Algèbre

L'algèbre est la branche des mathématiques qui étudie les structures algébriques, indépendamment de la notion de limite (rattachée à l'analyse) et de la notion de représentation graphique (rattachée à la géométrie).

Pour la " structure d'algèbre ", voir l'article : Algèbre sur un corps.

Histoire

Antiquité

Les Babyloniens savaient déjà résoudre l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à certaines...) du 2e degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) (ou équation quadratique).

Le premier document (Dans son acception courante un document est généralement défini comme le support physique d'une information.) connu énonçant un problème algébrique tel que nous le connaissons est le Papyrus Rhind. Ce papyrus, actuellement (2007) au British Museum de Londres (Londres (en anglais : London - /?l?nd?n/) est la capitale ainsi que la plus grande ville d'Angleterre et du Royaume-Uni. Fondée il y a plus de 2 000 ans par les Romains, la ville est aujourd'hui devenue un centre culturel,...), date de -1650, ère chrétienne. Il comporte l'énoncé suivant :

On doit diviser 100 miches de pain entre dix hommes comprenant un navigateur, un contremaître et un gardien, tous trois recevant double part. Que faut-il donner à chacun ?

Diophante, au IVe siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué la durée...), développe la méthode de résolution en nombres rationnels et découvre que le discriminant (En mathématiques, le discriminant est une notion algébrique. Il est utilisé pour résoudre des équations du second degré. Il se généralise pour des...) doit être le carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un carré est à la fois...) d'un nombre rationnel (Un nombre rationnel est un nombre réel exprimable par le quotient de deux entiers relatifs (), dont le second est non nul. L'ensemble des nombres rationnels est noté .).

Perse et monde (Le mot monde peut désigner :) musulman

Le mot algèbre vient de l'arabe al-jabr (?????), qui est devenu algebra en latin et qui signifie " la réunion " (des morceaux), " la reconstruction " ou " la connexion " (en espagnol le mot algebrista désigne celui qui pratique le calcul algébrique (C'est vers le XVIe siècle que l'on voit avec le calcul algébrique, apparaître les mathématiques « modernes ». Auparavant il n'était pratiqué...) mais aussi le rebouteux, celui qui sait réduire les fractures osseuses[1]).

C'est un des premiers mots de titre en arabe d'un ouvrage du mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale. Ce terme recouvre une large palette de...) perse Al-Khawarizmi qui reprend, dans la première partie du IXe siècle, les travaux de Diophante d'Alexandrie (Alexandrie (grec :?λεξ?νδρεια, Copte : Rakot?, Arabe : ??????????, Al-?Iskandariya) est une ville d’Égypte de près de quatre...) (IVe siècle). Ce dernier avait imaginé de représenter une inconnue par un symbole nommé arithme. Le titre de cet ouvrage (Al-jabr wa'l-muqabalah) qui s'inscrivait dans l'époque d'essor des sciences et techniques islamiques (la culture (La définition que donne l'UNESCO de la culture est la suivante [1] :) de l'époque voulait que tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) savoir soit traduit en arabe et disséminé dans tout l'Empire), a donné le mot moderne Algèbre.

Après un voyage (Un voyage est un déplacement effectué vers un point plus ou moins éloigné dans un but personnel (tourisme) ou professionnel (affaires). Le voyage s'est considérablement développé et...) dans le nord (Le nord est un point cardinal, opposé au sud.) de l'Afrique (D’une superficie de 30 221 532 km2 en incluant les îles, l’Afrique est un continent couvrant 6 % de la surface...), Léonard de Pise dit Fibonacci (Leonardo Fibonacci (Pise, v. 1170 - v. 1250) est un mathématicien italien. Fibonacci (de son nom moderne), connu à l'époque sous le nom de Leonardo Pisano (Léonard...) fut séduit par cette nouvelle façon d'écrire les chiffres (différente des chiffres romains) et par le système décimal (Le système décimal est un système de numération utilisant la base dix. Dans ce système, les puissances de dix et leurs multiples bénéficient d'une représentation privilégiée.). Dès son retour au pays (Pays vient du latin pagus qui désignait une subdivision territoriale et tribale d'étendue restreinte (de l'ordre de quelques centaines de km²), subdivision de la civitas...), il est parmis les premiers à populariser les chiffres arabes (Les chiffres arabes, qui furent d'abord utilisés en France puis dans toute l'Europe et enfin dans le monde entier, ont été empruntés aux Arabes, qui les avaient...) et le système décimal en Europe (L’Europe est une région terrestre qui peut être considérée comme un continent à part entière, mais aussi comme l’extrémité occidentale du continent eurasiatique, voire comme une des...) et travaille sur sa fameuse suite.

