Liste de fractales par dimension de Hausdorff - Définition

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- Introduction - Fractales déterministes - Fractales aléatoires et naturelles

Introduction

Cet article est une liste de fractales, ordonnées par dimension de Hausdorff croissante.

En mathématiques, une fractale est un ensemble dont la dimension de Hausdorff (notée δ) est strictement supérieure à la dimension topologique.

Fractales déterministes

δ < 1

δ (val. exacte)	δ (val. approchée)	Nom	Remarques
0 ⇒ donc pas une fractale mais dim box-counting = 1	0	Nombres rationnels	La dimension de Hausdorff des ensembles dénombrables vaut toujours zéro. Ces ensembles ne peuvent être fractals. Ajoutons que la dimension "box counting" d'un tel ensemble peut être différent s'il s'agit d'un sous-ensemble dense d'une région ouverte de R. L'ensemble des nombres rationnels a ainsi une dimension box-counting de "1" car sa clôture est R.
Calculé	0.538	Attracteur de Feigenbaum	L'attracteur de Feigenbaum (entre les flèches) est l'ensemble des points générés par itérations successives de la fonction logistique pour le paramètre critique $\scriptstyle{\lambda_\infty = 3.570}$ , où le doublement de périodes est infini. Remarque : cette dimension est la même pour toute fonction différentiable et unimodale.
$\textstyle{\frac {\ln(2)} {\ln(3)}}$	0,6309	Ensemble de Cantor	Construit en retirant le tiers central à chaque itération. Nulle part dense et de mesure nulle mais indénombrable. Généralisation : L'ensemble de Cantor généralisé se construit en retirant à chaque segment et à la $n e m e$ itération, le segment central de longueur $γ m$ . Sa dimension fractale vaut alors $\textstyle{-\frac{\log(2)}{\log(\frac{1-\gamma}{2})}}$ et peut prendre toutes les valeurs entre 0 et 1. L'ensemble de Cantor usuel est construit avec $\scriptstyle{\gamma=1/3}$ .
$\textstyle{\frac {\log(\scriptstyle\varphi)}{\log(2)}}$	0.6942	Ensemble de Cantor asymétrique	Remarquer que la dimension n'est plus $\textstyle{\frac {\log(2)}{\log(3)}}$ . Construit en retirant le deuxième quart à chaque itération. Nulle part dense et de mesure nulle mais indénombrable. $\scriptstyle\varphi = (1+\sqrt{5})/2$ (nombre d'or).
$\textstyle{\frac {\log(5)}{\log(10)}}$	0.69897	Nombres réels avec décimales paires	Similaire à un ensemble de Cantor.
$\textstyle{\frac {\ln(5)} {\ln(9)}}$	0,7325	Fractale UNU	Fractale auto-descriptive construite par itérations successives du schéma suivant : u → unu (un « u ») → unuunnunu (un « u », un « n », un « u ») → etc.

