Nombre complexe (mathématiques élémentaires)
Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.
image:icone_math_élém.jpg
Cet article fait partie de la série
Mathématiques élémentaires
Algèbre
Analyse
Arithmétique
Géométrie
Logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois raison, langage, et raisonnement) est dans une première...)
Probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des probabilités est un sujet de grande importance donnant lieu...)
Statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon. D'une façon générale, c'est le résultat de l'application d'une...)

Un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) complexe peut être vu :

  • comme un nombre, extension des nombres réels grâce à l'adjonction d'un terme noté " i " et tel que :
i 2 = -1 ;
  • comme un point ou un vecteur du plan, ou plus exactement comme le couple de leurs coordonnées (ou affixe) dans un repère donné;
  • ou comme une application linéaire particulière du plan, appelée similitude, ou plus exactement sa matrice dans une base donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.).

On note \mathbb{C} l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut...) des nombres complexes.

Présentation des nombres complexes

Les nombres complexes, notés habituellement z,, peuvent ainsi être présentés de plusieurs manières :

  • forme algébrique : z = x + iy \,
  • forme vectorielle cartésienne : z = ( x , y ) \,
  • forme vectorielle polaire : z = ( \rho , \theta ) = \rho_\angle \theta \,
  • forme trigonométrique : z = \rho . ( cos \theta + i . sin \theta ) \,
  • forme géométrique : z = \rho.e^{i\theta} \,
  • forme matricielle : Z = \begin{bmatrix} x & -y \\ y & x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \rho & 0 \\ 0 & \rho \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} cos \theta & - sin \theta \\ sin \theta & cos \theta \end{bmatrix} \,

Présentation algébrique z = x + iy \,

Introduction

Les nombres négatifs peuvent être introduits comme solution de soustractions "impossibles" ( " 3 - 5 " par exemple ), et les fractions comme solutions de partages tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) aussi "impossibles" ( 2 tartes à répartir entre 6 personnes par exemple ); de même, les nombres complexes peuvent être introduits comme solutions de la recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Par extension métonymique, la...) de racines carrées "impossibles", par exemple celles d'un nombre négatif.

Le cas le plus simple est celui des nombres dont le carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un carré...) est -1, qui vérifient donc :   x 2 = -1  , c'est-à-dire   x 2 + 1 = 0 .

Il n'existe pas de nombre réel solution de cette équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à...). Mais on peut imaginer quand même une solution, que l'on note " i " comme i...maginaire. Il faut remarquer que si  i  est solution de l'équation précédente,  - i  l'est aussi : ( - i ) 2 = ( -1 × i ) 2 = ( -1 ) 2 × ( i ) 2 = 1 × -1 = -1 .

Un nombre complexe z est alors la somme d'un nombre réel  x  ( partie réelle de z ) et du produit de  i  par un autre nombre réel  y  ( partie imaginaire de z ), et se note " x + i y " (notation algébrique).

Règles de calcul

On reprend les règles de calcul avec des nombres réels, avec la règle supplémentaire : i^2 = -1 \, .

Si   z = x + iy \,   et   z' = x' + iy' \,,   il est ainsi possible de généraliser l'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de...) et la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) des nombres réels par :

z + z' = ( x + iy ) + ( x' + iy' ) = ( x + x' ) + i.( y + y' ) \,

et

z \times z' = ( x + iy ) \times ( x' + iy' ) = ( xx' - yy' ) + i.( xy' + x'y ) \,

\mathbb{C} muni de l'addition et de la multiplication définis ci-dessus forme un corps commutatif, le corps des nombres complexes.

Présentation vectorielle cartésienne z = ( x , y ) \,

Il est possible d'identifier le couple ( x, y ) des coordonnées cartésiennes d'un point M du plan ou du vecteur .^{\overrightarrow{._{OM}}} \,   au nombre complexe x + i y appelé alors affixe du point M ou du vecteur .^{\overrightarrow{._{OM}}}  \,, et noté " ( x, y ) " (notation vectorielle cartésienne).

