Nombre constructible
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Un nombre constructible à la règle et au compas est la mesure d'une longueur associée à deux points constructibles à la règle et au compas.

C'est du moins ainsi que le définissaient les mathématiciens grecs et tous ceux qui, à leur suite, ont cherché à déterminer quels étaient les points et les nombres constructibles de cette façon.

Du temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) de la mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les...) grecque, les seuls outils géométriques " autorisés " étaient la droite et le cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon...). Toute construction faisant intervenir d'autres outils dit " mécaniques " (spirale d'Archimède, conchoïde, ellipse...) n'étaient que de la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les...) " abâtardie ". Cette vision très rigoriste de la géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l'époque et une tentative de formalisation mathématique...) est à la source de problèmes célèbres comme l'irrationalité de racine de 2, la quadrature du cercle, la trisection de l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) et la duplication du cube (En géométrie euclidienne, un cube est un prisme dont toutes les faces sont carrées. Les cubes figurent parmi les solides les plus remarquables de l'espace. C'est un des cinq...).

Les mathématiciens, jusqu'au XVIIe siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué la...) n'accordaient aucune réalité concrète (La concrète est une pâte plus ou moins dure obtenue après extraction d’une matière première fraîche d’origine...) aux nombres négatifs. Il nous faudra cependant, pour maîtriser plus parfaitement la notion de nombre constructible (Un nombre constructible à la règle et au compas est la mesure d'une longueur associée à deux points constructibles à la règle et au compas.), étendre la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.), non plus à des longueurs mais à des coordonnées de points constructibles.

Définition d'un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) constructible (On qualifie de constructible une chose qui peut être construite ou qui peut accueillir une construction (matérielle ou non).)

On donne ici une définition mathématique précise de la notion de point (Graphie) constructible (sous-entendu, à la règle et au compas). Remarquons que ni le vocabulaire intermédiaire introduit ni les notations ne sont classiques. On les a introduit pour décomposer proprement ce concept mathématique.

Points constructibles

Points constructible en 1 étape

Soit E un sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou encore B est sur-ensemble de A, si tout élément du sous-ensemble A est...) du plan euclidien, qu'on assimile ici à \mathbb{R}^2. On dit qu'un point P = (x,y) est constructible en 1 étape à partir de E si, et seulement si, P est un point de E ou si P est dans l'intersection de deux objets quelconques parmi :

  • l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une...) des droites qui passent par deux éléments distincts de E ;
  • l'ensemble des cercles centrés en un point de E et dont le rayon est la distance de deux quelconques points de E.

On note C1(E) l'ensemble des points constructibles en 1 étape à partir de E.

On peut remarquer que si E est fini, alors, C1(E) l'est aussi.

Points constructibles en n étapes

Partant des mêmes données (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un événement, etc.), on définit, naturellement et par récurrence, l'ensemble Cn(E) des points constructibles en n étapes à partir de E. Pour n = 1, c'est la construction précédente. Sinon, on pose : C_{n+1}(E)=C_1 \left ( C_{n}(E)\right ).

Points constructibles

Enfin, comme on s'y attend, l'ensemble des points constructibles à partir de E, qu'on note C(E), est la réunion (La Réunion est une île française du sud-ouest de l'océan Indien située dans l'archipel des Mascareignes à environ 700 kilomètres à l'est de Madagascar et...) (croissante) des Cn(E), c'est-à-dire : un point P est dit constructible à partir de E s'il en n étapes pour un certain n.

C(E)=\bigcup_{n=1}^{\infty}C_n(E)

Nombres constructibles

On se place dans le même cadre, c'est-à-dire le plan euclidien assimilé à \mathbb{R}^2 ; on se donne E un sous-ensemble de \mathbb{R}^2.

Un nombre x\in \mathbb{R} est dit constructible à partir de E si c'est l'abscisse ou l'ordonnée d'un point constructible à partir de E.

Un nombre constructible (tout court) est un nombre constructible à partir de l'ensemble \left \{ (0,0), (0,1), (1,0) \right \}.

Rappel sur quelques constructions possibles

A l'aide d'une règle et d'un compas, on peut construire des cercles et des droites, bien sûr, mais aussi des parallèles et des perpendiculaires :

Parallèle


On construit le quatrième point d'un parallélogramme ABCX en traçant un arc de cercle de centre C et de rayon BA et un arc de cercle de centre A et de rayon BC.

Perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. Le terme de perpendiculaire vient du latin per-pendiculum (fil à plomb) et justifie la généralisation de la notion de...)


On utilise les propriétés des symétries axiales.

Opération sur les nombres constructibles

Addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs extensives de même nature, comme les longueurs, les aires, ou les volumes. En...)

Soustraction (La soustraction est l'une des opérations basiques de l'arithmétique. La soustraction combine deux ou plusieurs grandeurs du même type, appelées opérandes, pour donner un seul...)

À condition que x > y

Multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .)

Une simple utilisation du théorème de Thalès (Le théorème de Thalès est un théorème de géométrie, attribué selon la légende au mathématicien et philosophe grec Thalès de Milet ; en réalité Thalès s'est davantage intéressé aux angles opposés dans des droites...) permet de dire que 1×z = x × y

Division (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par l'inverse du second. Si un nombre est non nul, la fonction...)

