Inégalité de Cauchy-Schwarz - Définition et Explications

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En mathématiques, l'inégalité de Cauchy-Schwarz, aussi appelée inégalité de Schwarz, ou encore inégalité de Cauchy-Bunyakovski-Schwarz, se rencontre dans de nombreux domaines tels que l'algèbre linéaire avec les vecteurs, l'analyse avec les séries et en intégration avec les intégrales de produits.

L'inégalité s'énonce de la façon suivante :

Pour tous x et y éléments d'un espace préhilbertien (En mathématiques, un espace préhilbertien est défini comme un espace vectoriel...) réel ou complexe
|\langle x,y\rangle|\le\|x\|.\|y\|

Les deux membres sont égaux si et seulement si x et y sont linéairement dépendants.

Conséquences

Une conséquence de l'inégalité de Cauchy-Schwarz (En mathématiques, l'inégalité de Cauchy-Schwarz, aussi appelée...) est que le produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique...) est une fonction continue.

Dans le cas de l'espace euclidien (En mathématiques, un espace euclidien est un objet algébrique permettant de...) \quad \mathbb R ^n muni du produit scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les...) canonique, l'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit :

\left|\sum_{i=1}^n x_{i}y_{i}\right|\le\left (\sum_{i=1}^n x_{i}^{2}\right)^{1/2}.\left (\sum_{i=1}^n y_{i}^{2}\right)^{1/2}

Dans le cas des fonctions à valeurs complexes de carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses...) intégrable, l'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit :

\left|\int \overline{f}. g\, \textrm{d}x\right| \leq \left( \int  |f|^2\,\textrm{d}x\right)^{1/2}. \left( \int |g|^2\, \textrm{d}x\right)^{1/2}

Ces deux dernières formulations sont généralisées par l'inégalité de Hölder (En analyse, l’inégalité de Hölder, du nom de Otto Hölder, est une inégalité...).

Démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir...)

Démontrons le résultat dans le cas d'un préhilbertien complexe.

Inégalité

Pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) couple de vecteurs (x,y), par définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) du produit scalaire hilbertien et de la norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un...) associée:

\forall t \in \mathbb{R} \quad 0 \leq \|x+t.y\|^2 = \|x\|^2+ t \left(\overline{\langle x,y\rangle} + \langle x,y\rangle\right) + t^2\|y\|^2 \leq \|x\|^2 + 2t\vert\langle x,y\rangle\vert + t^2\|y\|^2

On note que la dernière inégalité a un sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...) car \overline{\langle x,y\rangle} + \langle x,y\rangle est une quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire,...) réelle (propriété élémentaire de la conjugaison). On l'a majorée par sa valeur absolue (Un nombre réel est constitué de deux parties: un signe + ou - et une valeur absolue.) (module) et on lui a appliqué l'inégalité triangulaire dans \mathbb{C}.

Ainsi, le polynôme (Un polynôme, en mathématiques, est la combinaison linéaire des produits de...) à coefficients réels P(X)=\|y\|^2 X^2 + 2\vert\langle x,y\rangle\vert X + \|x\|^2 d'inconnue X, est positif sur \mathbb{R} d'après la relation précédente. Il ne peut donc pas avoir deux racines réelles distinctes. Ceci implique que son discriminant (En mathématiques, le discriminant est une notion algébrique. Il est utilisé pour...) est négatif. On obtient:

4|\langle x,y\rangle |^2 - 4\|x\|^2\|y\|^2 \le 0

Ce qui entraîne bien l'inégalité annoncée.

Cas d'égalité

Si les vecteurs x et y sont liés, on peut sans perte de généralité supposer que y=\alpha x \quad (\alpha \in \mathbb{C}). On en déduit immédiatement: \quad |\langle x,y\rangle |=|\alpha|\|x\|^2=|\alpha|\|x\|\|x\|=\|x\|\|y\|

Réciproquement, supposons qu'on ait l'égalité \quad |\langle x,y\rangle |=\|x\|\|y\| Si y=0, les vecteurs sont liés. Si y\not= 0, le polynôme ci-dessus s'écrit :

P=\|y\|^2 X^2 + 2\|x\|\|y\| X + \|x\|^2 = \left(\|y\| X +\|x\|\right)^2

Il admet pour racine réelle double t_0=-\frac{\|x\|}{\|y\|}\in\mathbb{R}, d'où P(t_0) = 0 \geq \|x+t_0 y\|^2\geq 0, puis x + t0y = 0. D'où le résultat.

Cas réel

Dans le cas d'un espace réel la démonstration est analogue. On peut aussi proposer une preuve légèrement différente :

La preuve pour y = 0 est triviale, on considère donc y \neq 0. Pour \lambda \in \mathbb{R} on a :

0 \leq \langle x-\lambda y,x-\lambda y \rangle = \langle x-\lambda y,x \rangle - \lambda \langle x-\lambda y,y \rangle = \langle x,x \rangle -2\lambda \langle x,y \rangle + \lambda^2 \langle y,y \rangle.

Prenons \lambda = \langle x,y \rangle \cdot \|y\|^{-2} de sorte que :

0 \leq \|x\| ^2 - \langle x,y \rangle^2 \cdot \|y\|^{-2},

Ainsi

\langle x,y \rangle^2 \leq \|x\|^2 \|y\|^2.

Puis

\big| \langle x,y \rangle \big| \leq \|x\| \|y\|.

Cette preuve peut facilement être adaptée au cas complexe.

Articles de mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...) en rapport avec l'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche...) bilinéaire (Soit E, F et G trois espaces vectoriels sur un corps . Soit une application, on dit que est...)
Espace euclidien | Forme bilinéaire (En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, une forme...) | Forme quadratique (En mathématiques, une forme quadratique est un polynôme homogène de degré deux...) | Forme sesquilinéaire | Orthogonalité (En mathématiques, l'orthogonalité est un concept d'algèbre linéaire...) | Base orthonormale (Soit En un espace vectoriel euclidien de dimension n, où n est un entier naturel non nul, et , une...) | Projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de...) orthogonale | Inégalité de Cauchy-Schwarz | Inégalité de Minkowski | Matrice définie positive (En algèbre linéaire, la notion de matrice définie positive est analogue à celle...) | Matrice semi-définie positive | Décomposition QR (En algèbre linéaire, la décomposition QR (appelée aussi, décomposition QU) d'une matrice A est...) | Déterminant de Gram | Hermitien (Plusieurs entités mathématiques sont qualifiées d'hermitiennes en référence au mathématicien...) | Espace de Hilbert (Un espace de Hilbert est un espace de Banach (donc complet) dont la norme découle d'un produit...) | Base de Hilbert (Une base de Hilbert ou encore base hilbertienne est une généralisation aux espaces de Hilbert de...) | Théorème spectral (En mathématiques, une quadrique désigne une surface d’un espace euclidien. Elle...) | Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) de Stampacchia | Théorème de Riesz (Au sein de la théorie des espaces vectoriels normés, le théorème de Riesz établit un lien...) | Théorème de Lax-Milgram | Théorème de représentation de Riesz
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