L'affixe de la somme de deux vecteurs est alors la somme des affixes de ces deux vecteurs. l'affixe de la multiplication d'un vecteur par un scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les vecteurs, par opposition à un pseudoscalaire, qui est un...) (réel) est alors le produit de l'affixe de ce vecteur par le scalaire.

En fait, il existe un isomorphisme canonique entre \mathbb{C} muni de l'addition et de la multiplication par un scalaire réel et le plan vectoriel réel.

( \mathbb{C}, +, . ) est donc un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur, voir l'article Vecteur.) de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa...) deux sur \mathbb{R}. Cela permet de représenter \mathbb{C} par un plan muni de deux axes : l'axe  \mathbb{R} des nombres réels et l'axe  i\mathbb{R} des nombres imaginaires purs.

Il est possible d'étendre la multiplication par un scalaire au produit de deux affixes. Nous verrons plus loin quel sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du...) concret donner à ce produit.

Bref, si   z = ( x , y ) \,   et   z' = ( x' , y' ) \,,   nous avons :

z + z' = ( x , y ) + ( x' , y' ) = ( x + x' , y + y' ) \,

et :   z.z' = ( x , y ).( x' , y' ) = ( xx' - yy' , xy' + x'y ) \,

Nous pouvons remarquer que ( 0, 1 ).( 0, 1 ) = ( -1, 0 ) = -1.   En fait, ( 0, 1 ) = i.

Présentation vectorielle polaire z = ( \rho , \theta ) = \rho_\angle \theta  \,

Introduction

Il existe d'autres systèmes de coordonnées que les coordonnées cartésiennes. Par exemple, dans le plan, nous avons aussi les coordonnées polaires (Les systèmes de coordonnées polaires dans et sont des systèmes de coordonnées particulièrement adaptées pour l'écriture des rotations ou des homothéties.) ( ρ, θ ), où ρ est un nombre réel positif et θ un nombre réel compris entre 0 et 2π. ρ indique la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa...) du vecteur .^{\overrightarrow{._{OM}}} \,  , c'est-à-dire la distance du point M à l'origine O du repère, tandis que θ indique dans quelle direction se trouve le point M, c'est-à-dire donne la direction et le sens du vecteur, ou encore l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) qu'il fait par rapport à une direction de référence, habituellement l'horizontale vers la droite, ou l'Est sur une carte de géographie (La géographie (du grec ancien γεωγραφία - geographia, composé de "η γη" (hê gê) la Terre et...).

Le nombre complexe z se note alors " ( ρ, θ ) " (notation vectorielle polaire). Pour éviter toute confusion avec la présentation vectorielle cartésienne, on peut cependant lui préférer la notation " ρ \angle θ ".

Règles de calcul

Pour trouver le lien entre coordonnées cartésiennes et polaires, il suffit de tracer le triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de « triangle » est...) rectangle (En géométrie, un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont des angles droits.) dont OM est l'hypothènuse et les deux autres côtés sont parallèles aux axes du repère. Ces deux côtés ont justement pour longueur les coordonnées cartésiennes de M, d'où (théorème de Pythagore) :

\rho^2 = x^2 + y^2 \,

D'autre part, comme θ est justement l'angle entre OM et le côté horizontal (Horizontal est une orientation parallèle à l'horizon, et perpendiculaire à la verticale. Une ligne horizontale va « de la gauche vers la droite » ou vice versa.) (définition trigonométrique des fonctions sinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes périodiques. Elles peuvent être définies comme rapports de deux...) et cosinus) :

cos \theta = x / \rho \,   et   sin \theta = y / \rho \,
On obtient ainsi les formules de passage :
  • de la forme algébrique à la forme trigonométrique :
\rho = \sqrt{ x^2 + y^2 } \,
\theta = Arctg( y / x ) \,
  • et de la forme trigonométrique à la forme algébrique :
x = \rho.cos \theta \,
y = \rho.sin \theta \,

