Géodésique - Définition

Exemples

Mathématiques euclidiennes

Les exemples les plus familiers de géodésiques sont les lignes droites en géométrie euclidienne. Sur une sphère, les géodésiques sont les grands cercles. Le chemin le plus court entre un point A et un point B sur une sphère est donné par la plus petite portion du grand cercle passant par A et B. Si A et B sont aux antipodes (comme le pôle Nord et le pôle Sud), il existe une infinité de plus courts chemins.

Géographie

Un repère géodésique (système géodésique) est une façon de repérer un lieu proche de la surface terrestre (par exemple par la latitude et la longitude). C'est un repère en trois dimensions (un planisphère n'en a que deux) dans un repère euclidien.

Si on assimile la Terre à une sphère, les géodésiques sont des arcs de cercle aussi nommées « arcs de grand cercle », ou « orthodromies ». Ce n'est qu'une approximation de la réalité, la forme de le Terre étant proche de celle d'un ellipsoïde de révolution.

Physique

Représentation de trois types de géodésiques dans un champ de gravitation. La première (en noir) correspond à un corps initialement au repos et qui tombe directement vers la source du champ de gravitation. La seconde (en noir également), circulaire, correspond à un corps en orbite, comme une planète autour du Soleil par exemple. La dernière enfin (en rouge) correspond à un corps venant de loin et dont la trajectoire est déviée par la présence d'un champ de gravité. C'est le cas de la lumière d'une étoile passant à proximité du Soleil, c'est l'effet de lentille gravitationnelle.

En physique, la géodésique est une généralisation de cette application terrestre. Au lieu d'avoir un obstacle matériel à contourner, il s'agit par exemple d'un champ de force modifiant la trajectoire.

Les sondes Voyager ont, par exemple, suivi un itinéraire spatial courbé (comme sur l'image ci-contre), à chaque passage à proximité d'une planète. Leur trajet, que l'on pourrait comparer à une forme de spirale est pourtant le chemin le plus rapide.

La relativité restreinte, en reliant la matière à l'énergie a permis d'appliquer le concept de géodésique à des éléments qui jusque-là semblaient y échapper, comme la lumière.

Cela se concrétise par exemple en astrophysique par le fait que la présence d'une étoile entre une source de lumière et un observateur courbe le trajet optimal que la lumière doit effectuer pour arriver jusqu'à lui.

La relativité générale, en reliant le temps à un espace courbe a, quant à elle, permis de lier la notion d'orbite et celle de géodésique.

L'orbite de la terre autour du soleil est alors son chemin logique, dans l'espace temps, qui résulte du mélange de son élan et de sa chute vers le soleil.

Géodésique périodique

La recherche des géodésiques périodiques a motivé le développement de la géométrie riemannienne. L'une des questions concerne l'estimation asymptotique pour une variété riemannienne compacte (M,g) du nombre de géodésiques périodiques inférieures à une longueur donnée L. Ces géodésiques ne sont autres que les points critiques de la fonctionnelle d'énergie définie sur l'espace des lacets de la variétés (avec par exemple une régularité de Sobolev). Pour une métrique riemannienne générique, une minoration a été obtenue en 1981 en fonction de la topologie globale de l'espace des lacets.

Une croissance exponentielle a été mise en évidence par Katok en 1988 pour les surfaces orientées de genre supérieur à 1. Par ailleurs, il a été démontré en 1993 que, pour toute métrique sur la sphère bidimensionnelle, ce nombre est supérieur à un terme en L / log(L).