Base (algèbre linéaire)
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En algèbre linéaire, une base est une famille de vecteurs, qui, de manière simpliste, peut se voir comme une manière de se repérer dans l'espace en définissant des axes gradués. De manière plus rigoureuse, c'est une famille de vecteurs libre et génératrice. Voir les articles géométrie vectorielle (Cet article traite des opérations portant sur les vecteurs en géométrie euclidienne.) et espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une...).

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les...)

Une famille de vecteurs forme une base si aucun de ces vecteurs ne peut se déduire des autres par une combinaison (Une combinaison peut être :) linéaire (une telle famille est dite " libre "), et si tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un exemple de...) de l'espace peut s'exprimer comme une combinaison linéaire des vecteurs de la base (une telle famille est dite génératrice).

Dans le plan, une base est donc formée de deux vecteurs non colinéaires (non proportionnels) ; ces vecteurs sont souvent notés (\vec{\imath},\vec{\jmath}) ou (e1,e2). Dans l'espace, il s'agit de trois vecteurs non coplanaires ; ces vecteurs sont souvent notés (\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}) ou (e1,e2,e3).

Plaçons-nous dans l'espace. Un vecteur \vec{u} quelconque peut donc s'écrire

\vec{u} = x_u \cdot \vec{\imath} + y_u \cdot \vec{\jmath} + z_u \cdot \vec{k}

xu, yu et zu sont des réels, nommés " coordonnées " ou " composantes " du vecteur. Notons que cette décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils soient d'origine animale ou végétale dès...) est unique. On peut aussi écrire \vec{u} sous la forme d'une matrice-colonne :

\vec{u} = \begin{pmatrix} x_u \\ y_u \\ z_u \end{pmatrix}

On utilise aussi fréquemment une autre notation des composantes, qui va souvent de pair avec l'autre notation pour la base :

\mathbf{u} = u_1 \cdot \mathbf{e_1} + u_2 \cdot \mathbf{e_2} + u_3 \cdot \mathbf{e_3}
\mathbf{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}

On a :

\vec{\imath} = \mathbf{e_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\vec{\jmath} = \mathbf{e_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
\vec{k} = \mathbf{e_3 } = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}

Types de base

La base est dite orthonormée si les trois vecteurs sont orthogonaux entre eux et si leur norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un état habituellement répandu ou moyen considéré le plus souvent comme une règle à...) vaut 1. Elle est dite directe si

  • dans le plan, l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) (\widehat{\vec{\imath},\vec{\jmath}}) — ou (\widehat{\mathbf{e_1},\mathbf{e_2}}) — est positif
  • dans l'espace, le trièdre formé par les trois vecteurs de la base est direct.

Les bases orthonormées directes sont les bases le plus souvent utilisées. Cependant, il est intéressant dans certains cas d'avoir une base " quelconque ". Par exemple, dans un cristal (Cristal est un terme usuel pour désigner un solide aux formes régulières, bien que cet usage diffère quelque peu de la définition...), l'organisation (Une organisation est) des atomes (Un atome (du grec ατομος, atomos, « que l'on ne peut diviser ») est la plus petite partie d'un corps simple pouvant se combiner chimiquement avec une autre. Il est généralement constitué...) définit une base " naturelle " (la maille) qui n'est pas nécessairement orthonormée. De même, lorsque l'on étudie la déformation des solides, les axes permettant d'exprimer les équations de la manière la plus simple ne sont pas toujours orthogonaux.

base orthonormée directe et base quelconque, du plan et de l'espace
Base orthonormée directe et base quelconque, du plan et de l'espace

Opérations vectorielles et composantes

Les premières considérations concernent toutes les bases y compris les bases qui ne sont pas orthonormées directes.

Si (xu,yu,zu) sont les composantes de \vec{u} et (xv,yv,zv) sont celles de \vec{v}, alors on a :

a \cdot \vec{u} = \begin{pmatrix} a \cdot x_u \\ a \cdot y_u \\ a \cdot z_u \end{pmatrix}

et

\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} x_u + x_v \\ y_u + y_v \\ z_u + z_v \end{pmatrix}

ou avec l'autre notation

a \cdot \mathbf{u} = \begin{pmatrix} a \cdot u_1 \\ a \cdot u_2 \\ a \cdot u_3 \end{pmatrix} \ {\rm et} \  \mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{pmatrix} u_1 + v_1 \\ u_2 + v_2 \\ u_3 + v_3 \end{pmatrix}

Une base orthonormée est particulièrement intéressante pour calculer le produit scalaire :

\vec{u} \cdot \vec{v} = x_u \cdot x_v + y_u \cdot y_v + z_u \cdot z_v
||\vec{u}||^2 = x_u^2 + y_u^2 + z_u^2

(ceci peut aussi se déduire du théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un...) de Pythagore). Avec l'autre notation, cela donne

\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \sum_{i=1}^3 u_i \cdot v_i
\mathbf{u}^2 = \sum_{i=1}^3 u_i^2

