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Volume

Introduction

Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.

  • En physique, le volume d'un objet mesure « l'extension dans l'espace » qu'il possède dans les trois directions en même temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.), de même que l'aire (Aires (en espagnol, les airs) est une compagnie aérienne intérieure de Colombie.) d'une figure dans le plan mesure « l'extension » qu'elle possède dans les deux directions en même temps.
  • En mathématiques, le volume d'une partie de l'espace est sa mesure au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du vieillissement, suivi...) de la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur...) de la mesure de Lebesgue (La mesure de Lebesgue doit son nom au mathématicien français Henri Léon Lebesgue. Elle est d'une importance capitale en théorie de l'intégration.).

Mesure du volume

  • Le volume physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la...) se mesure en mètre (Le mètre (symbole m, du grec metron, mesure) est l'unité de base de longueur du Système international (SI). Il est défini, depuis 1983, comme la distance parcourue par la lumière dans le vide en...) cube (En géométrie euclidienne, un cube est un prisme dont toutes les faces sont carrées. Les cubes figurent parmi les solides les plus remarquables de l'espace. C'est un des cinq solides de Platon, le...) dans le système international. On utilise fréquemment le litre (Le litre (du grec λίτρα lítra, ancienne mesure de capacité – une livre de douze onces – égale au seizième du...), notamment pour des liquides et pour des matières sèches. Ainsi, on considère le volume comme une grandeur extensive et la grandeur intensive thermodynamique (On peut définir la thermodynamique de deux façons simples : la science de la chaleur et des machines thermiques ou la science des grands systèmes en équilibre. La...) associée est la pression (La pression est une notion physique fondamentale. On peut la voir comme une force rapportée à la surface sur laquelle elle s'applique.).
  • En mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations....), et plus précisément en géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l'époque et une tentative de formalisation mathématique de ces connaissances. Les notions de droite, de plan,...), le volume du parallélépipède (En géométrie dans l'espace, les parallélépipèdes sont des hexaèdres dont les six faces sont des parallélogrammes.) engendré par 3 vecteurs non coplanaires (\vec v_1, \vec v_2, \vec v_3) se calcule grâce au produit mixte des trois vecteurs :
V = |\det( \vec v_1, \vec v_2, \vec v_3)|

.

Les calculs de volume ont évolué au cours de l'histoire en suivant les progrès du calcul infinitésimal (Le calcul infinitésimal (ou calcul différentiel et intégral) est une branche des mathématiques, développée à partir de l'algèbre et de la géométrie, qui...). C'est ainsi que les premiers volumes ont été calculés grâce à la méthode d'exhaustion, puis en utilisant le principe de Cavalieri et pour finir en calculant des intégrales triples.

Pour les solides simples (parallélépipède et objets de révolution), il existe des formules mathématiques permettant de déterminer leur volume d'après leurs dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est...) caractéristiques.

Quelques formules

Dans la suite on notera

  • V le volume
  • B et b les aires de la grande base et de la petite base
  • H la hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.) (ou distance séparant les deux faces)
  • D ou d le diamètre (Dans un cercle ou une sphère, le diamètre est un segment de droite passant par le centre et limité par les points du cercle ou de la sphère. Le...)
  • R ou r le rayon
  • a l'arête
  • L ou l la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de...) et la largeur (La largeur d’un objet représente sa dimension perpendiculaire à sa longueur, soit la mesure la plus étroite de sa face. En géométrie plane, la largeur est la plus petite des deux mesures d'un rectangle,...) d'un rectangle (En géométrie, un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont des angles droits.)

Les solides de Platon

Animation d'un tétraèdre
Animation d'un tétraèdre

Ce sont les cinq seuls polyèdres réguliers. Si l'arête du polyèdre (Traditionnellement, un polyèdre est une forme géométrique à 3 dimensions ayant des faces planes qui se rencontrent le long d'arêtes droites. Le mot polyèdre provient du grec...) est a, on a

  • Pour le tétraèdre : V = \frac{1}{12}\sqrt{2}a^3
  • Pour le cube : V = a^3\,
  • Pour l'octaèdre : V = \frac 13 \sqrt 2 a^3
  • Pour le dodécaèdre : V = \frac 14(15 + 7\sqrt 5)a^3
  • Pour l'icosaèdre : V = \frac 56\varphi^2a^3\varphi est le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) d'or