Donc, si   z = \rho_\angle \theta \,   et   z' = \rho'_\angle \theta' \,,   nous avons :

z + z' = \rho_\angle ( \theta ) + \rho'_\angle ( \theta' ) \,
= \sqrt{ ( \rho + \rho' )^2 - 2 \rho \rho' ( 1 - cos( \theta' - \theta )) }_\angle ( Arctg( \phi ) ) \,
avec :\phi = ( \rho.sin \theta + \rho'.sin \theta' ) / ( \rho.cos \theta + \rho'.cos \theta' ) \,
et
z.z' = \rho_\angle ( \theta ) . \rho'_\angle ( \theta' ) = \rho.\rho'_\angle ( \theta + \theta' [ 2\pi ] ) \,

Au vu de la complexité (La complexité est une notion utilisée en philosophie, épistémologie (par exemple par Anthony Wilden ou Edgar Morin), en physique, en biologie (par exemple par Henri Atlan), en...) de la formule d'addition ci-dessus, on comprend pourquoi les additions se font exclusivement en coordonnées cartésiennes ! Par contre, les multiplications sont plus simples en coordonnées polaires. Il faut donc savoir passer (Le genre Passer a été créé par le zoologiste français Mathurin Jacques Brisson (1723-1806) en 1760.) facilement d'une forme à l'autre suivant les circonstances, d'où l'importance des formules de passage précédentes.

Présentation trigonométrique z = \rho . ( cos \theta + i . sin \theta ) \,

Si nous appliquons la formule de passage à la forme algébrique, nous obtenons la présentation trigonométrique :

z = x + iy = \rho.cos \theta + i\rho.sin \theta = \rho.( cos \theta + i.sin \theta ) \,

Il est possible de montrer par récurrence sur n et en utilisant les formules d'addition des sinus et des cosinus :

sin( \alpha + \beta ) = sin \alpha . cos \beta + sin \beta . cos \alpha \,
cos( \alpha + \beta ) = cos \alpha . cos \beta - sin \alpha . sin \beta \,

que :

( cos \theta + i.sin \theta )^n = cos ( n \theta ) + i.sin ( n \theta ) \,   (formule de " de Moivre - Laplace ")

Présentation géométrique z = \rho.e^{i\theta} \,

Introduction

Les fonctions sinus et cosinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes périodiques. Elles peuvent être définies comme rapports de...) sont des fonctions périodiques de même période 2π. Par conséquent, si on définit la fonction F de θ par :

F( \theta ) = cos \theta + i.sin \theta \,

F est une fonction périodique de θ, de période 2π.

La formule de de Moivre (La formule de De Moivre (en référence à Abraham de Moivre) ou formule de Moivre (voir l'article Particule (onomastique) pour une explication sur le « de ») dit que pour tout nombre réel x et pour tout nombre entier n :) - Laplace exprimée en fonction de F donne :

F^n ( \theta ) = F ( \theta^n ) \,

F est donc une puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) en θ, c'est-à-dire de forme Kθ, où K reste à déterminer.

Calculons la dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une dérivée est une expression (numérique...) de F. D'une part :

F'( \theta) = cos' \theta + i.sin' \theta = -sin \theta + i.cos \theta = i.( cos \theta + i.sin \theta ) = i.F( \theta ) \,

et d'autre part :

F'( \theta ) = ( K^{\theta} )' = ( e^{ Ln( K^{\theta} ) } )' = ( e^{ \theta.Ln( K ) } )' = e^{ \theta.Ln( K ) }.( \theta.Ln( K ) )' \,
ou :F'( \theta ) = K^{\theta}.Ln( K ) = Ln( K ).F( \theta ) \,

D'où, en rapprochant les deux expressions obtenues pour la dérivée de F :

Ln( K ) = i \,.

Si on veut être rigoureux, le logarithme (En mathématiques, une fonction logarithme est une fonction définie sur à valeurs dans , continue et transformant un produit en somme. Le...) n'est défini que pour des nombres réels. On peut étendre cette définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) aux nombres complexes, mais des précautions (trop compliquées pour être détaillées ici) doivent être prises. C'est pourquoi ce qui suit n'est pas une démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de propositions...), mais seulement une justification de l'égalité à laquelle on va aboutir.

