Algèbre linéaire - Définition et Explications

L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des espaces vectoriels (ou espaces linéaires), de leurs éléments les vecteurs, des transformations linéaires et des systèmes d'équations linéaires (théorie des matrices).

Histoire

L'histoire de l'algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse...) commence avec René Descartes (René Descartes, né le 31 mars 1596 à La Haye en Touraine (localité...) qui le premier pose des problèmes de géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...), comme l'intersection de deux droites, sous forme d'équation linéaire (Une équation est dite linéaire quand elle s'exprime à l'aide d'une application linéaire. Elle...). Il établit alors un pont (Un pont est une construction qui permet de franchir une dépression ou un obstacle (cours...) entre deux branches mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...) jusqu'à présent séparées : l'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche...) et la géométrie. S'il ne définit pas la notion de base de l'algèbre linéaire qui est l'espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant...), il l'utilise déjà avec succès. Après cette découverte les progrès en algèbre linéaire vont se limiter à des études ponctuelles comme la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) et l'analyse des premières propriétés des déterminants par Jean d'Alembert.

Ce n'est qu'au XIXe siècle que l'algèbre linéaire devient une branche des mathématiques à part entière. Carl Friedrich Gauss (Johann Carl Friedrich Gauß (traditionnellement transcrit Gauss en français)...) trouve une méthode générique pour la résolution des systèmes d'équations linéaires, Marie Ennemond Camille Jordan résout définitivement le problème de la réduction d'endomorphisme. En 1843, William Rowan Hamilton (inventeur du terme vector) découvre les quaternions. En 1844, Hermann Grassmann publie un livre Die lineare Ausdehnungslehre.

Le début du XXe siècle voit la naissance de la formalisation moderne des mathématiques. Les espaces vectoriels deviennent alors une structure générale omni-présente dans presque tous les domaines mathématiques.

Intérêt

Sous leur forme la plus simple les espaces vectoriels représentent intuitivement les déplacements dans les espaces géométriques élémentaires comme la droite, le plan ou notre espace physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la...). Les bases de cette théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) remplacent maintenant la représentation construite par Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης...) au IIIe siècle av. J.-C.. La construction moderne permet de généraliser la notion d'espace à des dimensions quelconques.

L'algèbre linéaire permet de résoudre tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) d'équations dites linéaires utilisées non seulement en mathématiques ou en mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes...), mais dans de nombreuses autres branches comme les sciences naturelles ou les sciences sociales.

Les espaces vectoriels forment aussi un outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son...) fondamental pour les sciences de l'ingénieur (« Le métier de base de l'ingénieur consiste à résoudre des problèmes de nature...) et servent (Servent est la contraction du mot serveur et client.) de base à de nombreux domaines dans la recherche opérationnelle (La recherche opérationnelle (aussi appelée aide à la décision) peut être...).

Cette branche fournit aussi un support théorique important en informatique (L´informatique - contraction d´information et automatique - est le domaine...), que ce soit matériel avec des calculateurs ou des processeurs vectoriels ou logiciel (En informatique, un logiciel est un ensemble d'informations relatives à des traitements...). Un langage informatique (On appelle langage informatique un langage formel utilisé lors de la conception, la mise en...) sorti dès 1969 adoptait des notations généralisées de l'algèbre linéaire : le langage APL.

Enfin, c'est un outil utilisé en mathématiques pour résoudre des problèmes aussi divers que la théorie des groupes, des anneaux ou des corps, l'analyse fonctionnelle (En mathématiques, le terme fonctionnelle se réfère à certaines fonctions....), la géométrie différentielle (En mathématiques, la géométrie différentielle est l'application des outils du calcul...) ou la théorie des nombres (Traditionnellement, la théorie des nombres est une branche des mathématiques qui s'occupe...).

Présentation élémentaire

L'algèbre linéaire commence par l'étude de vecteurs dans les espaces cartésiens de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce...) 2 et 3. Un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet...), ici, est un segment de droite caractérisé à la fois par sa longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus...) (ou norme), sa direction et son sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...). Les vecteurs peuvent alors être utilisés pour représenter certaines entités physiques comme des déplacements, additionnés ou multipliés par des scalaires (nombres), formant (Dans l'intonation, les changements de fréquence fondamentale sont perçus comme des variations de...) ainsi le premier exemple concret d'espace vectoriel.

L'algèbre linéaire moderne a été étendue pour considérer les espaces de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une...) arbitraire ou infinie. Un espace vectoriel de dimension n est appelé un n-espace. La plupart des résultats obtenus dans les 2-espaces et 3-espaces peuvent être étendus aux espaces de dimensions supérieures. Bien que beaucoup de personnes ne peuvent appréhender correctement un vecteur dans un n-espace, ils sont utiles pour représenter des données (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent...). Les vecteurs étant des listes ordonnées à n composantes, on peut manipuler ces données efficacement dans cet environnement (L'environnement est tout ce qui nous entoure. C'est l'ensemble des éléments naturels et...). Par exemple en économie, on peut créer et utiliser des vecteurs à huit dimensions pour représenter le produit national brut de huit pays (Pays vient du latin pagus qui désignait une subdivision territoriale et tribale d'étendue...).

Quelques théorèmes

  • Tout espace vectoriel de dimension finie possède une base.
  • Tout espace vectoriel A possède un espace dual (L'espace dual d'un espace vectoriel E est l'ensemble des formes linéaires sur E. La structure d'un...) A*; si A est de dimension finie, A* est de même dimension.

D'autres théorèmes concernent les conditions d'inversion de matrices de divers types :

  • matrice diagonale (En algèbre linéaire, une matrice diagonale est une matrice carrée dont les coefficients en...)
  • bande
  • matrice triangulaire (En algèbre linéaire, les matrices triangulaires sont des matrices carrées dont une partie...)
  • à diagonale (On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non...) dominante (très utilisées en analyse numérique)

Un théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) intéressant à l'époque des mémoires d'ordinateurs de petite taille était qu'on pouvait travailler séparément sur des sous-ensembles (" blocs ") d'une matrice en les combinant ensuite par les mêmes règles qu'on utilise pour combiner des scalaires dans les matrices. Avec les mémoires actuelles de plusieurs Go, cette question a perdu un peu de son intérêt pratique, mais reste très prisée en théorie des nombres, pour la décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils...) en produit de facteurs premiers avec le crible général de corps de nombres (GNFS) (méthode Lanczos par blocs).

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