Factorielle - Définition et Explications

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En mathématiques, la factorielle d'un entier naturel n, notée n!, ce qui se lit soit " factorielle de n " soit " factorielle n ", est le produit des nombres entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à n.

La factorielle (En mathématiques, la factorielle d'un entier naturel n, notée n!, ce qui se lit soit...) joue (La joue est la partie du visage qui recouvre la cavité buccale, fermée par les...) un rôle important en algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche...) combinatoire (En mathématiques, la combinatoire, appelée aussi analyse combinatoire, étudie les...) parce qu'il y a n! façons différentes de permuter n objets. Elle apparaît dans de nombreuses formules en mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...), comme par exemple la formule du binôme ( en mathématique, binôme, une expression algébrique ; voir aussi binôme de Newton...) et la formule de Taylor.

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...)

Soit n un entier naturel (En mathématiques, un entier naturel est un nombre positif (ou nul) permettant fondamentalement...). Sa factorielle est formellement définie par :

n! = \prod_{i=1}^n i = 1\times 2\times 3\times \cdots \times (n-1) \times n

Par exemple :

  • 1! = 1
  • 2! = 1 × 2 = 2
  • 3! = 1 × 2 × 3 = 6
  • 10! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10 = 3 628 800

Par convention :

0! = 1

La définition de la factorielle sous forme de produit rend naturelle cette convention puisque 0! est un produit vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.), c'est-à-dire réduit à l'élément neutre de la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire...). Cette convention est pratique pour deux points :

  • Elle permet une définition récursive de la factorielle : (n+1)! = n! × (n+1) pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) n.
  • Elle permet à de nombreux identifés en combinatoire d'être valides pour des tailles nulles. En particulier, le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) d'arrangements ou de permutations de l'ensemble vide (En mathématiques, l'ensemble vide est l'ensemble ne contenant aucun élément.) est égal à 1.

La formule de Stirling donne un équivalent de n! quand n est grand :

\lim_{n\to+\infty} \frac{n!}{\sqrt{2\pi n} (n/e)^n}=1

d'où n\,! \sim \sqrt{2\pi n}\, {\left(\frac n e\right)}^n

Généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de...)

La fonction gamma, tracée ici le long de l'axe des réels, prolonge la factorielle sur les valeurs qui ne sont pas entières
La fonction gamma (La fonction gamma est, en mathématiques, une fonction complexe.), tracée ici le long de l'axe des réels, prolonge la factorielle sur les valeurs qui ne sont pas entières

La fonction factorielle peut être prolongée à l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) des nombres complexes (à l'exception des nombres entiers négatifs ou nuls) grâce à la fonction gamma d'Euler (notée Γ). En effet, pour n entier positif, on a :

Γ(n + 1) = n!

Par ailleurs, les deux fonctions satisfont les relations de récurrence suivantes :

n!=n \times (n-1)!
Γ(n + 1) = nΓ(n)

La fonction gamma agit donc comme un prolongement de la factorielle :

z! = \Gamma(z+1)=\int_{0}^{\infty} t^z e^{-t}\, \mathrm{d}t

Cette fonction n'est cependant pas définie pour les nombres entiers négatifs ou nuls (0, -1, -2, etc.).

Cette vision de la fonction gamma comme prolongation de la factorielle est justifiée par les raisons suivantes :

  • Les deux fonctions partagent une même définition récurrente.
  • La fonction gamma est généralement utilisée dans un contexte (Le contexte d'un évènement inclut les circonstances et conditions qui l'entourent; le...) similaire (même si plus général) à la factorielle.
  • La fonction gamma est la seule fonction qui satisfait cette définition de récurrence sur les nombres complexes, qui est holomorphe et dont le logarithme (En mathématiques, une fonction logarithme est une fonction définie sur à valeurs dans ,...) de la restriction aux réels positifs est convexe (En géométrie, un objet est convexe si pour toute paire de points { A , B } de cet objet, le...) (théorème de Bohr–Mollerup)

Applications

  • En combinatoire, il existe n! façons différentes d'arranger n objets distincts (c’est-à-dire n! permutations). Et le nombre de façons de choisir k éléments parmi un ensemble de n est donné par le coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain...) binomial :
{n\choose k}={n!\over k!(n-k)!}.
  • En permutation (En mathématiques, la notion de permutation exprime l'idée de réarrangement d'objets...), si r éléments peuvent être choisis et arrangés de r façons différentes parmi un total ( Total est la qualité de ce qui est complet, sans exception. D'un point de vue comptable, un...) de n objets (r < n), alors le nombre total de permutations distinctes est donné par :
nPr = \frac{n!}{(n-r)!}
  • Les factorielles apparaissent également en analyse. Par exemple, le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) de Taylor, qui exprime la valeur en x d'une fonction f sous forme de série entière, fait intervenir la factorielle n! pour le terme correspondant à la ne dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la...) de f en x.
  • Le volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension...) d'une hypersphère en n dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce...) peut être exprimé par :
V_n={\pi^{n/2}R^n\over (n/2)!}.
  • Les factorielles sont utilisées de façon intensive en théorie des probabilités (La théorie des probabilités est l'étude mathématique des phénomènes...).
  • Les factorielles sont souvent utilisées comme exemple — avec la suite de Fibonacci (Leonardo Fibonacci (Pise, v. 1170 - v. 1250) est un mathématicien italien. Fibonacci (de son nom...) — pour l'apprentissage (L’apprentissage est l'acquisition de savoir-faire, c'est-à-dire le processus...) de la récursivité en informatique (L´informatique - contraction d´information et automatique - est le domaine...) du fait de leur définition récurrente simple.

