Théorie quantique des champs
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Théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur l’observation ou...) des champs
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Bose - Einstein
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Schrödinger - Feynman

La théorie quantique des champs (La théorie quantique des champs est l'application des concepts de la physique quantique aux champs. Issue de la mécanique quantique relativiste, dont l'interprétation comme théorie décrivant une seule...) est l'application des concepts de la physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique désigne la connaissance de la...) quantique aux champs. Issue de la mécanique quantique (Fille de l'ancienne théorie des quanta, la mécanique quantique constitue le pilier d'un ensemble de théories physiques qu'on regroupe sous l'appellation générale de physique quantique. Cette dénomination s'oppose à...) relativiste, dont l'interprétation comme théorie décrivant une seule particule s'était avérée incohérente, la théorie quantique des champs fournit un cadre conceptuel largement utilisé en physique des particules (La physique des particules est la branche de la physique qui étudie les constituants élémentaires de la matière et les rayonnements, ainsi que leurs interactions. On l'appelle aussi physique des hautes énergies car de nombreuses...), en physique de la matière (La matière est la substance qui compose tout corps ayant une réalité tangible. Ses trois états les plus communs sont l'état solide, l'état liquide,...) condensée, et en physique statistique (La statistique est à la fois une science formelle, une méthode et une technique. Elle comprend la collecte, l'analyse, l'interprétation de données ainsi que la présentation de ces ressources...).

La première théorie quantique des champs à avoir vu le jour (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la période entre deux nuits, pendant laquelle les rayons du Soleil éclairent le ciel. Son début (par rapport à minuit...), connue sous le nom d'électrodynamique quantique, est aujourd'hui une des théories physique ayant le plus beau succès dans sa confrontation aux résultats expérimentaux dans le cadre du modèle standard notamment grâce à la mesure de haute précision de la constante de structure fine (La constante de structure fine, représentée par la lettre grecque α, est une constante fondamentale qui régit la force électromagnétique assurant la cohérence des...).

Historique

La théorie quantique des champs naît en 1927 avec l'article fondateur de l'électrodynamique quantique par Dirac : " La théorie quantique de l'émission et de l'absorption du rayonnement (Le rayonnement, synonyme de radiation en physique, désigne le processus d'émission ou de transmission d'énergie impliquant une particule...) ". Le formalisme est ensuite développé et discuté dans les années 1930 par les théoriciens, ceux-ci se heurtant à un problème récurrent : l'apparition systématique (En sciences de la vie et en histoire naturelle, la systématique est la science qui a pour objet de dénombrer et de classer les taxons dans un certain ordre, basé sur des principes divers. Elle...) d'infinis lors des calculs de grandeurs physiques censées être mesurables et finies. Cette difficulté ne fut entièrement surmontée qu'en 1948 avec l'invention d'une procédure systématique, la renormalisation, due principalement au japonais Tomonaga et aux américains Schwinger et Feynman.

Les succès de l'électrodynamique quantique, théorie de jauge ( En tant qu'instrument de mesure : Une jauge est un instrument de mesure. On trouve par exemple : La jauge de contrainte, traduisant un effort mécanique en résistance électrique, La jauge Hibernia et la...) abélienne, a conduit les théoriciens des années 1960 et 1970 à appliquer les concepts de la théorie quantiques des champs aux théories de jauge non abéliennes, donnant finalement naissance à l'actuel modèle standard de la physique des particules.

Par ailleurs, Kadanoff a introduit à la fin des années 1960 l'idée que les transitions de phases décrites par la physique statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon. D'une façon générale, c'est le résultat de l'application d'une méthode...) présentaient des propriétés d'universalité et d'invariance d'échelles. Wilson eut alors l'idée d'appliquer les méthodes de renormalisation de la théorie quantique des champs à la description des phénomènes critiques. [1]

Champs quantiques

La façon dont la théorie des champs fut introduite par Dirac à partir des particules élémentaires est connue pour des raisons historiques sous l'appelation de seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de mesure du temps. La seconde d'arc est une...) quantification.