XVIe siècle : Europe

Le pape Gerbert d'Aurillac avait ramené d'Espagne vers l'an 1000 le zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr, d’abord transcrit zefiro en italien) est un symbole marquant une...), invention indienne que les mathématiciens Al-Khawarizmi et Abu Kamil avaient eux-mêmes fait connaître dans tout l'Empire, et donc aussi à Cordoue.

Cette numération de position lance une ère de calcul algébrique, d'abord au moyen des algorismes nommés ainsi en hommage à Al-Kawarizmi, qui remplacent peu à peu l'usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) de l'abaque. Les mathématiciens italiens du XVIe siècle (del Ferro (El Hierro, également connue sous le nom d'île de Fer ou Ferro, est la plus petite et la plus occidentales des îles Canaries. Elle est connue en Espagne pour les...), Tartaglia et Cardan) résolvent l'équation du 3e degré (ou équation cubique). Ferrari ( Automobiles et motos Ferrari, constructeur automobile italien dont le nom provient de son fondateur Enzo Ferrari. Scuderia Ferrari, l'écurie de course du constructeur. Ferrari, constructeur...), élève de Cardan, résout l'équation du 4e degré (ou équation quartique), et la méthode est perfectionnée par Bombelli. À la fin du siècle, le Français Viète découvre que les fonctions symétriques des racines sont liées aux coefficients de l'équation polynomiale.

Jusqu'au XVIIe siècle, l'algèbre peut être globalement caractérisée comme la suite ou le début des équations et comme une extension de l'arithmétique ; elle consiste principalement en l'étude de la résolution des équations algébriques, et la codification progressive des opérations symboliques permettant cette résolution. À noter que c'est au français François Viète (1540-1603) que l'on doit l'idée de noter les inconnues à l'aide de lettres .

Au XVIIe siècle, les mathématiciens utilisent progressivement des nombres " fictifs ", tels que l'une des racines carrées de -1, pour parvenir à calculer les racines non réelles de leurs équations. Cette " extension " des nombres réels (qui prendra le nom de nombres complexes) amène d'Alembert (en 1746) et Gauss (en 1799) à énoncer et démontrer le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un...) fondamental de l'algèbre (ou théorème de d'Alembert-Gauss) : toute équation polynomiale de degré n en nombres complexes a exactement n racines (en comptant chacune avec son éventuelle multiplicité). Ou, sous sa forme moderne : le corps \ _\mathbb C des nombres complexes muni de l'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de...) et de la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) est algébriquement clos.

Le XIXe siècle s'intéresse désormais à la calculabilité (La théorie de la calculabilité (appelée aussi parfois théorie de la récursion) est une branche de la logique mathématique et de l'informatique théorique. Alors que la...) des racines, et en particulier à la possibilité de les exprimer par des formules générales à base de radicaux. Les échecs concernant les équations de degré 5 amènent le mathématicien Abel (après Vandermonde, Lagrange et Gauss) à approfondir les transformations sur l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout »,...) des racines d'une équation. Évariste Galois (1811 - 1832), dans un mémoire (D'une manière générale, la mémoire est le stockage de l'information. C'est aussi le souvenir d'une information.) fulgurant, introduit pour la première fois la notion de groupe (en étudiant le groupe des permutations des racines d'une équation polynomiale) et aboutit à l'impossibilité de la résolution par radicaux pour les équations de degré supérieur ou égal à 5.

Une étape décisive était franchie avec l'écriture des exposants fractionnaires. Celle-ci permettra à Euler d'énoncer sa célèbre formule eiπ = − 1.

