Algèbre linéaire
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L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des espaces vectoriels (ou espaces linéaires), de leurs éléments les vecteurs, des transformations linéaires et des systèmes d'équations linéaires (théorie des matrices).

Histoire

L'histoire de l'algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des espaces vectoriels (ou espaces linéaires), de leurs éléments les vecteurs, des transformations linéaires...) commence avec René Descartes qui le premier pose des problèmes de géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures d'autres types...), comme l'intersection de deux droites, sous forme d'équation linéaire (Une équation est dite linéaire quand elle s'exprime à l'aide d'une application linéaire. Elle se présente sous la forme u(x)=b, où u est une...). Il établit alors un pont (Un pont est une construction qui permet de franchir une dépression ou un obstacle (cours d'eau, voie de communication, vallée, etc.) en passant par-dessus cette séparation. Le...) entre deux branches mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les...) jusqu'à présent séparées : l'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les...) et la géométrie. S'il ne définit pas la notion de base de l'algèbre linéaire qui est l'espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de...), il l'utilise déjà avec succès. Après cette découverte les progrès en algèbre linéaire vont se limiter à des études ponctuelles comme la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) et l'analyse des premières propriétés des déterminants par Jean d'Alembert.

Ce n'est qu'au XIXe siècle que l'algèbre linéaire devient une branche des mathématiques à part entière. Carl Friedrich Gauss trouve une méthode générique pour la résolution des systèmes d'équations linéaires, Marie Ennemond Camille Jordan résout définitivement le problème de la réduction d'endomorphisme. En 1843, William Rowan Hamilton (inventeur du terme vector) découvre les quaternions. En 1844, Hermann Grassmann publie un livre Die lineare Ausdehnungslehre.

Le début du XXe siècle voit la naissance de la formalisation moderne des mathématiques. Les espaces vectoriels deviennent alors une structure générale omni-présente dans presque tous les domaines mathématiques.

Intérêt

Sous leur forme la plus simple les espaces vectoriels représentent intuitivement les déplacements dans les espaces géométriques élémentaires comme la droite, le plan ou notre espace physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et...). Les bases de cette théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une...) remplacent maintenant la représentation construite par Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης Eukleidês (né vers -325, mort vers -265 à Alexandrie) est un mathématicien de la Grèce antique...) au IIIe siècle av. J.-C.. La construction moderne permet de généraliser la notion d'espace à des dimensions quelconques.

L'algèbre linéaire permet de résoudre tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble),...) d'équations dites linéaires utilisées non seulement en mathématiques ou en mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de transmission, pistons, ...), bref, de tout ce...), mais dans de nombreuses autres branches comme les sciences naturelles ou les sciences sociales.

Les espaces vectoriels forment aussi un outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son efficacité naturelle dans l'action. Cette augmentation se traduit par la simplification des actions entreprises, par une plus grande rentabilisation de ces...) fondamental pour les sciences de l'ingénieur (« Le métier de base de l'ingénieur consiste à résoudre des problèmes de nature technologique, concrets et souvent complexes, liés à la conception, à la réalisation et à la mise en œuvre de produits, de...) et servent (Servent est la contraction du mot serveur et client.) de base à de nombreux domaines dans la recherche opérationnelle (La recherche opérationnelle (aussi appelée aide à la décision) peut être définie comme l'ensemble des méthodes et techniques rationnelles d'analyse et de synthèse des phénomènes d'organisation utilisables pour élaborer de...).

Cette branche fournit aussi un support théorique important en informatique (L´informatique - contraction d´information et automatique - est le domaine d'activité scientifique, technique et industriel en rapport avec le traitement automatique de l'information par des machines...), que ce soit matériel avec des calculateurs ou des processeurs vectoriels ou logiciel (En informatique, un logiciel est un ensemble d'informations relatives à des traitements effectués automatiquement par un appareil informatique. Y sont inclus les instructions de traitement, regroupées...). Un langage informatique (On appelle langage informatique un langage formel utilisé lors de la conception, la mise en œuvre, ou l'exploitation d'un système d'information. Le terme est toutefois...) sorti dès 1969 adoptait des notations généralisées de l'algèbre linéaire : le langage APL.