La fonction e x , où e désigne la base des logarithmes népériens et vaut environ 2,71828..., est la fonction réciproque (La réciproque est une relation d'implication.) du logarithme népérien Ln( x ), d'où, formellement :

K = e^i \,.

et :

F( \theta ) = K^{\theta} = ( e^{i} )^{\theta} = e^{i\theta} \,

On en déduit que :

cos \theta + i.sin \theta  = e^{i\theta} \,

Dans ces conditions : z = \rho.e^{i\theta} \, (notation géométrique), où ρ est le module de z et θ son argument.

Règles de calcul

Donc, si   z = \rho.e^{i\theta} \,   et   z' = \rho'.e^{i\theta'} \,,   nous avons :

z + z' = \rho.e^{i\theta} + \rho'.e^{i\theta'} \,
= \sqrt{ ( \rho + \rho' )^2 - 2 \rho \rho' ( 1 - cos( \theta' - \theta )) }.e^{ i.Arctg( \phi ) } \,
avec :\phi = ( \rho.sin \theta + \rho'.sin \theta' ) / ( \rho.cos \theta + \rho'.cos \theta' ) \,
et
z.z' = \rho.e^{i\theta}.\rho'.e^{i\theta'} = \rho.\rho'.e^{ i.( \theta + \theta' [ 2\pi ] ) } \,

Là encore, on constate qu'il vaut mieux utiliser la notation algébrique pour les additions et la notation géométrique pour les multiplications.

Présentation matricielle Z = \begin{bmatrix} x & -y \\ y & x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \rho & 0 \\ 0 & \rho \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} cos \theta & - sin \theta \\ sin \theta & cos \theta \end{bmatrix} \,

Nous avons vu que le produit de deux nombres complexes pouvait se mettre par exemple sous la forme

z.z' = \rho_\angle ( \theta ) . \rho'_\angle ( \theta' ) = \rho.\rho'_\angle ( \theta + \theta' [ 2\pi ] ) \,

Mais quel sens concret, par exemple géométrique, peut-on donner à cette formule ?

Considérons  z'   comme un vecteur. Le multiplier par un nombre réel ρ revient à lui appliquer une homothétie (Une homothétie est une transformation géométrique, c'est-à-dire une règle qui associe à chaque point d’un espace un point de ce même espace. On...) vectorielle de rapport ρ. La matrice d'une telle homothétie est de la forme :

\begin{bmatrix} \rho & 0 \\ 0 & \rho \end{bmatrix} = \rho.\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \rho I \,

I est la matrice de l'application Identité (En mathématiques, sur un ensemble X donné, la fonction identité est la fonction, notée id qui à tout élément x de X associe lui-même :) (ou matrice d'une rotation d'angle nul).

Multiplier z' par un nombre complexe de module unité et d'argument θ a pour effet de changer son argument sans changer son module. Cela revient à lui appliquer une rotation vectorielle d'angle θ. La matrice d'une telle rotation est de la forme :

\begin{bmatrix} cos \theta & - sin \theta \\ sin \theta & cos \theta \end{bmatrix} = cos \theta \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + sin \theta \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = cos \theta I + sin \theta J  \,

J est la matrice de la rotation d'un quart de tour.

L'addition des matrices (L'addition des matrices est définie pour deux matrices de même type. La somme de deux matrices de type (m, n), A = (aij) et B = (bij), notée A + B, est à nouveau une matrice (cij) de type (m, n) obtenue en...) carrées d'ordre deux correspond à celle des applications linéaires planes, et la multiplication des mêmes matrices à la composition des mêmes applications.