Il faut mentionner deux sources de confusions:

  • les champs ne sont pas liés à la dualité onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible des propriétés physiques locales. Elle transporte de l'énergie sans...) corpuscule.

les particules élémentaires possèdent déjà cette dualité dans l'acceptation du terme de la mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres...) classique. Ce que l'on entend par champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) est un concept qui permet la création ou l'annihilation de particules en tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) point (Graphie) de l'espace. Comme tout système quantique, un champ quantique a un hamiltonien et obéit à l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à...) de Schrödinger :

H \left| \psi (t) \right\rangle = i \hbar {\partial\over\partial t} \left| \psi (t) \right\rangle

(en théorie des champs, le formalisme lagrangien (Le lagrangien d'un système dynamique, dont le nom vient de Joseph Louis Lagrange, est une fonction des variables dynamiques qui décrit de manière concise les équations du mouvement du système. Ces dernières...) est plus facile à utiliser que son équivalent le hamiltonien)

  • avec la seconde quantification, l'indiscernabilité des particules s'exprime en termes de nombre d'occupation.

Supposons que N = 3, avec une particule dans l'état φ1 et deux dans l'état φ2. la façon d'écrire la fonction d'onde est:

\frac{1}{\sqrt{3}} \left[ \phi_1(r_1) \phi_2(r_2) \phi_2(r_3) + \phi_2(r_1) \phi_1(r_2) \phi_2(r_3) + \phi_2(r_1) \phi_2(r_2) \phi_1(r_3) \right]

alors qu'avec la seconde quantification, cette fonction est simplement

|1, 2, 0, 0, \cdots \rangle

Quoique la différence soit minime, la deuxième permet d'exprimer facilement des opérateurs création et annihilation , qui rajoutent ou enlèvent des particules à l'état.

Ces opérateurs création et annihilation très similaires à ceux définis dans oscillateur harmonique (Les oscillateurs existent dans de nombreux domaines de la physique : mécanique, électricité et électronique, optique. Le modèle de base des oscillateurs...) quantique, qui en mécanique quantique crée ou détruit des quanta d'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.).

Ces operateurs créent et font disparaître des particules dans un état quantique (En mécanique quantique, l'état d'un système décrit tous les aspects du système physique. Il est représenté par un objet mathématique qui donne le maximum d'information possible sur le système, dans le but de prévoir les résultats...) donné.

Par exemple, l'operateur a2 a l'effet suivant:

a_2 | 1, 2, 0, 0, \cdots \rangle \equiv | 1, 1, 0, 0, \cdots \rangle \sqrt{2}
a_2 | 1, 1, 0, 0, \cdots \rangle \equiv | 1, 0, 0, 0, \cdots \rangle
a_2 | 1, 0, 0, 0, \cdots \rangle \equiv \quad 0

(Le facteur √2 normalise la fonction d'onde.)

Enfin, il faut introduire " les opérateurs de champ " de création ou d'annihilation d'une particule en un point de l'espace.

De même que pour une seule particule la fonction d'onde s'exprime avec son moment cinétique (Le mot cinétique fait référence à la vitesse.), de même les opérateurs de champ peuvent s'exprimer à l'aide des transformées de Fourier.

Par exemple:\phi(\mathbf{r}) \equiv \sum_{i} e^{i\mathbf{k}_i\cdot \mathbf{r}} a_{i} qu'il ne faut pas confondre avec une fonction d'onde est l'opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :) de champ d'annihilation de boson (Les bosons représentent une classe de particules qui possèdent des propriétés de symétrie particulières lors de l'échange de particules : un système de particules identiques se comportant comme des...)

Les Hamiltoniens, en physique des particules sont écrits

H = \sum_k E_k \, a^\dagger_k \,a_k

comme une somme d'opérateurs création et annihilation de champ.

Cela exprime un champ de bosons libres où Ek est l'énergie cinétique (L'énergie cinétique (aussi appelée dans les anciens écrits vis viva, ou force vive) est l’énergie que possède un corps du fait de son mouvement. L’énergie cinétique d’un corps est égale au travail...). En fait, cet Hamiltonien est utilisé pour décrire des phonons.

Champ & particule ?

