Exponentielle d'une matrice - Définition

Introduction

En mathématiques, l'exponentielle d'une matrice est une fonction d'une matrice carrée semblable à l'exponentielle. De façon abstraite, elle fait le pont entre l'algèbre de Lie sur une matrice et le groupe de Lie qui lui correspond.

Définition

Pour n=1, on retombe sur la définition de l'exponentielle classique.

Calculs de l'exponentielle d'une matrice

Le calcul d'une exponentielle de matrice n'est pas a priori un problème facile. Cependant, dans certains cas, et notamment ceux d'une matrice diagonale et d'une matrice nilpotente, il ne présente aucune difficulté. Une fois cette remarque faite, le cas général peut se traiter en se ramenant aux deux cas précédents.

Matrice diagonale

Si A est une matrice diagonale, c'est-à-dire :

alors son exponentielle est obtenue en calculant l'exponentielle de chacun des termes de la diagonale principale :

Cette propriété permet de calculer simplement l'exponentielle des matrices diagonalisables. Si A = UDU⁻¹, avecD est diagonale, alors e^A = Ue^DU⁻¹.

Matrice nilpotente

Une matrice N est nilpotente si N^q = 0 pour un entier q. Dans ce cas, l'exponentielle d'une matrice e^N se calcule directement à partir de son développement en série, puisque celui-ci ne comporte alors qu'un nombre fini de termes :

Généralisation

Lorsque le polynôme minimal d'une matrice X est scindé, X peut s'exprimer sous la forme

où

• A est diagonalisable
• N est nilpotente
• A commute avec N.

C'est la décomposition de Dunford.

Dès lors, le calcul de l'exponentielle de X se réduit aux deux cas précédents :

e^X = e^{A + N} = e^Ae^N

Dans le cas complexe, on peut aussi faire appel à la réduction de Jordan.

Soit J la forme de Jordan de X, et P la matrice de passage. Alors,

e^X = Pe^JP ^{− 1}

Puisque

En conséquence, il faut seulement connaître la méthode pour calculer l'exponentielle d'un bloc de Jordan. Chacun est de la forme

où N est la matrice nilpotente spéciale. L'exponentielle du bloc est donné par

Exemple de calculs

Soit la matrice

qui a la forme de Jordan

et la matrice de transition

Maintenant,

et

eB	= PeJP − 1

Alors,

L'exponentielle de la matrice 1×1 est triviale, avec e^J₁(4)=e⁴, d'où

Propriétés

Soient X et Y deux matrices n×n complexes et soient a et b deux nombres complexes. La matrice identité est dénotée I, et la matrice nulle, 0. L'exponentielle d'une matrice possède les propriétés suivantes :

• e⁰ = I
• e^aXe^bX = e^{(a + b)X}
• e^Xe ^{− X} = I
• Si XY = YX, alors e^Xe^Y = e^{X + Y}
• Si Y est une matrice inversible, alors .
• 
• exp(X^T) = (e^X)^T, où X^T désigne la transposée de X. Il s'ensuit que si X est une matrice symétrique, alors e^X est aussi symétrique, et que si X est une matrice antisymétrique, alors e^X est une matrice orthogonale.
• exp(X^*) = (e^X)^*, où X^* signifie le conjugué de la matrice transposée de X. Il en résulte que si X est une matrice hermitienne, alors e^X est aussi hermitienne, et que si X est une matrice antihermitienne (c'est-à-dire opposée au conjugué de sa transposée), alors e^X est une matrice unitaire.

Équations différentielles linéaires

Une des premières applications de l'exponentielle de matrices est la résolution des équations différentielles ordinaires. En effet, de l'équation (1) ci-dessous, on déduit que la solution de :

où A est une matrice, est donnée par

L'exponentielle d'une matrice peut aussi servir à résoudre les équations non-homogènes :

Voir la pour un exemple.

Il n'existe pas de solution explicite pour les équations différentielles de la forme :

où A n'est pas constant, mais la série de Magnus donne la solution en tant que somme infinie.

L'exponentielle d'une somme

On sait que l'identité e^{x + y} = e^xe^y est valable pour tous nombres complexes x et y. On peut en fait montrer qu'elle est également valable pour deux matrices qui commutent. Autrement dit, si les matrices X et Y commutent, alors

e^{X + Y} = e^Xe^Y

Cependant, si ce n'est pas le cas, alors l'égalité n'est pas nécessairement vraie. Dans ce cas, la formule de Baker-Campbell-Hausdorff donne l'expression de e^{X + Y} − e^Xe^Y en fonction du crochet [X,Y] de X et Y, et de tous les crochets itérés. Plus précisément, cette formule donne le logarithme de e^Xe^Y, par une série ne faisant intervenir que X, Y et leurs crochets. Les premiers termes sont les suivants:

L'application exponentielle

L'exponentielle d'une matrice est toujours inversible. L'inverse de e^X est donné par e^−X. Dès lors, cette fonction nous donne une application

de l'ensemble des matrices n×n vers le groupe général linéaire, c'est-à-dire le groupe de toutes les matrices inversibles. On appelle logarithme d'une matrice X toute matrice Y telle que e^Y = X  ; le logarithme de X n'est pas unique en général.

Pour deux matrices X et Y, nous avons

où || · || désigne une norme matricielle arbitraire. Il suit que l'application exponentielle est continue et lipschitzienne sur tout sous-ensemble compact de M_n(C).

La bijection

définit une courbe de classe dans le groupe linéaire qui passe par l'identité en t = 0. Cette courbe est en fait un sous-groupe à un paramètre de puisque

La dérivée de cette courbe au point t est donnée par

La dérivée au point t = 0 est la matrice X, ce qui revient à dire que X génère ce sous-groupe à un paramètre.

Plus généralement,