Structure nucléaire - Définition

Introduction

La connaissance de la structure des noyaux atomiques, ou structure nucléaire est un des chapitres clés de la physique nucléaire. Compte tenu de son importance, on en a fait un article séparé, et on consultera avec profit l’article physique nucléaire pour en situer le contexte, les chapitres connexes de physique et les applications de cette grande branche de la physique.

Modèle de la goutte liquide

L'un des premiers modèles du noyau, proposé par Weizsäcker en 1935, est celui de la goutte liquide (voir le détail sous Formule de Weizsäcker). Le noyau est assimilé à un fluide (quantique) constitué de nucléons (protons et neutrons) qui sont confinés dans un volume fini de l'espace par l'interaction forte. L’équilibre de cette goutte est le résultat de plusieurs contributions :

• une contribution attractive : chaque nucléon interagit avec ses voisins via l'interaction forte. La somme de toutes ces interactions permet au noyau d'exister. On peut montrer que ce terme est proportionnel au volume du noyau : c'est donc le terme dit de volume ;

• une contribution répulsive due à un effet de surface : les nucléons situés près de la surface du noyau ont moins de voisins que ceux au centre du noyau. Ils interagissent donc moins et sont donc moins liés. L'énergie de liaison totale en est diminuée d'autant : c'est le terme de surface ;

• une deuxième contribution répulsive Coulombienne. Les neutrons sont des particules neutres, mais les protons ont une charge électrique (positive) et ont donc tendance à se repousser mutuellement. Cet effet diminue également l'énergie de liaison : c'est le terme Coulombien ;

• une troisième contribution répulsive due à la coexistence au sein du noyau de deux populations de particules (neutrons et protons), dont chacune a tendance à se disperser: c'est le terme de Fermi.

Le modèle de la goutte liquide fut perfectionné en 1969 par Myers et Swiatecki. Des termes correspondant à l'appariement nucléaire, à la diffusivité de la surface du noyau, etc. furent progressivement ajoutés. Ce modèle fut historiquement très important : il permit de reproduire les masses atomiques avec une assez bonne précision (90 à 95% de l’énergie de liaison correspond à une goutte liquide, le reste provenant d'effets purement quantiques) et stimula les premiers travaux théoriques sur la fission par Fermi, Bohr, etc., à la fin des années 1930. Ce modèle simple permet également d'expliquer pourquoi les noyaux peuvent être déformés, dans certaines limites.

Néanmoins, le modèle de la goutte liquide est entièrement macroscopique et ignore par conséquent totalement:

• la nature quantique des protons et des neutrons, ainsi que du noyau lui-même,

• la plupart des caractéristiques de l'interaction nucléon-nucléon.

Par conséquent, quoique sa simplicité et son contenu physique lui vaillent d'être toujours abondamment utilisé en physique de la structure nucléaire, des techniques additionnelles doivent être employées pour obtenir une description quantique fiable.

Les théories de champ moyen

Le modèle à particules indépendantes

L'interaction entre les nucléons, qui dérive de l'interaction forte et qui confine les nucléons à l'intérieur du noyau a la particularité d'être de portée finie : elle s'annule lorsque la distance entre deux nucléons devient trop grande ; attractive à distance moyenne, elle devient répulsive lorsque cette distance tend vers 0. Cette dernière propriété illustre le principe de Pauli qui stipule que deux fermions (les nucléons sont des fermions) ne peuvent être dans un même état quantique. Cela a pour conséquence que le libre parcours moyen d'un nucléon à l'intérieur du noyau est très grand ramené à la taille de celui-ci. Ce résultat, confirmé par des expériences de diffusions de particules, a conduit à l'élaboration du modèle à particules indépendantes.

L'idée centrale de cette approche est que tout se passe comme si un nucléon se déplaçait dans un certain puits de potentiel (qui le confinerait dans le noyau) indépendamment de la présence des autres nucléons. Sur le plan théorique, cette hypothèse revient à remplacer le problème à N corps - N particules en interaction - par N problèmes à 1 corps - une particule se déplaçant dans un certain potentiel. Cette simplification essentielle du problème est la pierre angulaire des théories de champ moyen. Celles-ci sont également abondamment utilisées en physique atomique où, cette fois, ce sont les électrons qui se déplacent dans un champ moyen créé par le noyau central et le nuage électronique lui-même.