Introduction : le problème de la localisation

L'expérimentateur qui enregistre un " clic " dans son détecteur (Un détecteur est un dispositif technique (instrument, substance, matière) qui change d'état en présence de l'élément ou de la situation pour lequel il a...) aimerait relier cet évènement, qu'il interpète comme la détection d'une " particule " relativement bien localisée dans l'espace (et dans le temps), au champ quantique et à ses excitations : c'est le problème de la localisation. Ce problème, qui admet une réponse simple en mécanique quantique non-relativiste, est hautement non-trivial en théorie quantique relativiste.

Localisation en mécanique quantique non-relativiste

Dans le cadre de la mécanique quantique non-relativiste, on dispose d'un opérateur position \ \hat{\mathrm{r}} \ hermitien (Plusieurs entités mathématiques sont qualifiées d'hermitiennes en référence au mathématicien Charles Hermite.) qui permet de préciser de façon entièrement cohérente la localisation d'une particule dans un état | \,  \psi \, \rangle :

  • la position moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'auraient chacun des membres de l'ensemble...) est donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un...) par : \langle \,  \psi \, | \ \hat{\mathrm{r}} \ | \,  \psi \, \rangle ;
  • l'écart quadratique moyen (dispersion) Δr autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent...) de cette position moyenne est défini par :

\Delta \mathrm{r}^2 \ = \ \langle \,  \psi \, | \ \hat{\mathrm{r}}^2 \ | \,  \psi \, \rangle \ - \ \langle \,  \psi \, | \ \hat{\mathrm{r}} \ | \,  \psi \, \rangle^2

La particule quantique est d'autant mieux localisée en position que cette dispersion (La dispersion, en mécanique ondulatoire, est le phénomène affectant une onde dans un milieu dispersif, c'est-à-dire dans lequel les différentes fréquences constituant l'onde ne...) est petite ; la mécanique quantique n'interdit d'ailleurs pas de la prendre nulle, auquel cas la localisation spatiale est parfaitement réalisée. Bien évidemment, il y a alors une dispersion maximale en quantité de mouvement (En physique, la quantité de mouvement est la grandeur physique associée à la vitesse et la masse d'un objet. La quantité de mouvement d'un système fait partie, avec l'énergie, des valeurs qui se conservent lors...) pour satisfaire les inégalités de Heisenberg.

Opérateur position en mécanique quantique relativiste ?

En mécanique quantique relativiste, les transformations de Lorentz mélangent espace et temps : si le vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un exemple...) position classique était associé à un opérateur position quantique "à la Heisenberg", il devrait aussi exister un opérateur temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.).

Or, un vieil argument de Pauli suggère[2] qu'il n'existe pas d'opérateur temps hermitien en mécanique quantique. En effet, en mécanique hamiltonienne, temps et énergie sont conjugués : l'opérateur hamiltonien est le "générateur infinitésimal" des translations dans le temps (par le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un...) de Noether). Par analogie avec le couple position/impulsion satisfaisant [\hat{\mathrm{x}}^i, \, \hat{\mathrm{p}}_j ] = i \ \hbar \ \hat{\mathrm{\delta}}_j^i, on serait alors amené à écrire : [\hat{\mathrm{H}},\hat{\mathrm{t}}] = (\pm) \ i \ \hbar \ \hat{\mathrm{1}}. Du coup, l'opérateur temps deviendrait réciproquement le générateur infinitésimal des translations en énergie, et le spectre d'énergie serait le continuum \mathbb R entier, ce qui signifie que l'énergie ne serait plus bornée inférieurement. Or la mécanique quantique a précisément été inventée pour décrire la stabilité des atomes (Un atome (du grec ατομος, atomos, « que l'on ne peut diviser ») est la plus petite partie d'un corps simple pouvant se combiner chimiquement avec...), possédant un état fondamental (En physique quantique, les états fondamentaux d'un système sont les états quantiques de plus basse énergie. Tout état d'énergie supérieure à celle des états fondamentaux est un état...) d'énergie finie.

La solution consiste à abandonner la notion d'opérateur position, et donc à passer (Le genre Passer a été créé par le zoologiste français Mathurin Jacques Brisson (1723-1806) en 1760.) aux champs, fonctions définies sur l'espace-temps (La notion d'espace-temps a été introduite au début des années 1900 et reprise notamment par Minkowski en 1908 dans un exposé...).