Par conséquent, multiplier un nombre complexe  z'   par un autre nombre complexe  z  de module  ρ  et d'argument  θ  revient à lui appliquer la composée d'une homothétie vectorielle de rapport ρ et d'une rotation vectorielle d'angle θ, c'est-à-dire d'une similitude vectorielle d'angle θ et de rapport ρ. La matrice d'une telle similitude est de la forme :

\rho I . ( cos \theta I + sin \theta J ) = \rho cos \theta I + \rho sin \theta J = x I + y J = \begin{bmatrix} x & -y \\ y & x \end{bmatrix} \,

Dans le plan, une rotation d'un demi-tour équivaut à une symétrie centrale, qui change les coordonnées en leur opposées. La matrice associée est donc  - I.   On vérifie que :

- la composée de deux rotations d'un demi-tour est une rotation d'un tour entier, ce qui revient à ne pas tourner, c'est-à-dire à une rotation d'angle nul. En d'autres termes :  - I 2 = I
- la composée de deux rotations d'un quart de tour donne un demi-tour, ou en d'autres termes :  J 2 = - I.

On peut ainsi identifier  I  à 1 et  J  à  i. En sens inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que x·y = y·x = 1, si 1 désigne...), nous pouvons considérer :

  • i  comme une rotation d'un quart de tour,
  • -1   comme une rotation d'un demi-tour,
  • et 1   comme une rotation d'angle nul.

Les réels positifs sont alors les homothéties dont ils sont le rapport. Plus généralement, le nombre complexe ρ.eiθ représente la similitude d'angle θ et de rapport ρ, c'est-à-dire la composée de la rotation d'angle θ et de l'homothétie de rapport ρ.

Si on applique la similitude correspondant à Z à un vecteur d'affixe z, l'affixe du vecteur résultant est tout simplement le produit   Z . z ..

Equations polynômiales dans \mathbb{C}

Dans tout ce qui suit, on suppose que le coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par exemple, les coefficients d'un polynôme), un espace vectoriel, une...) du terme de plus haut degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) est toujours non nul.

Equation monômiales

Equations de la forme :

a z^n = 0 \,

0 racine évidente de multiplicité n, sauf si n = 0. Dans ce cas, l'équation n'a pas de solution.

Equations binômiales

Equations de la forme :

a z^n + b = 0 \,

Si b = 0, l'équation est monômiale. Sinon, se met sous la forme dite réduite :

zn = − b / a = Z

résolution en mettant les nombres sous forme géométrique et en séparant modules et arguments.

Équations à trois monômes ou plus

Il n'existe pas de méthode algébrique générale de résolution de ces équations. (On peut s'amuser à faire le parallèle avec le problème des trois corps...) Néanmoins, il existe des méthodes quand le degré de l'équation est assez faible (inférieur à 5) ou que celle-ci présente certaines régularités (c'est Évariste Galois qui a déterminé la méthode générale indiquant si une équation donnée est soluble algébriquement ("par radicaux") ou non).

Equations du second degré

Equations de la forme :

a z^2 + b z + c = 0 \,
  • δ = b2 − 4ac = ω2

avec ω = α + iβ

  • alors (α + iβ)2 = α2 − β2 + 2iαβ = b2 − 4ac
  • par identification α2 − β2 = Re(δ)
  • et 2αβ = Im(δ)
  • et leurs modules sont égaux α2 + β2 = | δ |
  • et de ces 3 équations on peut déduire α et β

Equations du troisième degré

Equations de la forme :

a z^3 + b z^2 + c z + d = 0 \,

Equations du quatrième degré

Equations de la forme :

a z^4 + b z^3 + c z^2 + d z + e = 0 \,

Equations polyalgébriques

C'est la généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les détails de façon à ce qu'ils puissent être considérés de...) des équations bicarrées. Ce sont des équations polynômiales dont les monômes sont d'ordre kp + m, avec p et m donnés et k < 5. On résout ces équations en divisant les deux membres par z m ( 0 racine évidente de multiplicité m), puis en opérant le changement de variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une...) Z = z p . On obtient une équation en Z de degré inférieur ou égal à 4, que l'on sait résoudre.

les racines n-ième

Exemple :

zn = 1
1 = e2ikπ + 2kπ
Donc z_k=e^{\frac{2ik\pi}{n}+\frac{2k\pi}{n}} avec k = {0,1,2,3,...,n − 1}

Page générée en 0.265 seconde(s) - site hébergé chez Amen
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
Ce site est édité par Techno-Science.net - A propos - Informations légales
Partenaire: HD-Numérique