Théorie des nombres (Traditionnellement, la théorie des nombres est une branche des mathématiques qui s'occupe...)

Les factorielles ont de nombreuses applications en théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) des nombres. Les nombres factoriels sont des nombres hautement composés. En particulier, n! est divisible par tous les nombres premiers qui lui sont égaux ou inférieurs. Par conséquent, tout nombre n > 4 est un nombre composé si et seulement si :

(n-1)!\ \equiv\ 0 \ ({\rm mod}\ n).

Un résultat plus fort est le théorème de Wilson. n est premier si et seulement si :

(n-1)!\ \equiv\ -1 \ ({\rm mod}\ n)

Adrien-Marie Legendre (Adrien-Marie Legendre, né le 18 septembre 1752 à Paris et mort le...) a montré que la multiplicité du nombre premier (Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et...) p dans la décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils...) en produit de facteurs premiers de n! peut être exprimé par :

\sum_{i=1}^{\infty} \lfloor n/p^i \rfloor,

(qui est définie, car la fonction partie entière (En mathématiques, la fonction partie entière est la fonction définie de la manière...) élimine tous les pi > n).

La seule factorielle qui soit également un nombre premier est 2, mais il existe des nombres premiers de la forme n! \pm 1, appelés nombres premiers factoriels.

Programmation (La programmation dans le domaine informatique est l'ensemble des activités qui permettent...)

La factorielle d'un nombre peut être calculée en utilisant un algorithme récursif (Les algorithmes récursifs et les fonctions récursives sont fondamentaux en informatique....) ou itératif.

Écrivons en langage Scheme (Scheme (prononcer « skiim' ») est un langage de programmation dérivé...), proche du Lisp (Lisp est la plus ancienne famille de langages impératifs et fonctionnels. Développé...), un programme récursif donnant la factorielle d'un entier :

 
 (define fact 
 (lambda (x) 
 (if (= x 0) 1 
 (* x (fact (- x 1)))))) 
 

Ce programme n'est pas efficace à l'exécution, pour les grands entiers.

De la même manière, en Caml :

 
 let rec fact = function 
 | 0 -> 1 
 | n -> n * fact (n-1) 
 

Ou de façon récursive terminale :

 
 let fact n = 
 let rec aux r = function 
 | 0 -> r 
 | n -> aux (n*r) (n-1) 
 in 
 aux 1 n 
 

En Haskell :

 
 fact 1 = 1 
 fact n = n * fact ( n - 1 ) 
 

En Prolog :

 
 fact(0,1). 
 fact(1,1). 
 fact(N,R):- N > 1, N1 is N - 1, fact(N1,R1), R is N*R1. 
  
 

En langage C, de façon récursive :

 
 int factorielle_recursive(int n) 
 { 
 if (n == 0) 
 return 1; 
 else 
 return n * factorielle_recursive(n-1); 
 } 
 

Et de façon itérative :

 
 int factorielle_iterative(int n) 
 { 
 int res; 
 for (res = 1; n > 1; n--) 
 res *= n; 
 return res; 
 } 
 

En langage Python, de façon récursive :

 
 fact = lambda x: x>0 and x*fact(x-1) or 1 
 ---------------------------------------------------- 
 Utilisation: 
 for i in range(10): 
 print "fact %d = %d" %(i, fact(i)) 
 Ce qui produit à l'écran (Un moniteur est un périphérique de sortie usuel d'un ordinateur. C'est l'écran où s'affichent...): 
 fact 0 = 1 
 fact 1 = 1 
 fact 2 = 2 
 fact 3 = 6 
 fact 4 = 24 
 fact 5 = 120 
 fact 6 = 720 
 fact 7 = 5040 
 fact 8 = 40320 
 fact 9 = 362880 
 

Ces fonctions ne permettent pas de calculer la factorielle d'un nombre supérieur à 12 si les entiers sont limités à 32 bits, car le résultat dépasse la place disponible. De plus, par souci de clarté, les programmes ci-dessus sont dépourvus de traitement des entrées-sorties (Dans un système à base d'un processeur, d'un microprocesseur, d'un microcontrôleur...).