Système élémentaire au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du vieillissement, suivi de...) de Wigner

Localisation douce : l'opérateur position de Newton-Wigner (1949)

En 1949, Newton et Wigner[3] ont malgré tout réussi à construire un nouvel "opérateur position" pour les particules massives (de spin (Le spin est une propriété quantique intrinsèque associée à chaque particule, qui est caractéristique de la nature de la particule, au même titre que sa masse et...) arbitraire). Modulo ( En arithmétique modulaire, on parle de nombres congrus modulo n Le terme modulo peut aussi être associé à d'autres formes de congruence En informatique, le modulo (informatique) est une fonction qui au couple (a, b) d'entiers...) quelques hypothèses générales "raisonnables", il sont arrivés à un opérateur non-local dans l'espace physique. Les "états localisés" associés à cet opérateur ne sont pas des distributions de Dirac. L'état localisé autour de l'origine possède à grande distance une décroissance exponentielle (La fonction exponentielle est l'une des applications les plus importantes en analyse, ou plus généralement en mathématiques et dans ses domaines d'applications. Il existe plusieurs définitions équivalentes : un morphisme...) avec une échelle caractéristique égale à la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet...) d'onde Compton de la particule massive (Le mot massif peut être employé comme :). Il est donc impossible de localiser une particule, ni ponctuellement, ni " strictement " (au sens de : dans un compact). De plus, ces états localisés ne sont pas invariants par transformation de Lorentz : une particule localisée dans un référentiel ne l'est pas nécessairement dans un autre. Enfin, la construction de Newton-Wigner s'étend aux particules de masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un corps : l'une quantifie l'inertie du corps (la masse...) nulle de spin 0 (décrites par l'équation de Klein-Gordon) et de spin 1/2 (décrites par l'équation de Dirac), mais hélas pas au photon (En physique des particules, le photon est la particule élémentaire médiatrice de l'interaction électromagnétique. Autrement dit, lorsque deux particules chargées électriquement interagissent, cette interaction se traduit d'un point de vue...), de spin 1.

Impossibilité d'une localisation stricte ?

Le théorème de Malament (1996)

Théorème de Malament[4]

Le théorème de Clifton et Halvorson (2002)

Théorème de Clifton et Halvorson[5]

Notes

  1. référence, citation ou lien
  2. Eric Galapon a récemment remis en cause la validité du raisonnement de Pauli ; cf. e.g. : quant-ph/9908033 ; quant-ph/0111061 ; quant-ph/0303106.
  3. T. D. Newton and E. P. Wigner ; Localized States for Elementary Systems, Review of Modern Physics 21 (1949), 400 - 406. pdf.
  4. David B Malament ; In Defense of Dogma -- Why There Cannot Be a Relativistic Quantum (En physique, un quantum (mot latin signifiant « combien » et qui s'écrit « quanta » au pluriel) représente la plus petite mesure indivisible, que ce...) Mechanical Theory of (Localizable) Particles, dans : R Clifton (éditeur) ; Perspectives on Quantum Reality, Kluwer (1996). pdf.
  5. Hans Halvorson & Rob Clifton ; No place for particles in relativistic quantum theories ?, Philosophy of Science (La science (latin scientia, « connaissance ») est, d'après le dictionnaire Le Robert, « Ce que l'on sait pour l'avoir appris, ce que l'on tient pour vrai au sens large. L'ensemble de...) 69 (2002) 1-28. ArXiv  :quant-ph/0103041.