Enfin, c'est un outil utilisé en mathématiques pour résoudre des problèmes aussi divers que la théorie des groupes, des anneaux ou des corps, l'analyse fonctionnelle (En mathématiques, le terme fonctionnelle se réfère à certaines fonctions. Initialement, le terme désignait les fonctions qui en prennent d'autres en argument....), la géométrie différentielle (En mathématiques, la géométrie différentielle est l'application des outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie. Les objets d'étude de base sont les variétés...) ou la théorie des nombres.

Présentation élémentaire

L'algèbre linéaire commence par l'étude de vecteurs dans les espaces cartésiens de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son...) 2 et 3. Un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut...), ici, est un segment de droite caractérisé à la fois par sa longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de...) (ou norme), sa direction et son sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive...). Les vecteurs peuvent alors être utilisés pour représenter certaines entités physiques comme des déplacements, additionnés ou multipliés par des scalaires (nombres), formant (Dans l'intonation, les changements de fréquence fondamentale sont perçus comme des variations de hauteur : plus la fréquence est élevée, plus la hauteur perçue est...) ainsi le premier exemple concret d'espace vectoriel.

L'algèbre linéaire moderne a été étendue pour considérer les espaces de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son...) arbitraire ou infinie. Un espace vectoriel de dimension n est appelé un n-espace. La plupart des résultats obtenus dans les 2-espaces et 3-espaces peuvent être étendus aux espaces de dimensions supérieures. Bien que beaucoup de personnes ne peuvent appréhender correctement un vecteur dans un n-espace, ils sont utiles pour représenter des données (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un événement, etc.). Les vecteurs étant des listes ordonnées à n composantes, on peut manipuler ces données efficacement dans cet environnement (L'environnement est tout ce qui nous entoure. C'est l'ensemble des éléments naturels et artificiels au sein duquel se déroule la vie humaine. Avec les enjeux écologiques actuels, le terme environnement tend...). Par exemple en économie, on peut créer et utiliser des vecteurs à huit dimensions pour représenter le produit national brut de huit pays (Pays vient du latin pagus qui désignait une subdivision territoriale et tribale d'étendue restreinte (de l'ordre de quelques centaines de km²), subdivision de la civitas gallo-romaine. Comme la civitas qui subsiste le plus souvent sous forme...).

Quelques théorèmes

  • Tout espace vectoriel de dimension finie possède une base.
  • Tout espace vectoriel A possède un espace dual (L'espace dual d'un espace vectoriel E est l'ensemble des formes linéaires sur E. La structure d'un espace et celle de son dual sont très liées. La fin de cet article présente quelques résultats...) A*; si A est de dimension finie, A* est de même dimension.

D'autres théorèmes concernent les conditions d'inversion de matrices de divers types :

  • matrice diagonale (En algèbre linéaire, une matrice diagonale est une matrice carrée dont les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls. Les coefficients de la diagonale...)
  • bande
  • matrice triangulaire (En algèbre linéaire, les matrices triangulaires sont des matrices carrées dont une partie triangulaire des valeurs, délimitée par la diagonale principale, est nulle.)
  • à diagonale (On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non reliés par un côté). Un polygone à n côtés possède diagonales.) dominante (très utilisées en analyse numérique)

Un théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir...) intéressant à l'époque des mémoires d'ordinateurs de petite taille était qu'on pouvait travailler séparément sur des sous-ensembles (" blocs ") d'une matrice en les combinant ensuite par les mêmes règles qu'on utilise pour combiner des scalaires dans les matrices. Avec les mémoires actuelles de plusieurs Go, cette question a perdu un peu de son intérêt pratique, mais reste très prisée en théorie des nombres, pour la décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils soient d'origine animale ou végétale dès l'instant qu'ils sont privés de vie, dégénèrent sous l'action...) en produit de facteurs premiers avec le crible général de corps de nombres (GNFS) (méthode Lanczos par blocs).

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