Inégalité de Cauchy-Schwarz
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En mathématiques, l'inégalité de Cauchy-Schwarz, aussi appelée inégalité de Schwarz, ou encore inégalité de Cauchy-Bunyakovski-Schwarz, se rencontre dans de nombreux domaines tels que l'algèbre linéaire avec les vecteurs, l'analyse avec les séries et en intégration avec les intégrales de produits.

L'inégalité s'énonce de la façon suivante :

Pour tous x et y éléments d'un espace préhilbertien réel ou complexe
|\langle x,y\rangle|\le\|x\|.\|y\|

Les deux membres sont égaux si et seulement si x et y sont linéairement dépendants.

Conséquences

Une conséquence de l'inégalité de Cauchy-Schwarz (En mathématiques, l'inégalité de Cauchy-Schwarz, aussi appelée inégalité de Schwarz, ou encore inégalité de Cauchy-Bunyakovski-Schwarz, se rencontre dans de nombreux domaines tels que l'algèbre linéaire avec les vecteurs, l'analyse...) est que le produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois définissant la structure d'espace vectoriel. À deux vecteurs elle associe leur produit, qui est un nombre (ou scalaire)....) est une fonction continue.

Dans le cas de l'espace euclidien (Un espace euclidien, dans la conception actuelle, est un espace vectoriel ou affine réel de dimension finie muni d'un produit scalaire. Dans un tel espace, on peut traiter des questions de...) \quad \mathbb R ^n muni du produit scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les vecteurs, par opposition à un pseudoscalaire, qui est un nombre qui...) canonique, l'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit :

\left|\sum_{i=1}^n x_{i}y_{i}\right|\le\left (\sum_{i=1}^n x_{i}^{2}\right)^{1/2}.\left (\sum_{i=1}^n y_{i}^{2}\right)^{1/2}

Dans le cas des fonctions à valeurs complexes de carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre...) intégrable, l'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit :

\left|\int \overline{f}. g\, \textrm{d}x\right| \leq \left( \int  |f|^2\,\textrm{d}x\right)^{1/2}. \left( \int |g|^2\, \textrm{d}x\right)^{1/2}

Ces deux dernières formulations sont généralisées par l'inégalité de Hölder (En analyse, l’inégalité de Hölder, du nom de Otto Hölder, est une inégalité fondamentale relative aux espaces Lp : soit S un espace mesuré, soient 1 ≤ p, q ≤ ∞ avec 1/p + 1/q = 1, soit f...).

Démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de propositions initiales, en...)

Démontrons le résultat dans le cas d'un préhilbertien complexe.

Inégalité

Pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) couple de vecteurs (x,y), par définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) du produit scalaire hilbertien et de la norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un état habituellement répandu ou moyen considéré le plus souvent comme une règle à suivre. Ce terme...) associée:

\forall t \in \mathbb{R} \quad 0 \leq \|x+t.y\|^2 = \|x\|^2+ t \left(\overline{\langle x,y\rangle} + \langle x,y\rangle\right) + t^2\|y\|^2 \leq \|x\|^2 + 2t\vert\langle x,y\rangle\vert + t^2\|y\|^2

On note que la dernière inégalité a un sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une...) car \overline{\langle x,y\rangle} + \langle x,y\rangle est une quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière de...) réelle (propriété élémentaire de la conjugaison). On l'a majorée par sa valeur absolue (Un nombre réel est constitué de deux parties: un signe + ou - et une valeur absolue.) (module) et on lui a appliqué l'inégalité triangulaire dans \mathbb{C}.

Ainsi, le polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que...) à coefficients réels P(X)=\|y\|^2 X^2 + 2\vert\langle x,y\rangle\vert X + \|x\|^2 d'inconnue X, est positif sur \mathbb{R} d'après la relation précédente. Il ne peut donc pas avoir deux racines réelles distinctes. Ceci implique que son discriminant (En mathématiques, le discriminant est une notion algébrique. Il est utilisé pour résoudre des équations du second degré. Il se généralise pour des polynômes de degré quelconque et dont les...) est négatif. On obtient:

4|\langle x,y\rangle |^2 - 4\|x\|^2\|y\|^2 \le 0

Ce qui entraîne bien l'inégalité annoncée.