1 ≤ δ < 2

δ (val. exacte)	δ (val. approchée)	Nom	Illustration	Remarques
1	1.0000	Ensemble de Smith-Volterra-Cantor		Construit en retirant le quart, puis le seizième, le 64^e… central à chaque itération. N'est nulle part dense mais est indénombrable et a pour mesure de Lebesgue 1/2. Il a donc pour dimension 1.
$\textstyle{2+\frac {\log(1/2)} {\log(2)}}$	1.0000	Courbe de Takagi ou Blancmange		Définie sur l'intervalle unité par $\textstyle{f(x) = \sum_{n=0}^\infty {s(2^{n}x)\over 2^n}}$ , où $s (x)$ est la fonction "dents de scie". Cas particulier de la courbe de Takahi-Landsberg: $\textstyle{f(x) = \sum_{n=0}^\infty {w^n s(2^{n}x)}}$ avec $\scriptstyle{w = 1/2}$ . La dimension de Hausdorff vaut $2 + l o g (w) / l o g (2)$ . (Hunt cité par Mandelbrot ).
calculé	1.0812	Ensemble de Julia z² + 1/4		Ensemble de Julia pour c = 1/4.
Solution s de $2 \| α \| 3 s + \| α \| 4 s = 1$	1.0933	Frontière de la Fractale de Rauzy	$Rauzy fractal.png$	Représentation géométrique du système dynamique associé à la substitution de Tribonacci: $\scriptstyle{1\mapsto12}$ , $\scriptstyle{2\mapsto13}$ et $\scriptstyle{3}\mapsto1$ .. $α$ est l'une des deux racines complexes conjuguées de $z 3 - z 2 - z - 1 = 0$ .
	1,12915	Île de Gosper		Baptisée par Mandelbrot (1977). Frontière de la courbe de Gosper.
Mesuré (Box counting)	1.2	Ensemble de Julia "Dendrite"		Ensemble de Julia pour c=i
$\textstyle{3\frac{\log(\varphi)}{\log \left(\frac{3+\sqrt{13}}{2}\right)}}$	1.2083	Fractale du mot de Fibonacci à 60 °		Construite à partir du Mot de Fibonacci, avec un angle à 60°. Voir aussi la fractale du mot de Fibonacci standard, ci-dessous. Avec $\scriptstyle\varphi = (1+\sqrt{5})/2$ (Nombre d'or).
	1.2107	Frontière du tame twindragon		Un des six 2-autopavés réguliers (peut être pavé par deux copies de lui-même, de même taille).
$\textstyle{\frac{\log(3)}{\log(1+\sqrt{2})}}$	1.2465	Frontière de la fractale du mot de Fibonacci	$Fibonacci word fractal boundary.png$	Construite à partir du Mot de Fibonacci. Voir aussi la fractale du mot de Fibonacci standard, ci-dessous. Avec $\scriptstyle\varphi = (1+\sqrt{5})/2$ (Nombre d'or).
	1,26	Attracteur de Hénon		La carte de Hénon canonique (a = 1,4 et b = 0.3) possède δ = 1,261 ± 0,003. Différents paramètres conduisent à différentes valeurs de δ
	1,2619	Courbe de Koch		En juxtaposant 3 fois cette courbe en triangle on obtient le flocon de Koch et l'anti-flocon de Koch si elle est inversée.
	1,2619	Frontière de la Courbe Terdragon, Fudgeflake		L-System : similaire à la courbe du dragon avec un angle de 30°. Le Fudgeflake est construit en juxtaposant 3 segments initiaux en triangle.
	1,2619	Carré de Cantor		Ensemble de Cantor en deux dimensions.
calculé	1,2683	Ensemble de Julia pour z²-1		Ensemble de Julia pour c=-1.
Mesuré (box-counting)	1,3	Fractale Beryl pour k=1	$Beryl fractal.png$	Pour k=1. La fractale Béryl est définie par f(x, y)→(k(x+y), xy) avec x et y complexes et la coupe dans le plan $ν 0 = 1$
calculé	1,3057	Baderne d'Apollonius		Voir
calculé (box-counting)	1.328	Fractale d'inversion à 5 cercles		L'ensemble limite généré itérativement via des inversions par rapport à 5 cercles tangents. Également une baderne d'Apollonius à 4 cercles de base. Voir
calculé	1.3934	Lapin de Douady		Ensemble de Julia pour c=-0,123+0.745i.
Mesuré (box counting)	1,42 +/- 0,02	Fractale de Newton	$Newton fractal.png$	Frontière triple des bassins d'attraction des 3 racines complexes de l'equation $z 3 - 1 = 0$ par la méthode de Newton.
$\textstyle{\frac {\ln(5)} {\ln(3)}}$	1,4649	Fractale de Vicsek	$Box fractal.png$	Construit en substituant itérativement chaque carré par une croix de 5 carrés.
$\textstyle{\frac {\ln(5)} {\ln(3)}}$	1,4649	Courbe de Koch quadratique (type 1)		On y retrouve le motif de la fractale box (voir ci-dessus), construit différemment.
$\textstyle{\frac {\ln(8)} {\ln(4)}}$	1,5000	Courbe de Koch quadratique (type 2)		Appelée également « saucisse de Minkowski ».
$\textstyle{2 -\frac{\log(\sqrt{2})}{\log(2)}}$ (supposé exact)	1.5000	une fonction de Weierstrass: $\textstyle{f(x)=\sum_{k=1}^\infty \frac {sin(2^k x)} {\sqrt{2}^k}}$		La dimension de Hausdorff de la fonction de Weierstrass $\scriptstyle{f : [0,1] \to \mathbb{R}}$ définie par $\textstyle{f(x)=\sum_{k=1}^\infty \frac {sin(b^k x)} {a^k}}$ avec $1 < a < 2$ et $b > 1$ a pour borne supérieure $\scriptstyle{2 -\log(a)/\log(b)}$ . Il est conjecturé qu'il s'agit de la valeur exacte. Le même résultat peut être établi en utilisant, à la place de la fonction sinus, d'autres fonctions périodiques comme cosinus.
$\textstyle{\frac{\log\left(\frac{1+\sqrt[3]{73-6\sqrt{87}}+\sqrt[3]{73+6\sqrt{87}}}{3}\right)} {\log(2)}}$	1,5236	Frontière courbe du dragon		Cf. Chang & Zhang.
$\textstyle{\frac{\log\left(\frac{1+\sqrt[3]{73-6\sqrt{87}}+\sqrt[3]{73+6\sqrt{87}}}{3}\right)} {\log(2)}}$	1.5236	Frontière du twindragon		Un des six 2-autopavés réguliers (peut être pavé par deux copies de lui-même, de même taille).