Quoique cette hypothèse puisse sembler très grossière et par trop simplificatrice, elle a conduit à de grands succès et les théories de champ moyen (nous verrons qu'il en existe plusieurs variantes) sont maintenant partie intégrante de la théorie du noyau atomique. Il faut également noter qu'elles sont assez modulaires, pour reprendre un terme d'informatique, en ce sens qu'on peut aisément décrire certains effets (appariement nucléaire, mouvements collectifs de rotation ou de vibration) en "rajoutant" dans le formalisme les termes nécessaires.

Potentiel nucléaire et interaction effective

Une grande partie des difficultés pratiques rencontrées dans les théories de champ moyen est la définition (ou le calcul) du potentiel de champ moyen lui-même. On distingue, très sommairement, deux approches :

• l'approche phénoménologique consiste à paramétriser le potentiel nucléaire par une fonction mathématique appropriée. Historiquement, cette procédure fut appliqué avec le plus de succès par Nilsson qui utilisa un potentiel de type oscillateur harmonique (déformé). Les paramétrisations plus récentes reposent sur des fonctions plus réalistes qui décrivent plus fidèlement par exemple les expériences de diffusion. Citons notamment la forme de Woods-Saxon.

• l'approche auto-cohérente, ou Hartree-Fock, a pour but de déduire mathématiquement le potentiel nucléaire à partir de l'interaction nucléon-nucléon. Cette technique nécessite de résoudre l'équation de Schrödinger par une procédure itérative, le potentiel y figurant dépendant des fonctions d'onde qu'on cherche à déterminer. Celles-ci s'écrivent sous la forme d'un déterminant de Slater.

Dans le cas des approches Hartree-Fock, la difficulté n'est pas de trouver la fonction mathématique qui décrira le mieux le potentiel nucléaire, mais celle qui s'approchera le plus de l'interaction nucléon-nucléon. En effet, contrairement à, par exemple, la physique atomique où l'interaction est connue (c'est l'interaction Coulombienne), l'interaction nucléon-nucléon dans le noyau n'est pas connue analytiquement, voir le sous-chapitre relatif aux interactions NN microscopiques. Il faut donc utiliser des interactions effectives, de façon similaire au modèle en couche présenté plus haut. La forme de ces interactions n'est évidemment pas totalement arbitraire. Des considérations de symétrie la contraignent, la nécessité de reproduire certains effects physique tels que le principe de Pauli, le couplage spin-orbite ou encore la portée finie de l'interaction rendent nécessaires certains termes. Les interactions effectives les plus populaires à ce jour sont les forces dite de Skyrme (forces de contact) et de Gogny (portée finie). Des forces plus simples telles que les forces de Migdal, surface-delta ou séparables sont également souvent utilisées à des fins de test ou dans des cas particulier. Il est important de remarquer que les forces effectives de Skyrme et Gogny contiennent des termes qui dépendent de la densité de nucléons : ces termes sont nécessaires pour reproduire diverses propriétés des noyaux mais introduisent dans l'expression de la force des effets qui vont au-delà de termes à deux corps.

Les approches auto-cohérentes de type Hartree-Fock

Dans l'approche Hartree-Fock du problème à N corps, le point de départ est un hamiltonien contenant des termes d'énergie cinétique (autant que de particules du système, disons N) et des termes de potentiel. Comme il a été mentionné plus haut, l'une des hypothèses des théories de champ moyen est que seule l'interaction à 2 corps doit être prise en compte. Le terme de potentiel de l’hamiltonien recense donc toutes les interactions à 2 corps possibles dans un ensemble de N fermions. C'est la première hypothèse.

