Pendule pesant
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Pendule pesant composé
Pendule pesant composé
Pendule pesant simple
Pendule pesant simple

On appelle pendule pesant tout solide mobile autour d'un axe (en principe horizontal) ne passant pas par son centre de gravité (La gravitation est une des quatre interactions fondamentales de la physique.) et placé dans un champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) de pesanteur (Le champ de pesanteur (ou plus couramment pesanteur) est un champ attractif auquel sont soumis tous les corps matériels au voisinage de la Terre : on observe ainsi qu'en un...). Déplacé de sa position d'équilibre (stable) dans laquelle le centre de gravité (Le centre de gravité est le point d'application de la résultante des forces de gravité ou de pesanteur. Il est également le point d'intersection de tous les plans qui...) est à la verticale (La verticale est une droite parallèle à la direction de la pesanteur, donnée notamment par le fil à plomb.) de l'axe, le solide se met à osciller de part et d'autre de cette position dite d'équilibre. Un balancier d'horloge, une balançoire (La balançoire est un loisir pour les enfants, généralement de plein air, qui consiste à se balancer sur une planche accrochée à un portique.), etc, constituent des pendules pesants.

Le cas le plus simple est le pendule (Le mot pendule (nom masculin) nous vient d'Huygens et du latin pendere. Il s'agit donc à l'origine d'un système oscillant sous l'effet de la pesanteur. Parmi les célèbres...) constitué d'un petit objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une étiquette verbale. Il est défini par les relations...) pesant accroché à un fil (ou une tige) de masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un corps : l'une quantifie l'inertie du corps (la masse inerte) et l'autre la...) négligeable devant celle de l'objet. Un tel pendule est appelé pendule pesant (On appelle pendule pesant tout solide mobile autour d'un axe (en principe horizontal) ne passant pas par son centre de gravité et placé dans un champ de pesanteur. Déplacé...) simple.

Le pendule pesant simple a une importance historique du fait que Galilée (Galilée ou Galileo Galilei (né à Pise le 15 février 1564 et mort à Arcetri près de Florence, le 8 janvier 1642) est un physicien et astronome italien du XVIIe siècle,...) l'a étudié de façon détaillée et scientifique (Un scientifique est une personne qui se consacre à l'étude d'une science ou des sciences et qui se consacre à l'étude d'un domaine avec la rigueur et les méthodes scientifiques.).



Étude théorique du modèle du pendule pesant simple

On peut établir l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de...) différentielle du mouvement d'oscillation (Une oscillation est un mouvement ou une fluctuation périodique. Les oscillations sont soit à amplitude constante soit amorties. Elles répondent aux mêmes équations quel que soit le...) simplement à partir de la conservation de l'énergie mécanique (L'énergie mécanique est une quantité utilisée en mécanique classique pour désigner l'énergie d'un système emmagasinée sous forme d'énergie cinétique et d'énergie...). En négligeant les frottements, l'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.) mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de transmission,...) du pendule est constante: elle est la somme de l'énergie cinétique (L'énergie cinétique (aussi appelée dans les anciens écrits vis viva, ou force vive) est l’énergie que possède un corps du fait de son mouvement. L’énergie cinétique d’un corps est égale au...) et de l'énergie potentielle.

Dans le cas du modèle du pendule pesant simple, on considère que l'objet se ramène à une masse ponctuelle m, qui se déplace à la distance l de l'axe (longueur du fil ou de la tige (La tige est chez les plantes à fleurs, l'axe, généralement aérien, qui prolonge la racine et porte les bourgeons et les feuilles. La tige se ramifie...), considérée inextensible et sans masse). On en déduit :

E_t= E_c+E_p= \frac{m\cdot l^2\cdot  (\frac{d \theta}{d t})^2}{2}-m \cdot g \cdot l \cdot cos \theta = -m \cdot g \cdot l \cdot cos \theta_o

où :

  • g est l'accélération (L'accélération désigne couramment une augmentation de la vitesse ; en physique, plus précisément en cinématique, l'accélération est une grandeur...) de la pesanteur, et vaut en moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'auraient...) 9,81 m·s-2 en France.
  • θ est l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) que fait le pendule, à une date t, avec la verticale
  • θ0 est l'angle maximal.

L'énergie mécanique étant constante dans le temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.), sa dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une...) est nulle. En dérivant la relation ci-dessus par rapport au temps on obtient après simplification :

\theta'' + {g \over l}\sin(\theta) = 0

Cette équation est celle d'un oscillateur non harmonique (Dans plusieurs domaines, une harmonique est un élément constitutif d'un phénomène périodique ou vibratoire (par exemple en électricité : les « courants harmoniques », qui sont des perturbations du...), c’est-à-dire non sinusoïdal.