La même utilisation du théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir...) de Thalès permet de dire que

\frac{z}{1}=\frac{x}{y}

Ces observations (L’observation est l’action de suivi attentif des phénomènes, sans volonté de les modifier, à l’aide de moyens d’enquête et d’étude appropriés. Le plaisir procuré explique la très...) permettent de dire que l'ensemble des nombres constructibles (si on accepte les distances négatives) est un corps commutatif. Les Grecs ont ainsi pu établir que tous les nombres rationnels positifs étaient constructibles. Mais leur première surprise est venue de la dernière opération.

Extraction de racine carrée (La racine carrée d’un nombre réel positif x est le nombre positif dont le carré vaut x. On le note ou x½; dans cette expression, x est appelé le radicande.)

On utilise le fait que, dans un triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de « triangle » est justifiée par...) rectangle (En géométrie, un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont des angles droits.) en A, si H est le pied de la hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.) issue de A, on a

BH×BC = BA2

(c'est une conséquence immédiate du fait que les triangles ABC et HAB sont semblables) et la propriété du triangle rectangle inscrit dans un demi-cercle, on peut extraire une racine carrée:

On trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le champ magnétique à petite échelle du Soleil et la géométrie du plasma coronal, à travers des images haute...) donc la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa...) x = BC, puis le cercle de diamètre (Dans un cercle ou une sphère, le diamètre est un segment de droite passant par le centre et limité par les points du cercle ou de la sphère. Le diamètre est...) BC, puis le point H tel que BH = 1, puis la perpendiculaire à (BC) menée par H, puis le point A intersection de cette perpendiculaire avec le cercle. BA2 = 1×x nous assure que y = \sqrt{x}

Les racines carrées sont donc constructibles. La première tentative des Grecs a été de dire que ces nombres étaient rationnels mais une démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de propositions initiales, en...) simple leur a permis de se convaincre que cela n'était pas le cas. Il existait donc des nombres constructibles qui n'étaient pas rationnels mais irrationnels. Quelles étaient alors leur forme? Permettaient-ils de tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) mesurer dans le monde (Le mot monde peut désigner :) réel ? Malgré leurs recherches, ils ne purent venir à bout du problème, ni eux ni les mathématiciens de langue arabe qui suivirent et qui eurent pourtant l'intuition du résultat.

Ensemble des nombres constructibles

Les opérations précédentes permettent donc de dire que tout rationnel est constructible, mais aussi que la racine carrée d'un rationnel est constructible et même que l'on peut, avec de la patience, construire le nombre suivant:

5 + \sqrt{23-\frac{3/2 +\sqrt{17} }{\sqrt{3}-\sqrt{\sqrt{2}}}}.

L'intuition semble dire que les seuls nombres constructibles sont ceux pouvant s'écrire uniquement à l'aide des 5 opérations précédentes. Il faut attendre les travaux de Pierre-Laurent Wantzel, qui, grâce aux travaux de Gauss sur les polygones constructibles, peut énoncer son théorème de Wantzel (Le théorème de Wantzel précise les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un nombre soit constructible. Il peut s'énoncer de la manière...) et affirmer que les seuls nombres constructibles sont ceux de cette forme (plus exactement sont dans une extension quadratique d'une extension quadratique d'une... d'une extension quadratique de Q). Une telle construction s'appelle une tour d'extension quadratique.

On peut exprimer ce résultat différemment : l'ensemble des nombres constructibles (à la règle et au compas) est le plus petit corps stable par racine carrée.

Grâce à ce théorème, tombent deux des problèmes de l'antiquité : la trisection de l'angle et la duplication du cube, qui reviennent à résoudre une équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre...) de degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) 3 (donc extension impaire). L'ensemble des nombres constructibles ne regroupe donc qu'une petite partie de l'ensemble des nombres algébriques. L'article tour d'extension quadratique propose une démonstration rigoureuse de ces résultats.

Le problème de la quadrature du cercle tombera un peu plus tard, quand Ferdinand von Lindemann aura prouvé en 1882 que π n'est pas algébrique, c’est-à-dire n'est solution d'aucune équation de degré n à coefficients dans Q. le nombre π ne peut donc pas se trouver dans une extension quadratique d'une extension quadratique d'une... d'une extension quadratique de Q.

Variantes de constructibilités et liens avec la constructibilité à la règle et au compas

Constructibilité uniquement au compas

Le théorème de Mohr-Mascheroni, montré par Georg Mohr, puis par Lorenzo Mascheroni (Lorenzo Mascheroni (13 mai 1750 à Bergame – 14 juillet 1800 à Paris) est un géomètre italien. Il étudie la poésie et le grec à Castagna puis à Pavie...) en 1797, affirme que si une construction géométrique est possible à la règle et au compas, alors elle est possible au compas seul.

Voir aussi le problème de Napoléon qui consiste à construire au compas seul le centre d'un cercle donné,
ainsi que la construction du carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un carré est à...) au compas seul.

(à remplir, c'est fait dans le Carrega)

Constructibilité uniquement à la règle

Des points de bases étant donnés, un point est constructible à la règle s'il est point d'intersection de deux droites, chacune de ces deux droites passant par deux points qui sont des points de base ou des points déjà construits.

Les propriétés d'une figure constructible sont conservés par projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la surface plane d'une carte.) centrale. Ce n'est pas le cas pour les milieux où les parallèles ou les symétries.

Il est démontré qu'il impossible avec uniquement une règle de construire le milieu d'un segment, de mener par un point une parallèle à une droite.

D'après l'ouvrage de Carrega J.-C. - Théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur...) des corps : la règle et le compas - Hermann 2001 ; où l'on trouvera les démonstrations.

Exemples de constructions à la règle seule.

À lire

Jean Claude Carréga: Théorie des corps, la règle et le compas . Hermann 1981

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