La deuxième étape consiste à supposer que la fonction d'onde du système peut s'écrire comme un déterminant de Slater. Ce postulat est la traduction mathématique de l'hypothèse du modèle à particules indépendantes. Il s'agit là de la deuxième hypothèse. Restent à déterminer maintenant les composantes de ce déterminant de Slater, c'est-à-dire les fonctions d'onde individuelles de chaque nucléon qui sont pour l'instant inconnues. Pour cela, on va supposer que la fonction d'onde totale du noyau (le déterminant de Slater) doit être telle que l'énergie est minimale. C'est la troisième hypothèse. Techniquement, cela signifie que l'on va calculer la valeur moyenne de l'hamiltonien à 2 corps (connu) sur la fonction d'onde du noyau (le déterminant de Slater, inconnu), et imposer que la variation, au sens mathématique, de cette quantité soit nulle. Ceci va nous conduire à un ensemble d'équations qui ont pour inconnues les fonctions d'onde invividuelles : les équations de Hartree-Fock. La résolution de ces équations nous donne les fonctions d'onde et les niveaux d'énergie individuels, et par extension l'énergie totale du noyau et sa fonction d'onde.

Ce petit exposé succinct de la méthode Hartree-Fock permet de comprendre pourquoi cette dernière est qualifiée d'approche variationnelle. Au début du calcul, l'énergie totale est une "fonction des fonctions d'onde individuelles" (on appelle ça une fonctionnelle), et toute la technique consiste à optimiser le choix de ces fonctions d'onde de sorte que la fonctionnelle possède un minimum (qu'on espère absolu et pas relatif). Pour être plus précis, il nous faut mentionner que l'énergie est en réalité une fonctionnelle de la densité, définie comme la somme des carrés des fonctions d'onde individuelles. La théorie connue sous le nom d'approche Hartree-Fock en physique nucléaire est également utilisée en physique atomique et physique du solide. Elle est à la base de la théorie de la fonctionnelle de la densité (Density Functional Theory, DFT, en anglais).

Le procédé de résolution des équations Hartree-Fock ne peut qu'être itératif, car celles-ci sont en réalité une équation de Schrödinger dans laquelle le potentiel dépend de la densité, c'est-à-dire des fonctions d'onde qu'on cherche à déterminer. D'un point de vue pratique, on démarre l'algorithme avec un ensemble de fonctions d'onde individuelles qui apparaissent en gros raisonnables (en général les fonctions propres d'un oscillateur harmonique). Celles-ci nous permettent de calculer la densité, et donc le potentiel Hartree-Fock. Une fois celui-ci déterminé, on peut résoudre l'équation de Schrödinger, ce qui nous donne un nouvel ensemble de fonctions individuelles à l'étape 1, avec lequel on détermine une nouvelle densité, etc. L'algorithme s'arrête - on dit que la convergence est atteinte - lorsque la différence entre les fonctions d'onde (ou les énergies individuelles) entre deux itérations est inférieure à une certaine valeur prédéterminée. A la convergence, le potentiel de champ moyen est entièrement déterminé, et les équations Hartree-Fock se ramènent à une équation de Schrödinger classique. L'hamiltonien correspondant est fort logiquement appelé hamiltonien Hartree-Fock.

Le calcul des interactions nucléon-nucléon

Il a a déjà été mentionné plusieurs fois dans cet article que l'interaction nucléon-nucléon est relativement mal connue, et que les deux grandes approches de la structure du noyau présentées jusqu'ici, le modèle en couche et les théories de champ-moyen reposent sur des interactions effectives assez phénoménologiques. On peut avancer deux raisons pour expliquer cet état de fait:

• Les neutrons et les protons ne sont pas des particules élémentaires, mais des objets composites : un proton est formé de deux quarks "up" et un quark "down", le neutron de deux quarks "down" et un quark "up", les quarks étant liés entre eux par un échange constant de gluons. La même interaction forte qui lie les quarks entre eux est, en principe, responsable de lier les nucléons entre eux (par échanges d'autres particules composites, les mésons). Malheureusement, si les systèmes de quarks et gluons (hadrons) peuvent se calculer de façon satisfaisante en utilisant les outils de la chromodynamique quantique (QCD), la même approche est inapplicable aux systèmes de particules composées telles que les nucléons : la brique de base de la structure nucléaire, l'interaction entre nucléons, demeure donc en grande partie une construction phénoménologique, qui dépend des modèles utilisés et d'un choix de données expérimentales.

