d'un quaternion est aussi appelée partie scalaire.

Le terme de matrice scalaire est utilisé pour désigner une matrice de la forme λI où λ est un scalaire et I la matrice identité.

Étymologie

Le mot scalaire provient du mot anglais scalar qui lui-même dérive du mot scale utilisé pour le rang des nombres. Ce dernier provenant du latin scala désignant une échelle.

Selon le dictionnaire anglais Oxford, le mot scalar apparait pour la première fois dans une publication scientifique en 1846 dans un article du mathématicien irlandais Sir W. R. Hamilton. Le mot est utilisé pour désigner la partie réelle d'un quaternion. Cette référence est confirmée par le site Earliest known uses of some of the mathematical words. Cependant, ce dernier précise que ce terme scalar fut déjà employé par Hamilton dans le papier On quaternions présenté en 1844, mais publié seulement en 1847 ou éventuellement en 1845 selon David Wilkins.

Définitions et propriétés

Scalaires d'espaces vectoriels

Un espace vectoriel est défini comme un ensemble de vecteurs, associé à un ensemble de scalaires, munis de plusieurs lois, dont une est une loi de multiplication par un scalaire qui associe à un scalaire λ et un vecteur v un autre vecteur λ.v. Par exemple, dans l'espace vectoriel Kⁿ des n-uplets d'éléments d'un corps commutatif K, la multiplication par un scalaire λ d'un vecteur donne un vecteur . Dans un espace vectoriel fonctionnel, pour un scalaire λ et une fonction f, λ.f est la fonction .

Les scalaires peuvent être pris dans n'importe quel corps commutatif, incluant celui des rationnels, des nombres algébriques, des nombres réels, et des nombres complexes, aussi bien que les corps finis.

Scalaires en tant que composantes de vecteurs

Tout espace vectoriel de dimension finie sur un corps de scalaires commutatif K est isomorphe à l'espace vectoriel Kⁿ formé de n-uplets de scalaires de K. Par exemple, tout espace vectoriel réel de dimension n est isomorphe à l'espace vectoriel réel de dimension n.

Produit scalaire

Un espace préhilbertien est un espace vectoriel E muni d'un produit scalaire qui est une loi permettant à deux vecteurs d'être multipliés pour donner un nombre. Le résultat ou produit, est généralement défini comme étant un élément du corps des scalaires de E. Puisque le produit scalaire d'un vecteur avec lui-même doit être positif, un espace avec un produit scalaire ne peut être défini que sur un corps qui donne un sens à la notion de signe. Cela exclut les corps finis, par exemple.

L'existence d'un produit scalaire rend possible l'introduction dans un espace vectoriel de l'intuition géométrique des espaces euclidiens en fournissant une notion bien définie d'angle entre deux vecteurs, et en particulier une manière d'exprimer l'orthogonalité deux vecteurs. La plupart des espaces muni d'un produit scalaire peuvent également être considérés comme des espaces vectoriels normés de manière naturelle.

Scalaires dans les espaces vectoriels normés

Un espace vectoriel E peut être muni d'une norme qui associe à chaque vecteur v de E un scalaire | | v | | . Par définition de la norme, en multipliant un vecteur v par un scalaire λ, on multiplie sa norme par | λ | . Si | | v | | est interprété comme la longueur de v, alors cette opération de multiplication de la longueur de v par un rapport de proportion | λ | . Un espace vectoriel muni d'une norme s'appelle un espace vectoriel normé.

La norme est habituellement à valeur dans le corps des scalaires de E, qui limite ce dernier à un corps supportant la notion du signe. D'ailleurs, si E est de dimension supérieure à 2, K doit être fermé pour la racine carrée, aussi bien que les quatre opérations arithmétiques; ainsi l'ensemble des nombres rationnels est exclus, mais l'ensemble des nombres constructibles convient. Pour cette raison, tous les espaces vectoriels munis de produit scalaire ne sont pas des espaces vectoriels normés.

Scalaires dans les modules

Quand la condition demandant à l'ensemble des scalaires d'être un corps commutatif est affaiblie, de sorte que l'ensemble n'a pas besoin que de former un anneau (par exemple, lorsque la division des scalaires n'a pas besoin d'être définie), la structure algébrique plus générale ainsi obtenue est appelée un module. Dans ce cas, les « scalaires » peuvent être des objets compliqués. Par exemple, si A est un anneau, les vecteurs de l'espace produit Aⁿ peuvent former un module constitué de matrices dont les entrées sont des scalaires de A. Un autre exemple peut être emprunté à la théorie des variétés, où l'espace des sections du fibré tangent forment un module sur l'algèbre des fonctions réelles définies sur la variété.

Homothéties vectorielles

La multiplication par un scalaire des vecteurs d'espaces vectoriels et de modules est un cas particulier d'une homothétie vectorielle, un type d'application linéaire.