La période T des oscillations dépend de l'amplitude (Dans cette simple équation d’onde :) du mouvement.

Par contre, la période ne dépend pas de la masse.

Expression exacte de la période des oscillations

En séparant les variables dans  :

\frac{m\cdot l^2\cdot  (\frac{d \theta}{d t})^2}{2}-m \cdot g \cdot l \cdot cos \theta = -m \cdot g \cdot l \cdot cos \theta_o
\frac{m\cdot l^2\cdot  (\frac{d \theta}{d t})^2}{2} = m \cdot g \cdot l  ( cos \theta - cos \theta_o )
{({d t})^2} = \frac{l \cdot (d \theta)^2}{g \cdot ( cos \theta - cos \theta_o )} et en prenant la racine de cette dernière expression::({d t}) = \sqrt{\frac{l }{g}} \cdot \frac{d \theta}{\sqrt{( cos \theta - cos \theta_o )}}

on obtient l'expression exacte de la période d'oscillations d'amplitude θo qui est :

T= 4 \sqrt{\frac{l}{g}}\int_0^{\theta_0}{\frac{d \theta}{\sqrt{\cos \theta - \cos \theta_0}}}

Cette expression se déduit facilement en constatant que T= 4 fois le temps mis pour aller de 0 à θo

T= 4 \sqrt{\frac{l}{ g}} K (\sin \frac{ \theta_0}{ 2}) = T_0 {2K (\sin \frac{ \theta_0}{ 2}) \over \pi}

où K est une intégrale elliptique (Une fonction intégrale elliptique est une fonction f de la forme :) complète de première espèce (Dans les sciences du vivant, l’espèce (du latin species, « type » ou « apparence ») est le taxon de base de la systématique. L'espèce est un concept...) qui vaut en première approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore assez...) (1+\frac{\theta_0^2}{16}) et où T_0= 2.\pi \sqrt{\frac{l}{ g}} .

L'expression T = T_0(1+\frac{\theta_0^2}{16}) est connue sous le nom de formule de Borda.

On peut également exprimer T sous forme de série. Si on pose \gamma = \sin\left({\theta_0 \over 2}\right), alors :

T = 2\pi \sqrt{l \over g} \sum_{n=0}^\infty {2n \choose n}^2 {\gamma^{2n} \over 16^n}, où {2n \choose n} est un coefficient binomial (Les coefficients binomiaux interviennent dans de nombreux domaines des mathématiques : développement du binôme, dénombrement, développement en série…).

Si on développe γ en fonction de θ0, on obtient :

T = 2\pi\sqrt{l \over g} (1 + {\theta_0^2 \over 16} + {11\theta_0^4 \over 3072} + ...).

le tableau (Tableau peut avoir plusieurs sens suivant le contexte employé :) ci dessous donne les angles en degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :), puis en radian (Le radian (symbole : rad) est l'unité dérivée d'angle plan du système international (SI).) dans les deux premières colonnes

ainsi que les valeurs de 1+\frac{\theta_0^2}{16}= T_1/T_0, 1+\frac{\theta_0^2}{16}+ {11\theta_0^4 \over 3072}=T_2/T_0, et enfin T/T_0 = {2K (\sin \frac{ \theta_0}{ 2}) \over \pi} :

Évaluation de la qualité des approximations faites
\theta\, (degrés) \theta\, (radians) 1+\frac{\theta_0^2}{16} 1+\frac{\theta_0^2}{16}+ {11\theta_0^4 \over 3072} {2K (\sin \frac{ \theta_0}{ 2}) \over \pi}
10 0,175 1,00 1,00 1,00
20 0,349 1,01 1,01 1,01
30 0,524 1,02 1,02 1,02
40 0,698 1,03 1,03 1,03
50 0,873 1,05 1,05 1,05
60 1,047 1,07 1,07 1,07
70 1,222 1,09 1,10 1,10
80 1,396 1,12 1,14 1,14
90 1,571 1,15 1,18 1,18
100 1,745 1,19 1,22 1,23
110 1,920 1,23 1,28 1,30
120 2,094 1,27 1,34 1,37
130 2,269 1,32 1,42 1,47
140 2,443 1,37 1,50 1,60
150 2,618 1,43 1,60 1,76
160 2,793 1,49 1,71 2,01
170 2,967 1,55 1,83 2,44
180 3,142 1,62 1,96 \infty