• L'interaction de deux nucléons isolés, dans le vide, est assez différente de l'interaction de ces deux mêmes nucléons plongés au milieu d'un ensemble d'autres nucléons, avec lesquels ils peuvent aussi être en interaction : la présence des spectateurs influe sur les acteurs (et vice-versa). Conceptuellement, on doit donc distinguer l'interaction "nue" ("bare nucleon-nucleon interaction") de l'interaction au sein du milieu ("in-medium interaction"). La première se construit en principe à partir des recettes de la QCD, même si nous avons vu que ce n'était pas encore possible en pratique. La deuxième correspond en quelque sorte à une version renormalisée de l'interaction nue, et repose sur le formalisme de la matrice G de Brueckner. L'inconvénient majeur de ces interactions renormalisées est qu'elles ne se prêtent pas aisément à des calculs de grande échelle.

Ces dernières années, en particulier sous l'impulsion initiale de Steven Weinberg, des progrès importants ont été réalisés dans la mise au point d'un mécanisme général à partir duquel des interactions NN, 3N, 4N, etc. (on parle plutôt de potentiels NN, 3N, etc.) peuvent se construire plus ou moins automatiquement dans le cadre de la théorie des champs effectifs chirale. La principale avancée a été de trouver un certain paramètre physique Q / Λ_QCD qui introduit une hiérarchie dans les différents termes de l'interaction, et ainsi permis un développement en perturbation. Le terme dominant est l'ordre zéro ("leading order" en anglais, LO). Par ordre d'importance, il est suivi par un terme dit de premier ordre ("next-to-leading-order", NLO), puis de second ordre ("next-to-next-to-leading order", N2LO), puis de troisième ordre (N3LO), etc. L'interaction "exacte" est la somme de toutes ces contributions. En pratique seuls les premiers termes de ce développement perturbatif sont calculés : plus on avance dans le développement en série, plus les termes sont difficiles à calculer, mais plus la correction qu'ils apportent sur l'interaction est faible (du moins, en principe). Cette approche est particulièrement prometteuse pour déterminer le potentiel nucléon-nucléon dans le milieu nucléaire à partir d'un Lagrangien compatible avec la QCD, et donc résoudre à la fois les deux difficultés mentionnées ci-dessus.

Une dernière étape est néanmoins nécessaire : la renormalisation à basse énergie. En effet, aucun des potentiels NN déterminés suivant la recette exposée précédemment ne peut être utilisé directement, que ce soit dans des approches de champ-moyen type Hartree-Fock, ou dans des calculs de modèle en couche : les calculs ne convergent pas, ou bien les résultats obtenus sont totalement fantaisistes. Plusieurs raisons à cela : d'abord, les termes du développement en série qui ont été négligés (sa troncation) peuvent s'avérer nécessaires. Ensuite, les potentiels sont construits à des échelles d'énergie qui vont bien au-delà de celles mises en jeu dans le noyau. Ces hautes énergies peuvent introduire des instabilités dans le calcul, alors que, physiquement, elles ne sont absolument pas pertinentes car s'annulant les unes les autres. Les techniques de renormalisation permettent en principe d'obtenir rigoureusement la limite à basse énergie des potentiels NN, 3N, etc. obtenus dans la théorie des champs chirale.

L'utilisation dans les calculs de structure du noya d'interactions effectives reposant sur des potentiels NN et 3N dérivés de la théorie des champs chirale, et renormalisés à basse énergie es l'un des sujets de recherche les plus actifs à l'heure actuelle.

Les approches de champ moyen relativiste

Apparus dans un premier temps dans les années 1970 avec les travaux de D. Walecka sur la chromodynamique quantique, les modèles relativistes du noyau furent perfectionnés vers la fin des années 1980 par P. Ring et ses collaborateurs. Le point de départ de ces approches est la théorie quantique des champs relativistes. Dans ce contexte, l'interaction des nucléons se fait via l'échange de particules virtuelles appelées mésons. Le formalisme consiste, dans une première étape, à construire un lagrangien contenant ces termes d'interaction. Dans un deuxième temps, l'application du principe de moindre action fournit un ensemble d'équations du mouvement. Les particules réelles (ici les nucléons) obéissent à l'équation de Dirac tandis que les particules virtuelles (ici les mésons) obéissent aux équations de Klein-Gordon.