$\textstyle{\frac {\ln(3)} {\ln(2)}}$	1,5850	Arbre à trois branches		Chaque branche porte trois branches (ici 90 ° et 60°). La dimension fractale de l'arbre est celle des branches terminales.
$\textstyle{\frac {\ln(3)} {\ln(2)}}$	1,5850	Triangle de Sierpiński		C'est également le triangle de Pascal modulo 2.
$\textstyle{\frac {\ln(3)} {\ln(2)}}$	1,5850	Courbe de Sierpiński en pointe de flèche		Même limite que le triangle de Sierpiński (ci-dessus), mais obtenue par itérations d'une courbe unidimensionnelle.
$\textstyle{\frac{\log{\varphi}}{log{\sqrt[\varphi]{\varphi}}}}$	1,61803 = $\varphi$	un dragon d'or		Construit avec deux homothéties de rapport $r$ et $r 2$ , avec $\scriptstyle{r = 1 / \varphi^{1/\varphi}}$ . La dimension vaut $\scriptstyle{\varphi}$ car $\scriptstyle{({r^2})^\varphi+r^\varphi = 1}$ . Avec $\scriptstyle\varphi = (1+\sqrt{5})/2$ (Nombre d'or).
$1 + l o g 3 (2)$	1,6309	Triangle de Pascal modulo 3		D'une manière générale pour un triangle modulo k, si k est premier, la dimension fractale est $\scriptstyle 1 + log_k(\frac{k+1}{2})$ (Cf.Stephen Wolfram)
$\textstyle{3\frac{\log(\varphi)}{\log (1+\sqrt{2})}}$	1,6379	Fractale du mot de Fibonacci	$Fibonacci fractal F23 steps.png$	Fractale basée sur le mot de Fibonacci (ou séquence du Lapin) Sloane A005614. Illustration : Fractale après F₂₃ = 28657 segments.. Avec $\scriptstyle\varphi = (1+\sqrt{5})/2$ (Nombre d'or).
Solution de $\scriptstyle{(1/3)^s + (1/2)^s + (2/3)^s = 1}$	1.6402	Attracteur d'un IFS avec 3 similitudes de ratios 1/3, 1/2 and 2/3		Generalisation : Supposant la condition d'ensemble ouvert satisfaite, l'attracteur d'un système de fonctions itérées à $n$ simulitudes de ratio $c n$ , a pour dimension de Hausdorff s, solution de l'équation : $\scriptstyle{\sum_{k=1}^n c_k^s = 1}$ .
$1 + l o g 5 (3)$	1,6826	Triangle de Pascal modulo 5		D'une manière générale pour un triangle modulo k, si k est premier, la dimension fractale est $\scriptstyle 1 + log_k(\frac{k+1}{2})$ (Cf.Stephen Wolfram)
Mesuré (box-counting)	1.7	Attracteur d'Ikeda		Pour les valeurs de paramètres a=1, b=0.9, k=0.4 et p=6 dans le système itéré d'Ikeda $\scriptstyle {z_{n+1} = a + bz_n exp[i[k - p/(1 + \lfloor z_n \rfloor^2)]]}$ . Dérive d'un modélisastion d'interactions d'ondes planaires dans un laser. Différents paramètres entrainent differentes valeurs..
$\textstyle{\frac {\ln(4)} {\ln(\sqrt{5})}}$	1,7227	Fractale Pinwheel	$Pinwheel fractal.png$	Construite à partir du pavage "pinwheel" de John Conway.
$\textstyle{\frac {\ln(7)} {\ln(3)}}$	1,7712	Flocon hexagonal		Construit en substituant itérativement chaque hexagone par un flocon de 7 hexagones. Sa frontière est le flocon de Koch. Contient une infinité de flocons de Koch (en positif comme en négatif).
$\textstyle{\frac {\ln(4)} {\ln(2(1+\cos(85^\circ))}}$	1,7848	Courbe de Koch à 85 °, fractale de Cesàro		Généralisation de la courbe de Koch basée sur un angle a choisi entre 0 et 90°. La dimension fractale vaut alors $\scriptstyle \frac{\ln(N)}{\ln(2(1+cos(a))}$ . La fractale de Cesàro est basée sur ce motif.
$\textstyle{\frac{\log{(3^{0.63}+2^{0.63})}} {\log{2}}}$	1.8272	Une fractale auto-affine		Construite itérativement à partir d'une grille $\scriptstyle{p \times q}$ sur un carré, avec $\scriptstyle{p \le q}$ . Sa dimension de Hausdorff égale $\scriptstyle{\frac{\log{\left (\sum_{k=1}^p n_k^a \right )}} {\log{p}}}$ avec $\scriptstyle{a=\frac{\log{ p}}{log{ q}}}$ et $n k$ le nombre d'éléments dans la colonne k. La Dimension de Minkowski–Bouligand (box counting) donne une formule différente, donc une valeur souvent différente. Contrairement aux fractales auto-similaires, la dimension de Hausdorff des fractales auto-affines dépend de la position des éléments itérés et il n'existe pas de formule simple pour le cas général.
$\textstyle{\frac {\ln(6)} {\ln(1+\phi)}}$	1,8617	Flocon pentagonal (pentaflake)		Construit en substituant itérativement chaque pentagone par un flocon de 6 pentagones. Ici, $φ$ est le nombre d'or et vaut $\scriptstyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
solution de $\scriptstyle{6(1/3)^s+5{(1/3\sqrt{3})}^s=1}$	1.8687	L'"arbre des singes"		Cette courbe apparaît sous ce nom dans "Fractal geometry of Nature" (1983) de Benoit Mandelbrot. Elle est basée sur 6 homothéties de rapport $1 / 3$ et 5 homothéties de rapport $\scriptstyle{1/{3\sqrt{3}}}$ .
	1,8928	Tapis de Sierpiński
	1,8928	Cube de Cantor		Ensemble de Cantor en trois dimensions.
$\textstyle{\frac {\ln(4)} {\ln(3)}+\frac {\ln(2)} {\ln(3)}=\frac {\ln(8)} {\ln(3)}}$	1,8928	Produit cartésien de la Courbe de von Koch et de l'ensemble de Cantor		Généralisation : Soit FxG, le produit cartésien de deux ensembles fractals F et G. Alors $D i m H (F x G) = D i m H (F) + D i m H (G)$ .
Estimé	1,9340	Frontière de la fractale de Lévy		Estimé par Duvall et Keesling (1999). La fractale de Lévy en elle-même a pour dimension de Hausdorff 2.
	1,974	Pavage de Penrose		Cf. Ramachandrarao, Sinha & Sanyal