Bibliographie

Textes en français

  • Laverne, Alain ; Rayonnement quantique, cours donné en 1994 par Alain Laverne (Université Paris (Paris est une ville française, capitale de la France et le chef-lieu de la région d’Île-de-France. Cette ville est construite sur une boucle de la Seine, au centre du bassin parisien, entre...) 7) sur la quantification du rayonnement électromagnétique (Un rayonnement électromagnétique désigne une perturbation des champs électrique et magnétique.) et le concept de photon. 240 pages.
  • Bell (Bell Aircraft Corporation est un constructeur aéronautique américain fondé le 10 juillet 1935. Après avoir construit des avions de combat durant la Seconde Guerre mondiale, mais aussi le premier avion à avoir franchi le mur du son,...), John S. ; Théorie quantique des champs expérimentale, traduction française par Alain Laverne (Université Paris 7) d'un cours d'introduction donné en 1977 par John S. Bell (Physique Théorique, CERN) aux physiciens expérimentateurs. 41 pages.
  • Delamotte, Bertrand ; Un soupçon de théorie des groupes : groupe des rotations & groupe de Poincaré , cours d'introduction pour physiciens (prolégomènes à un cours de théorie quantique des champs) donné en 1995 par Bertrand Delamotte (Laboratoire de Physique Théorique (La physique théorique est la branche de la physique qui étudie l’aspect théorique des lois physiques et en développe le formalisme mathématique.) et Hautes Energies, Université (Une université est un établissement d'enseignement supérieur dont l'objectif est la production du savoir (recherche), sa conservation et sa...) Paris 7) au DEA "Champs, Particules, Matières" . 127 pages.
  • Laloë, Franck ; Cours sur les symétries, cours pour physiciens (prolégomènes à un cours de théorie quantique des champs) donné par Franck Laloë (Laboratoire de Physique Atomique, ENS Ulm, Paris) au DEA de Physique Quantique.
  • Zinn-Justin, Jean ; Des infinis de la mécanique quantique relativiste au groupe de renormalisation, texte d'une conférence donnée par Jean Zinn-Justin (Service de Physique Théorique du CEA) lors de la 5me rencontre "Physique et Interrogations Fondamentales" (PIF V) intitulée : L'élémentaire et le complexe. Universel et singulier (III) (27 octobre 1999, Collège de France (Le Collège de France, situé au no 11 place Marcelin-Berthelot dans le quartier latin de Paris (Ve arrondissement), est un grand établissement d'enseignement et de recherche. Il dispense des cours non diplômant de haut...), Paris). Publié par : Michel Crozon (Michel Crozon est un physicien français, directeur de recherche émérite au CNRS.) & Yves Sacquin (éditeurs), EDP Sciences (2001).
  • Le Bellac, Michel ; Des phénomènes critiques aux champs de jauge - Une introduction aux méthodes et aux applications de la théorie quantique des champs, InterEditions/Editions du CNRS (Le Centre national de la recherche scientifique, plus connu sous son sigle CNRS, est le plus grand organisme de recherche scientifique public français (EPST).) (1988), ISBN 2-86883-359-4. Réédité par EDP Sciences.

Textes en anglais

  • Wilczek, Frank ; Quantum Field Theory, Review of Modern Physics 71 (1999) S85-S95. Article de revue écrit par un Maître de la QCD, prix Nobel 2003. ArXiV : hep-th/9803075
  • Zee, Anthony ; Quantum Field Theory in a Nutshell, Princeton University Press (2003), ISBN 0-691-01019-6. La meilleure introduction à la théorie quantique des champs. Pédagogique et même divertissant. Aspects de la théorie de la matière condensée comme de celle des hautes énergies.
  • Ryder, Lewis H. ; Quantum Field Theory , Cambridge University Press (1985), ISBN 0-521-33859-X Ouvrage remarquable, qui complète à merveille le précédent pour la théorie quantique des champs appliquée à la physique des particules.
  • Peskin, M and Schroeder, D. ;An Introduction to Quantum Field Theory (Westview Press, 1995), ISBN 0201503972. Pas à pas détaillé.
  • Weinberg, Steven ; The Quantum Theory of Fields, Cambridge University Press (1995). Traité monumental en 3 volumes par un expert du domaine, prix Nobel 1979.
  • Loudon, Rodney ; The Quantum Theory of Light (Oxford University Press, 1983), ISBN 0198511558
  • Siegel, Warren ; Fields. ArXiV : arXiv:hep-th/9912205). Atypique.
  • 't Hooft, Gerard ; The Conceptual Basis of Quantum Field Theory, Handbook of the Philosophy of Science, Elsevier (à paraître). Article de revue écrit par un Maître des théories de jauge, prix Nobel 1999. pdf.
  • Srednicki, Mark ; Quantum Field Theory
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