Caractéristique d'Euler
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La caractéristique d'Euler — ou d'Euler-Poincaré — est un invariant numérique, un nombre qui décrit un aspect d'une forme de l'espace topologique ou de la structure. Elle est communément notée par \chi\,.

La caractéristique d'Euler fut définie à l'origine pour les polyèdres et fut utilisée pour démontrer divers théorèmes les concernant, incluant la classification des solides de Platon. Leonhard Euler, par qui le concept eut son nom, fut responsable pour beaucoup dans ce travail de pionnier. En mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations....) plus modernes la caractéristique d'Euler apparait dans l'homologie et les méthodes cohomologiques. Elle est donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) en général par la somme alternée des dimensions des groupes de cohomologie considérés :

\chi=\sum_{i=0}^{\infty}(-1)^i \mathrm{dim}(H^i)

Polyèdres

La caractéristique d'Euler \chi\, a été définie de manière classique pour les polyèdres, selon la formule

\chi = S - A + F, \,\!

S, A et F sont respectivement le nombres de sommets (coins), d'arêtes et de faces dans un polyèdre (Traditionnellement, un polyèdre est une forme géométrique à 3 dimensions ayant des faces planes qui se rencontrent le long d'arêtes droites. Le mot polyèdre...) donné. Pour un polyèdre quelconque homéomorphe à une sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les points situés à une même distance...), la caractéristique d'Euler s'avère être

\chi = S - A + F = 2\,\!.

Ce résultat est connu sous le nom formule d'Euler.

Exemples de polyèdres convexes

La surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent abusivement...) d'un polyèdre convexe (En géométrie, un objet est convexe si pour toute paire de points { A , B } de cet objet, le segment [AB] qui les joint est entièrement contenu dans l'objet. Par exemple, un cube plein, un disque ou une boule sont convexes,...) est homéomorphe à une sphère et par conséquent possède une caractéristique d'Euler égale à 2, par la formule d'Euler. Ce fait peut être utilisé pour montrer qu'il existe seulement cinq solides de Platon (polyèdre régulier) :

Nom Image S (sommets) A (arêtes) F (faces) Caractéristique d'Euler : S - A + F
Tétraèdre (Le tétraèdre (du grec tétra : quatre), est un solide composé de quatre triangles, de la famille des pyramides, donc des cônes.) 4 6 4 2
Hexaèdre ou cube (En géométrie euclidienne, un cube est un prisme dont toutes les faces sont carrées. Les cubes figurent parmi les solides les plus remarquables de l'espace. C'est un des cinq...) 8 12 6 2
Octaèdre (Un octaèdre (du grec oktô, huit et hedra, face) est un polyèdre à huit faces. Si ses faces sont triangulaires, il possède alors douze arêtes et six sommets.) 6 12 8 2
Dodécaèdre (Un dodécaèdre est un solide composé de 12 faces. Le préfixe dodéca-, d'origine grecque, fait référence au nombre de faces.) 20 30 12 2
Icosaèdre (Un icosaèdre est un polyèdre à 20 faces. Le préfixe icosa-, d'origine grecque, fait référence au nombre de faces.) 12 30 20 2

Exemples de polyèdres non-convexes

Les polyèdres non-convexes peuvent avoir diverses caractéristiques d'Euler :

Nom Image S (sommets) A (arêtes) F (faces) Caractéristique d'Euler : S - A + F
Tétrahémihexaèdre 6 12 7 1
Octahémioctaèdre 12 24 12 0
Cubohémioctaèdre 12 24 10 -2

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) formelle

Les polyèdres discutés ci-dessus sont, en langage moderne, des complexes CW finis à deux dimensions. (lorsque seules les faces triangulaires sont utilisées, ils sont appelés complexes simpliciaux finis à deux dimensions). En général, pour un complexe-CW fini quelconque, la caractéristique d'Euler peut être définie comme la somme alternée :

\chi = k_0 - k_1 + k_2 - k_3 + \cdots,

kn désigne le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de cellules de dimensions n dans le complexe.