Variantes

Primorielle

La fonction primorielle est similaire à la fonction factorielle, mais ne prend en compte que le produit des nombres premiers.

Multifactorielles

Afin d'alléger l'écriture, une notation courante est d'utiliser plusieurs points d'exclamation pour noter une fonction multifactorielle, le produit d'un facteur sur deux (n!!), sur trois (n!!!) ou plus.

n!!, la double factorielle de n, est définie de façon récurrente par :

n!!=   \left\{    \begin{matrix}     1,\qquad\quad\ &&\mbox{si }n=0\mbox{ ou }n=1;    \\     n(n-2)!!&&\mbox{si }n\ge2.\qquad\qquad    \end{matrix}   \right.

Par exemple :

  • 3!! = 3 \times 1 = 3
  • 4!! = 4 \times 2 = 8
  • 5!! = 5 \times 3 \times 1 = 15
  • 6!! = 6 \times 4 \times 2 = 48
  • n!! = n \times (n-2) \times (n-4) \times \cdots

Certaines identités découlent de la définition :

n!=n!!(n-1)!! \,
(2n)!!=2^nn! \,
(2n+1)!!={(2n+1)!\over(2n)!!}={(2n+1)!\over2^nn!}
\Gamma\left(n+{1\over2}\right)=\sqrt\pi{(2n-1)!!\over2^n}

Il faut faire attention de ne pas interpréter n!! comme la factorielle de n!, qui serait écrite (n!)! et est un nombre largement plus grand. Certains mathématiciens ont suggéré la notation alternative n!2 pour la double factorielle et similairement n!n pour les autres multifactorielles, mais cet usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) ne s'est pas répandu.

La double factorielle est la variante la plus commune, mais il est possible de définir de façon similaire la triple factorielle, etc. De façon générale, la ke factorielle, notée n!(k), est définie de façon récurrente par :

n!^{(k)}=   \left\{    \begin{matrix}     1,\qquad\qquad\ &&\mbox{si }0\le n<k;    \\     n(n-k)!^{(k)},&&\mbox{si }n\ge k.\quad\ \ \,    \end{matrix}   \right.

Hyperfactorielle

L'hyperfactorielle de n, notée H(n), est définie par :

H(n)   =\prod_{k=1}^n k^k   =1^1\cdot2^2\cdot3^3\cdots(n-1)^{n-1}\cdot n^n.

Pour n = 1, 2, 3, 4,... les valeurs de H(n) sont 1, 4, 108, 27 648,... (la séquence A002109 de l'OEIS).

La fonction hyperfactorielle est similaire à la fonction factorielle, mais produit de plus grands nombres. Sa croissance est en revanche comparable.

Superfactorielle

Neil Sloane et Simon Plouffe ont défini la superfactorielle en 1995 comme le produit des n premières factorielles :

\mathrm{sf}(n)   =\prod_{k=1}^n k! =\prod_{k=1}^n k^{n-k+1}   =1^n\cdot2^{n-1}\cdot3^{n-2}\cdots(n-1)^2\cdot n^1.

Par exemple, la superfactorielle de 4 est :

\mathrm{sf}(4)=1! \times 2! \times 3! \times 4!=288 \,

La suite des superfactorielles débute (depuis n = 0) par :

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, ... voir (la séquence A000178 de l'OEIS)

L'idée fut étendue en 2000 par Henry Bottomley à la superduperfactorielle, produit des n premières superfactorielles, débutant (depuis n = 0) par :

1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000, ... voir (la séquence A055462 de l'OEIS)

puis, par récurrence, à n'importe quelle factorielle de niveau supérieur, où la factorielle de niveau m de n est le produit des n premières factorielles de niveau m-1, c’est-à-dire, en notant f(n,m) la factorielle de n de niveau m :

\mathrm{f}(n,m) = \mathrm{f}(n-1,m)\mathrm{f}(n,m-1)   =\prod_{k=1}^n k^{n-k+m-1 \choose n-k}

f(n,0) = n pour n > 0 et f(0,m) = 1.

Superfactorielle (définition alternative)

Clifford Pickover, dans son livre Keys to Infinity (1995), définit la superfactorielle de n, notée n$ ($ étant un signe factoriel ! portant un S superposé), comme :

n\$\equiv \begin{matrix} \underbrace{ n!^{{n!}^{{\cdot}^{{\cdot}^{{\cdot}^{n!}}}}}} \\ n! \end{matrix},

ou, en utilisant la notation de Knuth :

n\$=(n!)\uparrow\uparrow(n!) \,.

Les premiers éléments de la suite des superfactorielles sont :

1\$=1
2\$=2^2=4
3\$=6\uparrow\uparrow6=6^{6^{6^{6^{6^6}}}} \!=8.02\times 10^{6050}
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