Moyenne - Définition

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Introduction

La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'auraient chacun des membres de l'ensemble s'ils étaient tous identiques sans changer la dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une...) globale de l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...). Il y a plusieurs façons de calculer la moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de...) d'un ensemble de valeurs, choisies en fonction de la grandeur physique (Une grandeur physique est un ensemble d'unités de mesure, de variables, d'ordres de grandeur et de...) que représentent ces nombres. Dans le langage courant, le terme « moyenne » réfère généralement à la moyenne arithmétique (La moyenne arithmétique d'une série statistique est la moyenne ordinaire, c'est-à-dire le...).

Que représente la moyenne ?

En statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon....)

La moyenne est la valeur unique que devraient avoir tous les individus d'une population (ou d'un échantillon) pour que leur total soit inchangé. C'est un critère de position (Les critères de position d'un ensemble (de valeurs numériques d'un caractère...).

Dans la plupart des cas, le total formé par les individus d'une population est la somme de leurs valeurs. La moyenne est alors la moyenne arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la...). Mais si le total représenté par une population ou un échantillon (De manière générale, un échantillon est une petite quantité d'une matière, d'information, ou...) n'est pas la somme de leurs valeurs, la moyenne pertinente ne sera plus la moyenne arithmétique.

Si, par exemple, le total d'un ensemble d'individus est calculé par l'inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de...) de la moyenne arithmétique des inverses (cas des vitesses d'un ensemble de fractions d'un trajet, par exemple), on doit calculer leur moyenne harmonique (Dans plusieurs domaines, une harmonique est un élément constitutif d'un phénomène périodique...).

Si, par exemple, le total d'un ensemble d'individus est le produit de leurs valeurs, il convient de calculer leur moyenne géométrique (La moyenne géométrique d'une série statistique quantitative discrète positive non nulle est...).

On rencontre, en physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la...), de multiples moyennes : la capacité moyenne d'un ensemble de condensateurs en série est la moyenne harmonique de leurs capacités.

La moyenne ne peut donc se concevoir que pour une variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle...) quantitative. On ne peut pas faire le total des valeurs d'une variable qualitative. Quand la variable est ordinale, on lui préférera la médiane (Le terme de médiane, du latin medius, qui est au milieu, possède plusieurs acceptations en...).

Exemple de la moyenne scolaire

La moyenne est beaucoup utilisée en évaluation scolaire. Dans de nombreux systèmes scolaires, une partie de l'évaluation des élèves débouche sur une note chiffrée, par exemple

  • en France, en Tunisie et au Maroc : de 0 à 10 ou de 0 à 20 (0 étant la plus mauvaise note, 10 ou 20 la meilleure) ;
  • en Suisse : de 1 à 6 (1 étant la plus mauvaise note, 6 la meilleure);
  • en Allemagne : de 6 à 1 (6 étant la plus mauvaise note, 1 la meilleure);
  • au Canada : de 0 à 100 (100 étant la meilleure note et 0 la plus mauvaise).

On peut alors calculer la moyenne des notes d'une classe dans une matière (La matière est la substance qui compose tout corps ayant une réalité tangible. Ses...), ou la moyenne des notes d'un élève dans une matière. Ces moyennes ont des sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...) différents :

  • la moyenne de la classe est censée représenter un « niveau global », si tant est que cela ait un sens ;
  • dans le cas d'un examen de grande ampleur, comme par exemple le Baccalauréat (Le baccalauréat (altération du bas-latin bachalariatus, désignant un rang de...), où de nombreux élèves passent la même épreuve mais sont corrigés par différents professeurs, la différence des moyennes entre les groupes peut indiquer une différence de correction selon le professeur (certains étant plus sévères, d'autres plus tolérants), et l'on peut par exemple effectuer une correction de notes, une « mise en adéquation », afin que les groupes aient tous la même moyenne ; par exemple, si m1, m2… sont les moyennes des groupes et M la moyenne globale, alors les notes du groupe i seront multipliées par M/mi ;
  • dans le cas d'un élève : la moyenne des notes sur une matière permet de niveler les résultats ; ainsi, si les résultats sont fluctuants, les faiblesses d'un moment sont rattrapées par les réussites d'un autre moment ;
  • la moyenne des notes d'un élève dans plusieurs matières est une autre manière de niveler les résultats, non plus dans le temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le...) mais selon la matière : les points forts rattrapent les points faibles ; la moyenne est alors un critère de sélection, sachant que ce que l'on demande d'un élève, ce n'est pas qu'il soit bon partout, mais qu'il ait des qualités permettant de rattraper ses défauts ; lorsque certaines matières sont plus importantes que d'autres, on applique des coefficients de pondération (cf. ).

Dans ces exemples, la moyenne est un lissage des valeurs. On peut bien sûr se demander si la moyenne est un critère pertinent de sélection (voir Évaluation sommative) ; en général, ce n'est pas le seul critère qui entre en compte, à l'exception de certains examens et concours.

En géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...)

En géométrie, la moyenne correspond à la notion d'isobarycentre. Lorsque l'on veut décrire le comportement de plusieurs objets, il est parfois possible de les remplacer par un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans...) fictif dont les propriétés (telle la position dans l'espace) sont la moyenne des propriétés des différents objets. En mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes...) rationnelle, cet objet fictif est appelé centre de masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un...) de l'ensemble des objets considérés. En fait, dans la mesure où les objets ont en général des masses différentes, la notion de centre de masse correspond plutôt à la notion géométrique de barycentre (Le barycentre est un point mathématique (géométrie analytique) construit à partir d'un ensemble...), qui est une sorte de moyenne pondérée (On nomme moyenne pondérée la moyenne d'un certain nombre de valeurs affectées de coefficients.) (voir plus loin).

En probabilités

Lorsque les valeurs sont aléatoires, la moyenne est appelée « espérance ». Si l'on peut déterminer une loi statistique de cette variable aléatoire (Une variable aléatoire est une fonction définie sur l'ensemble des...), l'espérance est en général un des paramètres fondamentaux de cette loi.

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