On peut retenir que à un angle de θo de 50° la période est 5% plus grande que celle donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) par la formule simple :T_0 = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{ g}} et que la correction due au second terme n'est perceptible qu'à des angles supérieurs à 70°

Expression approchée de la période de petites oscillations

Pour de faibles oscillations, l'équation différentielle peut approximativement s'écrire :

\theta'' + {g \over l}\theta = 0

On voit donc que, pour de faibles amplitudes permettant d'approcher le sinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes périodiques. Elles peuvent être définies comme rapports de deux longueurs des côtés...) à son angle, le pendule se comporte comme un oscillateur harmonique (Les oscillateurs existent dans de nombreux domaines de la physique : mécanique, électricité et électronique, optique. Le modèle de base des...). La période est alors indépendante de l'amplitude. On appelle ceci l'isochronisme des petites oscillations. Cette période s'exprime alors simplement par :

T_o = 2 \pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}

conformément à la limite de l'expression de Borda.

Période du pendule pesant composé (Un pendule pesant composé est un dispositif utilisé en physique.)

Pour un pendule pesant quelconque, l'effet de l'inertie (L'inertie d'un corps découle de la nécessité d'exercer une force sur celui-ci pour modifier sa vitesse (vectorielle). Ainsi, un corps immobile ou en mouvement rectiligne uniforme (se déplaçant sur une droite à vitesse constante) n'est...) sur la rotation ne peut pas être ramenée à une masse ponctuelle placée au centre de gravité. C'est l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un...) du solide qui tourne, et son inertie est caractérisée par son moment d'inertie noté J et la distance l du centre de gravité à l'axe.

Aux faibles amplitudes, l'isochronisme des oscillations est aussi vérifié et la période correspondante s'exprime en fonction de J par :

T = 2 \pi \cdot \sqrt{\frac{J}{mgl}}; (pour le pendule simple (Le pendule simple est le modèle de pendule pesant le plus simple : on considère une masse ponctuelle au bout d'une liaison rigide sans masse de longueur l pouvant tourner dans un plan...) J= M.l²)

Texte de Galilée concernant le pendule

(...) Quant aux temps d'oscillation de mobiles suspendus à des fils de différentes longueurs, ils ont entre eux même proportion que les racines carrées des temps ; si bien que pour obtenir un pendule dont le temps d'oscillation soit double de celui d'un autre pendule, il convient de donner au premier une longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur...) quadruple de celle du second ; de la même manière si un pendule a une longueur neuf fois supérieure à celle d'un autre pendule, celui-ci effectuera trois oscillations pendant que celui-là en accomplira une seule ; d'où il résulte que les longueurs des cordes sont inversement proportionnelles aux carrés du nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) des oscillations accomplies dans le même temps.

Sagredo : Si j'ai bien compris, je pourrai donc aisément connaître la longueur d'une corde attachée à une hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.) quelconque, quand bien même son point (Graphie) de suspension ( Le fait de suspendre des particules En chimie, la suspension désigne une dispersion de particule. En géomorphologie, la suspension est un mode de transport des sédiments. Le fait de suspendre un objet...) serait invisible et que l'on apercevrait seulement son extrémité inférieure. Si en effet j'attache en cette partie de la corde un poids (Le poids est la force de pesanteur, d'origine gravitationnelle et inertielle, exercée par la Terre sur un corps massique en raison uniquement du voisinage de la Terre. Elle est...) fort lourd, auquel je communique un mouvement de va et vient, et si un ami compte le nombre de ces oscillations pendant que moi-même je compte les oscillations effectuées par un autre pendule suspendu à un fil mesurant exactement une coudée (La coudée (lat. cubitus) est une unité de longueur vieille de plusieurs milliers d'années. Elle a comme base la longueur allant du coude jusqu'à l'extrémité de la main. C'est la coudée, dite naturelle,...), alors grâce au nombre des oscillations de ces deux pendules durant un même temps, je trouverai la longueur de la corde ; supposons par exemple que mon ami ait compté vingt oscillations de la grande corde, dans le même temps où j'en comptais deux cent quarante pour mon fil long d'une coudée ; prenant les carrés des deux nombres vingt et deux cent quarante, c’est-à-dire 400 et 57 600, je dirai que la grande corde contient 57 600 des unités dont mon petit pendule contient 400, mais celui-ci mesure une seule coudée : je diviserai donc 57 600 par 400, ce qui donne 144, et je dirai que ma corde a une longueur de 144 coudées.

Salviati : Vous ne vous tromperiez même pas d'une palme surtout si vous prenez un grand nombre d'oscillations.