Cas d'égalité

Si les vecteurs x et y sont liés, on peut sans perte de généralité supposer que y=\alpha x \quad (\alpha \in \mathbb{C}). On en déduit immédiatement: \quad |\langle x,y\rangle |=|\alpha|\|x\|^2=|\alpha|\|x\|\|x\|=\|x\|\|y\|

Réciproquement, supposons qu'on ait l'égalité \quad |\langle x,y\rangle |=\|x\|\|y\| Si y=0, les vecteurs sont liés. Si y\not= 0, le polynôme ci-dessus s'écrit :

P=\|y\|^2 X^2 + 2\|x\|\|y\| X + \|x\|^2 = \left(\|y\| X +\|x\|\right)^2

Il admet pour racine réelle double t_0=-\frac{\|x\|}{\|y\|}\in\mathbb{R}, d'où P(t_0) = 0 \geq \|x+t_0 y\|^2\geq 0, puis x + t0y = 0. D'où le résultat.

Cas réel

Dans le cas d'un espace réel la démonstration est analogue. On peut aussi proposer une preuve légèrement différente :

La preuve pour y = 0 est triviale, on considère donc y \neq 0. Pour \lambda \in \mathbb{R} on a :

0 \leq \langle x-\lambda y,x-\lambda y \rangle = \langle x-\lambda y,x \rangle - \lambda \langle x-\lambda y,y \rangle = \langle x,x \rangle -2\lambda \langle x,y \rangle + \lambda^2 \langle y,y \rangle.

Prenons \lambda = \langle x,y \rangle \cdot \|y\|^{-2} de sorte que :

0 \leq \|x\| ^2 - \langle x,y \rangle^2 \cdot \|y\|^{-2},

Ainsi

\langle x,y \rangle^2 \leq \|x\|^2 \|y\|^2.

Puis

\big| \langle x,y \rangle \big| \leq \|x\| \|y\|.

Cette preuve peut facilement être adaptée au cas complexe.

Articles de mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les...) en rapport avec l'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les structures algébriques.) bilinéaire (Soit E, F et G trois espaces vectoriels sur un corps . Soit une application, on dit que est bilinéaire si et seulement si elle est linéaire en chacune de ses variables, c'est-à-dire: : )
Espace euclidien | Forme bilinéaire | Forme quadratique (En mathématiques, une forme quadratique est un polynôme homogène de degré deux avec un nombre quelconque de variables. Par exemple, la distance comprise entre deux points dans un espace euclidien à trois dimensions s'obtient en...) | Forme sesquilinéaire | Orthogonalité | Base orthonormale (Soit En un espace vectoriel euclidien de dimension n, où n est un entier naturel non nul, et , une base de En.) | Projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la surface plane d'une carte.) orthogonale | Inégalité de Cauchy-Schwarz | Inégalité de Minkowski | Matrice définie positive (En algèbre linéaire, la notion de matrice définie positive est analogue à celle de nombre réel strictement positif.) | Matrice semi-définie positive | Décomposition QR (En algèbre linéaire, la décomposition QR (appelée aussi, décomposition QU) d'une matrice A est une décomposition de la forme) | Déterminant de Gram | Hermitien (Plusieurs entités mathématiques sont qualifiées d'hermitiennes en référence au mathématicien Charles Hermite.) | Espace de Hilbert (Un espace de Hilbert est un espace de Banach (donc complet) dont la norme découle d'un produit scalaire ou hermitien par la formule . C'est la généralisation en dimension quelconque d'un espace euclidien ou hermitien.) | Base de Hilbert (Une base de Hilbert ou encore base hilbertienne est une généralisation aux espaces de Hilbert de la notion classique de base orthonormée en algèbre linéaire, pour les espaces...) | Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un...) spectral | Théorème de Stampacchia | Théorème de Riesz (Au sein de la théorie des espaces vectoriels normés, le théorème de Riesz établit un lien entre la notion de compacité et celle de dimension.) | Théorème de Lax-Milgram | Théorème de représentation de Riesz
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