Algèbre moderne

Dès lors, l'algèbre moderne entame un parcours fécond : Boole crée l'algèbre qui porte son nom, Hamilton invente les quaternions, et les mathématiciens anglais Cayley, Hamilton et Sylvester étudient les structures de matrices. L'algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des espaces vectoriels (ou espaces linéaires), de leurs éléments les...), longtemps restreinte à la résolution de systèmes d'équations linéaires à 2 ou 3 inconnues, prend son essor avec le théorème de Cayley-Hamilton (En algèbre linéaire, le théorème Cayley-Hamilton (qui porte les noms des mathématiciens Arthur Cayley et William Hamilton) affirme que tout endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie sur un corps...) (" Toute matrice carrée à coefficients dans \ _\mathbb R ou \ _\mathbb C divise son polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne...) caractéristique "). S'ensuivent les transformations par changement de base, la diagonalisation (La diagonalisation est un procédé d'algèbre linéaire. Il s'applique à des endomorphismes d'un espace vectoriel. Il consiste à rechercher une base de l'espace vectoriel constituée de vecteurs propres.) et la trigonalisation (En algèbre linéaire, trigonaliser une matrice consiste à réduire celle-ci sous la forme d'une matrice triangulaire supérieure, ou inférieure. Ceci...) des matrices, et les méthodes de calcul qui nourriront, au XXe siècle, la programmation (La programmation dans le domaine informatique est l'ensemble des activités qui permettent l'écriture des programmes informatiques. C'est une étape importante de la conception de...) des ordinateurs. Parallèlement, Kummer généralise les structures galoisiennes et étudie les structures de corps et d'anneau. Dedekind définit les idéaux (déjà entrevus par Gauss) qui permettront de généraliser et reformuler les grands théorèmes d'arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la théorie des nombres qui utilise des méthodes de la géométrie algébrique et de la théorie des groupes. On...). L'algèbre linéaire se généralise en algèbre multilinéaire (En mathématiques, l’algèbre multilinéaire étend les méthodes de l’algèbre linéaire. Tout comme l’algèbre linéaire est bâtie sur le concept d’un vecteur et développe la théorie des espaces vectoriels,...) et algèbre tensorielle.

Au début du XXe siècle, sous l'impulsion de l'allemand Hilbert et du français Poincaré, les mathématiciens s'interrogent sur les fondements des mathématiques : logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant...) et axiomatisation occupent le devant de la scène. Peano axiomatise l'arithmétique, puis les espaces vectoriels. La structure d'espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur, voir l'article Vecteur.) et la structure d'algèbre sont approfondies par Artin en 1925, avec des corps de base autres que \ _\mathbb R ou \ _\mathbb C et des opérateurs toujours plus abstraits. On doit aussi à Artin, considéré comme le père de l'algèbre contemporaine, des résultats fondamentaux sur les corps de nombres algébriques (En mathématiques, un corps de nombres algébriques (ou simplement corps de nombres) est une extension de corps finie du corps des nombres rationnels. Ceci signifie que c'est un corps qui contient et qui possède...). Les corps non commutatifs amènent à définir la structure de module sur un anneau et la généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les détails de façon à ce qu'ils puissent être considérés de...) des résultats classiques sur les espaces vectoriels.

L'école française "Nicolas Bourbaki", emmenée par Weil, Cartan et Dieudonné, entreprend de réécrire l'ensemble des connaissances mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les...) sur une base axiomatique : ce travail gigantesque commence par la théorie des ensembles (La théorie des ensembles est une branche des mathématiques créée initialement par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIXe siècle.) et l'algèbre dans le milieu du siècle, et confirme l'algèbre comme langage universel des mathématiques. Paradoxalement, alors que le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de publications suit une croissance exponentielle (En mathématique, en économie et en biologie, on parle d'un phénomène à croissance exponentielle (ou géométrique) lorsque la croissance en valeur absolue de la population est...) à travers le monde, alors qu'aucun mathématicien ne peut prétendre dominer qu'une toute petite partie des connaissances, les mathématiques n'ont jamais autant paru unifiées qu'aujourd'hui.

Notations européennes modernes

  • Les symboles "+" et "-" apparaissent en 1489 dans l'ouvrage Arithmétique de John Widmann (Leipzig)
  • Le signe "=" apparaît en 1557 chez Robert Recorde "parce que deux choses ne sauraient être plus égales que deux lignes parallèles".
  • Les signes "<" et ">" apparaissent en 1610 chez Thomas Harriot (1560-1621).
  • William Oughtred (1574-1660) introduit le signe de la multiplication "x" dans son Clavis Mathematica (1631). Il introduit aussi les termes de sinus, cosinus et tangente.
  • Le signe de la division (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par l'inverse du second. Si un nombre est non nul, la fonction "division par ce nombre" est la réciproque de la fonction "multiplication...) "/" est utilisé par J. H. Rahn en 1659 et introduit en Angleterre (L’Angleterre (England en anglais) est l'une des quatre nations constitutives du Royaume-Uni. Elle est de loin la plus peuplée, avec 50 763 000 habitants...) par John Pell en 1668.
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