Sagredo : Vous me donnez à bien des reprises l'occasion d'admirer la richesse et aussi l'extrême libéralité de la nature, quand de choses si communes, et je dirais même d'une certaine façon triviales, vous faites surgir des connaissances aussi étonnantes que nouvelles, et souvent imprévues pour l'imagination. Il m'est bien arrivé mille fois de prêter attention à des oscillations, et notamment à celles de ces lampes d'église (L'église peut être :), suspendues à de longues cordes, et que quelqu'un par inadvertance avait mises en mouvement ; mais le plus que j'aie su tirer de telles observations (L’observation est l’action de suivi attentif des phénomènes, sans volonté de les modifier, à l’aide de moyens d’enquête et...) est l'improbabilité de l'opinion selon laquelle semblables mouvements seraient entretenus par le milieu, c'est-à-dire par l'air (L'air est le mélange de gaz constituant l'atmosphère de la Terre. Il est inodore et incolore. Du fait de la diminution de la pression de l'air avec l'altitude, il est...), qui vraiment devrait avoir une grande sagacité, et en même temps peu de choses à faire, pour passer (Le genre Passer a été créé par le zoologiste français Mathurin Jacques Brisson (1723-1806) en 1760.) ainsi des heures (L'heure est une unité de mesure  :) et des heures à maintenir avec une telle régularité le balancement d'un poids. Quant à conclure que ce même mobile, suspendu à une corde de cent coudées, puis écarté de son point le plus bas tantôt de quatre vingt dix degrés, tantôt d'un degré ou d'un demi-degré seulement, ait besoin du même temps pour franchir le plus petit et le plus grand de ces arcs, cela, je crois, ne me serait jamais venu à l' esprit, et maintenant encore me semble tenir de l'impossible.

(...) En fin de compte j'ai pris deux boules, l'une en plomb (Le plomb est un élément chimique de la famille des cristallogènes, de symbole Pb et de numéro atomique 82. Le mot et le symbole viennent du latin plumbum.) et l'autre en liège, celle-là au moins cent fois plus lourde que celle-ci, puis j'ai attaché chacune d'elles à deux fils très fins, longs tous deux de quatre ou cinq coudées ; les écartant alors de la position perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. Le terme de perpendiculaire vient du latin per-pendiculum (fil à plomb) et justifie la...), je les lâchai en même temps et celle-ci, suivant les circonférences des cercles ayant les fils égaux pour rayons, dépassaient la perpendiculaire pour remonter de l'autre côté, par la même voie ; une bonne centaine d'allées et venues, accomplies par les boules elles-mêmes, m'ont clairement montré qu'entre la période du corps pesant et celle du corps léger, la coïncidence est telle que sur mille vibrations comme sur cent, le premier n'acquiert sur le second aucune avance, fût-ce la plus minime, mais que tous deux ont un rythme de mouvement rigoureusement identique. On observe également l'action du milieu qui, en gênant le mouvement, ralentit bien davantage les vibrations du liège que celles du plomb, sans toutefois modifier leur fréquence ; même si les arcs décrits par le liège n'ont plus que cinq ou six degrés, contre cinquante ou soixante pour le plomb, ils sont en effet traversés en des temps égaux.

Commentaire sur le texte :

en italiques sont indiquées les lois du pendule selon Galilée. Notez qu'il s'est trompé sur la deuxième n'ayant pas la précision voulue dans ses mesures pour observer la dépendance de la période en fonction de l'amplitude.

Applications

La première définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) de la seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La...) fut la demi-période d'un pendule de un mètre (Le mètre (symbole m, du grec metron, mesure) est l'unité de base de longueur du Système international (SI). Il est défini, depuis 1983,...) de long. (La seconde n'est plus définie mécaniquement, mais par un nombre bien défini de périodes d'une transition dans un atome (Un atome (grec ancien ἄτομος [atomos], « que l'on ne peut diviser ») est la plus petite partie d'un corps simple pouvant se combiner chimiquement...) de Césium).

Soit L0 la longueur d'un pendule ayant une période de T0 = 2 secondes :

  • un pendule de L0/4 aura une période de 1s
  • un pendule de longueur L aura une période telle que:\frac{T}{T_0}= \sqrt{\frac{L}{L_0}}

En élevant au carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un carré est...) le rapport des périodes, on obtient le rapport des longueurs des pendules.

Les horloges franc-comtoises, ou pendules (nom féminin), utilisent un balancier qui est un pendule pesant. On règle la période d'oscillation en faisant bouger une masse le long du balancier.

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