Si de plus la base orthonormée est directe, cela simplifie le calcul du produit vectoriel (Le produit vectoriel est une opération vectorielle effectuée dans les espaces euclidiens orientés de dimension trois[1]. Le formalisme utilisé actuellement est apparu en 1881 dans un manuel...). En effet, on a alors

\vec{k} = \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath} ; \vec{\imath} = \vec{\jmath} \wedge \vec{k} ; \vec{\jmath} = \vec{k} \wedge \vec{\imath}

ou avec l'autre notation

\mathbf{e_3} = \mathbf{e_1} \wedge \mathbf{e_2} ; \mathbf{e_1} = \mathbf{e_2} \wedge \mathbf{e_3} ; \mathbf{e_2} = \mathbf{e_3} \wedge \mathbf{e_1}

Il suffit alors de mettre côte à côte les deux matrices-colonne représentant les vecteurs, de rajouter une quatrième ligne comprenant la première composante (xu ou u1), et de soustraire les produits en croix des lignes deux par deux ; le résultat est placé dans la ligne n'intervenant pas dans le calcul. Par exemple le résultat du produit en croix entre les ligne x et y (les lignes 1 et 2) est placé dans la ligne z (ligne 3) de la matrice-colonne résultante.

algorithme permettant de calculer simplement le produit vectoriel dans le cas d'une base orthonormée directe
Algorithme permettant de calculer simplement le produit vectoriel dans le cas d'une base orthonormée directe

Voir aussi : Géométrie analytique.

Base et repère

Un repère (du plan ou de l'espace) est la donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) d'une base et d'un point (Graphie) de référence, noté en général O. Nous allons supposer ici que la base utilisée pour les vecteurs est la même que celle utilisée pour le repère. Si les coordonnées du point A sont (xA,yA,zA) et celles du point B sont (xB,yB,zB), alors le vecteur \overrightarrow{AB} a pour composantes :

\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \\ z_B - z_A \end{pmatrix}

en particulier, on a

\overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} x_A \\ y_A \\ z_A \end{pmatrix}

En utilisant l'autre notation, les coordonnées de A sont (a1,a2,a3) et celles du point B sont (b1,b2,b3), et le vecteur u = AB a pour composantes :

ui = bi - ai

Les transformations

Les transformations d'une base sont toujours l'inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que x·y = y·x = 1, si 1...) de celles des fonctions qui y sont décrites. Par exemple, la rotation d'un repère dans le sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du...) trigonométrique est équivalente à la rotation des vecteurs dans le sens horaire.

Articles de mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les mathématiques...) en rapport avec l'algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des espaces vectoriels (ou espaces linéaires), de leurs éléments les vecteurs, des transformations linéaires et des...)
Espace vectoriel | Base | Dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de révolution.) | Matrice | Application linéaire (En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation linéaire) est une application entre deux espaces vectoriels qui respecte...) | Déterminant | Trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le champ magnétique à petite échelle du Soleil et la géométrie du plasma...) | Rang ( Mathématiques En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par cette famille. Le théorème du rang lie le rang et la...) | Théorème des facteurs invariants | Réduction d'endomorphisme | Réduction de Jordan (La réduction de Jordan est la traduction matricielle de la réduction des endomorphismes introduite par Jordan. Cette réduction est tellement employée, en particulier en analyse pour la...) | Décomposition de Dunford (La décomposition de Dunford s'inscrit dans la problématique de la réduction d'endomorphisme. Cette approche consiste à décomposer l'espace vectoriel en une somme directe de...) | Valeur propre (En mathématiques, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'appliquant à une application linéaire d'un espace dans lui-même. Il correspond à l'étude des axes privilégiés, selon...) | Polynôme caractéristique (En algèbre linéaire, à toute matrice carrée ou à tout endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie est associé un polynôme appelé polynôme caractéristique. Il renferme d'importantes informations sur la...) | Forme linéaire (En algèbre linéaire, les formes linéaires désignent un type particulier d'applications linéaires. L'étude spécifique qu'on leur accorde est motivée par...) | Espace dual (L'espace dual d'un espace vectoriel E est l'ensemble des formes linéaires sur E. La structure d'un espace et celle de son dual sont très liées. La fin...) | Orthogonalité | Produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois définissant la structure d'espace vectoriel. À deux vecteurs elle...) | Produit vectoriel | Polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que parce qu'ils donnent localement une valeur approchée...) d'endomorphisme | Polynôme minimal (Le polynôme minimal est un outil qui permet d'utiliser des résultats de la théorie des polynômes à l'algèbre linéaire. Il est en effet possible d'appliquer un polynôme à un endomorphisme,...) | Tenseur | Pseudovecteur | Covecteur | Algèbre multilinéaire (En mathématiques, l’algèbre multilinéaire étend les méthodes de l’algèbre linéaire. Tout comme l’algèbre linéaire est bâtie sur le concept d’un vecteur et développe la théorie des espaces...)
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