En raison de la nature non-perturbative de l'interaction forte, ainsi que du fait que cette dernière est relativement mal connue, l'utilisation d'une telle approche dans le cas des noyaux atomiques requiert des approximations fortes. La simplification majeure a consisté à remplacer dans les équations tous les termes de champ (qui sont des opérateurs au sens mathématique) par leur valeur moyenne (qui sont des fonctions). De cette façon, on se ramène à un système d'équations intégro-différentielles couplées qui peuvent être résolues numériquement à défaut de l'être analytiquement.

Brisure spontanée de symétrie en physique nucléaire

L'un des concepts centraux de toute la physique est celui de symétrie. L'interaction nucléon-nucléon et toutes les interactions effectives utilisées en pratique possèdent certaines symétries telles que l'invariance par translation (déplacer selon une ligne droite le référentiel ne change pas l'interaction), par rotation (faire une rotation du référentiel ne change rien à l'interaction) ou de parité (inversion des axes du référentiel). Néanmoins, des solutions de l'approche Hartree-Fock peuvent apparaître qui brisent une ou plusieurs de ces symétries. On parle alors de brisure spontanée de symétrie.

Très qualitativement, ces brisures spontanées de symétrie peuvent s'expliquer de la façon suivante : le but de l'approche de champ moyen est de décrire le noyau comme un ensemble de particules indépendantes. Dans l'approche Hartree-Fock, cela se traduit par ce que la fonction d'onde totale du noyau est un produit antisymétrisé des fonctions d'onde individuelles nucléoniques, c'est-à-dire un déterminant de Slater. La forme particulière de ces fonctions d'onde implique, entre autres, que la plupart des corrélations additionnelles entre nucléons - tout ce qui ne rentre pas dans le cadre du champ moyen - vont être automatiquement négligées. Néanmoins, l'hamiltonien à deux corps "contient" toutes ces corrélations. La seule façon pour que ces dernières apparaissent dans la solution finale du problème variationnel est que les symétries de l'interaction nucléon-nucléon soient brisées au niveau de l'hamiltonien de champ moyen (l'hamiltonien Hartree-Fock). Il faut distinguer ici entre l'hamiltonien à deux corps initial, qui conserve les symétries, et l'hamiltonien Hartree-Fock, obtenu par variation de l'énergie totale (fonctionnelle de la densité), qui peut éventuellement briser ces symétries. Concrètement, si le noyau présente des corrélations qui ne sont pas incluses dans le champ moyen, et si la densité utilisée comme point de départ des itérations du calcul brise un certain nombre de symétries, alors l'hamiltonien Hartree-Fock pourra également briser ces symétries, mais le processus itératif peut aussi bien converger vers une solution symétrique, si celle-ci est préférable du point de vue énergétique.

Il ressort de cette brève tentative d'explication que le concept de brisure spontanée de symétrie en physique nucléaire est intimement lié à celui de champ moyen. Il n'a pas lieu d'être, par exemple, dans le cadre du modèle en couches. L'exemple le plus répandu d'un tel phénomène est la brisure spontanée de l'invariance par rotation, qui se traduit par l'apparition d'une déformation du champ moyen. Stricto sensu, un noyau n'est jamais déformé - c'est un abus de langage, mais dans l'approximation de champ moyen, tout se passe comme si le noyau était déformé. En fait, en ce qui concerne l’invariance par rotation, le champ moyen obtenu n’a pas la symétrie par rotation, mais toutes les versions déduites de ce champ moyen par rotation donneraient des solutions exactement équivalentes. Et les états physiques du noyau correspondent à n’importe laquelle de ces solutions.

Citons également le phénomène d'appariement nucléaire, qui correspond à la non-conservation du nombre de particules.