Plus généralement encore, pour un espace topologique (En mathématiques, les espaces topologiques permettent de définir dans un contexte très général des concepts comme la convergence, la continuité et la connexité. Ces concepts apparaissent dans presque toutes les branches des...) quelconque, nous pouvons définir le ne nombre de Betti bn comme le rang ( Mathématiques En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par cette famille. Le théorème du rang lie le rang et la dimension du noyau d'une...) du ne groupe homologique. La caractéristique d'Euler peut être définie comme la somme alternée

\chi = b_0 - b_1 + b_2 - b_3 + \cdots.

Cette quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière de dénommer la valeur d’une collection ou un...) est bien définie si les nombres de Betti sont tous finis et s'ils sont égaux à zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr, d’abord transcrit zefiro en italien) est un symbole marquant une position vide dans l’écriture des nombres en...) au-delà d'un certain indice n0. Cette définition englobe les précédentes.

Théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une...) des groupes

Dans le cas de la cohomologie des pro-p-groupes, la caractéristique d'Euler permet par exemple de caractériser la dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de...) cohomologique : soit G un pro-p- groupe, alors, G est de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une...) cohomologique inférieure à n si et seulement si la caractéristique d'Euler tronquée à l'ordre n est multiplicative à travers les sous-groupes ouverts de G, c'est-à-dire si et seulement si :

\forall U<_o G,\sum_{i=0}^n (-1)^i \mathrm{dim}_{\mathbf{F}_p} H^i(U,\mathbf{F}_p)=(G:U)\sum_{i=0}^n (-1)^i \mathrm{dim}_{\mathbf{F}_p} H^i(G,\mathbf{F}_p)

Topologie algébrique (La topologie algébrique, anciennement appelée topologie combinatoire, est une branche des mathématiques appliquant les outils de l'algèbre dans l'étude des espaces topologiques. Plus exactement, elle...)

Définition

En topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures).) algébrique, la caractéristique d'Euler d'une variété, notée c ou encore χ (Chi), est la somme alternée des nombres de Betti, comme indiqué ci-dessus. En particulier, c = 2 pour le plan projectif et la sphère, c = 1 pour le disque (Le mot disque est employé, aussi bien en géométrie que dans la vie courante, pour désigner une forme ronde et régulière, à l'image d'un palet — discus en latin.) du plan et c = 0 pour le tore (Le terme tore a essentiellement deux acceptions distinctes, suivant les usages :) et la bouteille de Klein (En mathématiques, la bouteille de Klein est une surface fermée, sans bord et non orientable, c'est-à-dire une surface pour laquelle on ne peut pas définir...).

Propriétés

Un espace contractible quelconque, (c’est-à-dire, un équivalent homotopique à un point) possède une homologie triviale, ce qui signifie que le 0e nombre de Betti est 1 et les autres 0. Par conséquent, sa caractéristique d'Euler est 1. Ce case inclut l'espace euclidien (Un espace euclidien, dans la conception actuelle, est un espace vectoriel ou affine réel de dimension finie muni d'un produit scalaire. Dans un tel espace,...) \R^n de dimension quelconque, autant que la boule solide unitaire dans un espace euclidien quelconque — l'intervalle à une dimension, le disque à deux dimensions, la boule à trois dimensions, etc.

La caractéristique d'Euler peut être calculée facilement pour des surfaces générales par un maillage sur la surface (c’est-à-dire, une description sous la forme d'un complexe CW). Pour un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être...), elle représente le nombre de singularités nécessaires pour mailler cet objet avec ses géodésiques.

Exemples

  • La sphère a pour caractéristique 2 : elle possède deux pôles.
  • Le tore a une caractéristique nulle : il est possible de le mailler sans introduire de singularité (D'une manière générale, le mot singularité décrit le caractère singulier de quelque chose ou de quelqu'un. En particulier, le terme est employé dans les domaines suivants :).
Nom Image caractéristique d'Euler
Sphère 2
Tore 0
ruban de Möbius (Le ruban de Möbius est une curiosité topologique très facile à confectionner, comme le montre le schéma ci-dessous.) 0
bouteille de Klein 0
Deux sphères (non connexe) 2 + 2 = 4
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