Les prismes et cylindres

La formule générale est toujours : Aire de la base × Hauteur

  • Le prisme droit : V =B \times H
  • Le parallélépipède rectangle ou pavé : V = L \times l \times H
  • Le cylindre (Un cylindre est une surface dans l'espace définie par une droite (d), appelée génératrice, passant par un point variable décrivant une courbe plane fermée (c), appelée courbe...) de révolution : V = \pi \times R^2 \times H

Les pyramides et cônes

La formule générale est toujours : V = \frac 13 B \times H

  • Le cône de révolution : V = \frac{\pi}{3}R^2H
  • La pyramide (Une pyramide (du grec pyramis) à n côtés est un polyèdre formé en reliant une base polygonale de n côtés à un point, appelé l'apex, par n faces...) tronquée par un plan parallèle à la base : V=\frac H3 (B+b+\sqrt{Bb})

La boule

  • La boule a pour volume V = {4 \over 3} \pi R^3 ou V = \pi {D^3 \over 6}
  • Pour une calotte sphérique, V = \frac{\pi}{3}H^2(3R-H)R est le rayon de la boule et H la hauteur de la calotte.
  • Le volume de la boule percée d'un cylindre (rond de serviette) ne dépend pas du rayon de la boule : V = \frac{\pi}{6} H^3
  • Le secteur sphérique (intersection entre un cône de sommet O et la boule de centre O : V = \frac 23 \pi R^2HH est la hauteur de la calotte et R le rayon de la boule.

Solides de révolution

Le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir...) de Guldin (ou règle de Pappus) permet de calculer le volume d'un solide de révolution engendré par la révolution d'un élément de surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent abusivement confondu avec sa mesure, sa...) S plane (La plane est un outil pour le travail du bois. Elle est composée d'une lame semblable à celle d'un couteau, munie de deux poignées, à chaque extrémité de la lame. Elle permet le dégrossissage et le creusage de formes...) autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter, soit constituent les 5 genres Erythrotriorchis, Kaupifalco,...) d'un axe situé dans son plan et ne le coupant pas, pour peu que l'on connaisse le centre de gravité (Le centre de gravité est le point d'application de la résultante des forces de gravité ou de pesanteur. Il est également le point d'intersection de tous les plans...) G de l'élément de surface S.

V = 2\pi R\cdot SR est la distance séparant le point (Graphie) G de l'axe de rotation.

Cette formule permet de déterminer les volumes suivants :

  • le tore : V = 2π2Rr2r est le rayon du cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle. Celui-ci étant infiniment...) de centre G tournant autour de l'axe (Δ) et où R est la distance de G à (Δ).
  • le tonneau : Kepler donne une formule approchée pour le volume d'un tonneau, qui se révèle exacte lorsque le tonneau est engendré par une sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les points situés à une même distance...), une pyramide, un hyperboloïde (En mathématiques, un hyperboloïde est une surface du second degré de l'espace euclidien. Il fait donc partie des quadriques, avec pour caractéristique principale de posséder un centre...) à une nappe, un paraboloïde (En mathématiques, un paraboloïde est une surface du second degré de l'espace euclidien. Il fait donc partie des quadriques, avec pour caractéristique principale de ne pas posséder...) elliptique, un ellipsoïde (En mathématiques, un ellipsoïde est une surface du second degré de l'espace euclidien à trois dimensions. Il fait donc partie des quadriques, avec pour caractéristique principale de ne pas posséder de point à l'infini.) de révolution. Si B1 et B2 sont les surfaces des bases et B3 la surface de la section à mi-hauteur alors
V = \frac h6 (B_1 + B_2 + 4B_3)

Autres

  • Le conoïde (En géométrie, un conoïde est une surface réglée dont toutes les droites (génératrices) sont parallèles à un plan directeur et passent par une droite (l'axe). Lorsque le plan directeur et l'axe sont...) circulaire droit (exemple l'incisive) : V = \frac 12 \pi R^2HR est le rayon du cercle de base et H la hauteur du conoïde.
  • Le lingot (hexaèdre formé de deux bases rectangulaires parallèles et de 4 faces latérales trapézoïdales) . On retrouve la formule de Kepler : V = \frac h6(B_1+B_2+4B_3)B1 et B2 sont les surfaces des deux bases rectangulaires et B3 la surface de la section à mi-hauteur. Cette formule est très employée en génie civil (Le Génie civil représente l'ensemble des techniques concernant les constructions civiles. Les ingénieurs civils s’occupent de la conception, de la réalisation, de l’exploitation et de la réhabilitation d’ouvrages de...) dans les calculs de volume et plus particulièrement pour les mouvements de terres dans le domaine des travaux publics où elle est connue sous le nom de formule du tas de cailloux ou encore formule du tas de sable.
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