Symétrie (physique) - Définition

Symétrie et degrés de liberté

La symétrie est d'autant plus grande que les degrés de liberté sont redondants.

Une symétrie particulière : la supersymétrie

Motivation

Le modèle standard confirmé par les observations montre une dissymétrie apparente entre bosons et fermions dans la nature. Une brique de ce modèle cependant n'a pas encore été observée: le boson de Higgs qui est responsable de la brisure électrofaible et de l'existence d'une masse non nulle pour les champs de matière (électron, quarks etc.). Se pose donc la question de sa masse qui détermine le niveau d'énergie auquel on pourra éventuellement l'observer.

Comme on l'a introduit lorsqu'on a évoqué la renormalisation, les effets quantiques affectent la masse observée de toutes les particules et en particulier de la masse du Higgs. Or à la différence des autres particules, le boson de Higgs est un champ scalaire. D'un point de vue technique et à la différence des autres particules, un champ scalaire peut recevoir des corrections extrêmement grandes à sa masse (on dit qu'il n'est pas protégé) et la seule échelle naturelle pour ces corrections est la masse de Planck. Si comme on l'espère le Higgs ne se trouve pas à de tels niveaux d'énergie, et qu'au contraire il est observable à une échelle de l'ordre du TeV, il est nécessaire de trouver un mécanisme expliquant une masse observée si faible: c'est le problème de la hiérarchie qui est une question majeure d'un point de vue phénoménologique.

La supersymétrie, qui postule l'existence pour chaque boson d'une particule fermionique associée et réciproquement, a été introduite pour la première fois en 1971. Elle permettrait de résoudre naturellement le problème de la hiérarchie car dans ce cas on peut montrer que la correction à la masse du Higgs par une particule donnée est toujours annulée par celle de son partenaire supersymétrique. À ce jour il n'existe pas d'autre proposition résolvant le problème de la hiérarchie et la supersymétrie est donc devenue un concept majeur de la physique théorique depuis cette époque.

Comme la supersymétrie n'est pas observée dans la nature il est alors nécessaire d'introduire en même temps un mécanisme de brisure de la supersymétrie. Il existe beaucoup de tels modèles et il ne sera possible de discriminer entre eux qu'une fois que la supersymétrie est observée, si elle est effectivement observée. Ils ont néanmoins tous en commun de briser spontanément la supersymétrie dans la mesure où ces modèles contiennent toujours une restauration de la supersymétrie à haute énergie.

Formalisation

Brisure de symétrie

Expérimentalement il peut arriver qu'une symétrie ne soit pas observée. On dit alors que la symétrie est brisée. Cette brisure peut avoir deux origines : soit la symétrie attendue n'est pas une invariance fondamentale des lois sous-jacentes et alors on parle de brisure explicite, soit elle est une invariance fondamentale mais les conditions expérimentales sont telles que la symétrie n'apparaît pas explicitement. On parle dans ce cas de brisure spontanée.

transition de phase

Brisure explicite

Brisure spontanée

Pour illustrer le mécanisme de brisure spontanée de symétrie il suffit de considérer l'exemple suivant : certains corps, comme le fer, le cobalt ou le nickel, sont susceptibles d'acquérir une aimantation lorsqu'ils sont mis en présence d'un champ magnétique. Ce sont des corps dits ferromagnétiques. Plus précisément, lorsque leur température est inférieure à leur température de Curie alors ils sont aimantables et un champ magnétique extérieur, même faible, suffit à faire apparaître dans tout le matériau une aimantation qui pointe dans la direction du champ extérieur. Si par la suite on éteint complètement ce champ extérieur, le corps conserve cette aimantation non-nulle. Si ensuite on remonte progressivement la température jusqu'à atteindre puis dépasser sa température de Curie alors le corps perd son aimantation.

Pour décrire cette réaction très sensible à une faible perturbation extérieure (ici un champ magnétique), on dit qu'un corps ferromagnétique acquiert spontanément une aimantation lorsqu'il est refroidi en dessous de sa température de Curie. Cette aimantation fixe une direction particulière de l'espace et brise l'isotropie des lois de la mécanique quantique régissant le comportement des électrons au sein du matériau. Néanmoins cette brisure est faible au sens où si le champ magnétique externe avait pointé dans une autre direction, alors le ferromagnétique aurait acquis une aimantation pointant dans cette autre direction. À chaque fois la symétrie de rotation est donc brisée mais il y a "démocratie" entre toutes les directions de brisure possibles.

Lorsque la température remonte au delà de la température de Curie, le corps perd sa capacité à acquérir une aimantation et il ne réagit plus à un champ magnétique externe. On dit donc qu'au delà de cette température critique la symétrie de rotation est restaurée.

Les aspects qui viennent d'être décrits pour le ferromagnétisme sont très généraux et s'appliquent de façon semblable à tous les phénomènes de brisure spontanée de symétrie, qu'il s'agisse aussi bien de physique classique comme on l'a vu que de physique quantique avec l'exemple du mécanisme de Higgs, par lequel les particules élémentaires du modèle standard acquièrent leur masse. Au cours de ce processus c'est la symétrie de jauge de la théorie électrofaible qui est spontanément brisée par le fait que le champ de Higgs acquiert une valeur moyenne dans le vide non nulle à basse température.

Dans un phénomène général de brisure spontanée de symétrie, il existe un paramètre continu (l'aimantation dans le cas du ferromagnétisme, la valeur moyenne du champ de Higgs en physique des particules) du système, appelé paramètre d'ordre, tel qu'en dessous d'une certaine valeur critique de la température, le système se trouve dans une phase où la symétrie est brisée et au-dessus de laquelle la symétrie est restaurée. Le fait de passer d'un régime à l'autre s'appelle une transition de phase.

Il faut noter toutefois qu'en pratique, si pour des raisons quelconques il n'y a pas de petite perturbation extérieure au système qui lui fait choisir un état brisant la symétrie alors il peut conserver un état parfaitement symétrique bien qu'il se trouve dans la phase où la symétrie est brisée. On dit alors qu'il se trouve dans un état métastable. Par exemple l'eau peut se trouver en état de surfusion si sa température est en dessous de 0 degrés mais qu'il n'existe aucune impureté pour commencer à former des cristaux de glace en son sein. Un exemple historique célèbre d'eau en surfusion est celui de la mort tragique des chevaux ayant traversé le lac Ladoga pendant la Première Guerre mondiale.

Brisure quantique d'une symétrie classique

Une théorie peut posséder une symétrie au niveau classique, visible par exemple au niveau de son Hamiltonien, mais être brisée après la procédure de quantification par de subtils effets quantiques.

L'exemple le plus remarquable d'anomalie découvert est celui de l'anomalie d'échelle dans le cadre de la théorie quantique des champs. En effet, dans une théorie des champs ne possédant que des champs de masse nulle on peut effectuer une transformation d'échelle sur les directions d'espace et de temps sans pour autant affecter les équations du mouvement de la théorie. Pourtant, comme on peut le montrer par des calculs explicites les observables quantiques ne satisfont pas à la symétrie d'échelle en général et en conséquence les équations du groupe de renormalisation permettent de calculer explicitement la dépendance des mesures quantiques en fonction de l'échelle d'observation. C'est précisément cette anomalie d'échelle qui est responsable de la liberté asymptotique de la chromodynamique quantique.

Un autre exemple d'anomalie remarquable est celui de l'anomalie chirale.