δ = 2

δ (val. exacte)	δ (val. approchée)	Nom	Illustration	Remarques
$2$	2	Frontière de l'ensemble de Mandelbrot		La frontière a la même dimension que l'ensemble..
$2$	2	certains ensembles de Julia		Pour des valeurs de c déterminées (sur la frontière de l'ensemble de Mandelbrot), l'ensemble de Julia a pour dimension 2..
$2$	2	Courbe de Sierpiński		Toute courbe remplissant l'espace possède une dimension de Hausdorff δ = 2.
$2$	2	Courbe de Hilbert		Peut être étendue à trois dimensions.
$2$	2	Courbe de Peano		et une famille de courbes de construction similaire, dont les courbes de Wunderlich.
$2$	2	Courbe de Moore		Peut être étendue à 3 dimensions.
$2$	2	Courbe de Lebesgue		Contrairement aux courbes ci-dessus, celle-ci est presque partout différentiable. Un deuxième type de courbe 2D a également été défini. Cette courbe peut être étendue en 3D avec une dimension fractale de 3..
$\textstyle{\frac {\ln(2)} {\ln(\sqrt{2})}}$	2	Courbe du dragon		Sa frontière a une dimension fractale de 1,5236 (Cf.Chang & Zhang)
	2	Courbe "Terdragon"		L-System : F→ F+F-F ; angle=120°.
$\textstyle{\frac {\ln(4)} {\ln(2)}}$	2	T-square	$T-Square fractal (evolution).png$
$\textstyle{\frac {\ln(4)} {\ln(2)}}$	2	Courbe de Peano-Gosper		Sa frontière est l'île de Gosper.
Solution de $\scriptstyle{7({1/3})^s+6({1/3\sqrt{3}})^s=1}$	2	Courbe remplissant le flocon de Koch		Proposée par Mandelbrot en 1982, elle remplit le flocon de Koch. Elle est basée sur 7 similitudes de rapport 1/3 et 6 similitudes de rapport $\scriptstyle{1/3\sqrt{3}}$ .
$\textstyle{\frac {\ln(4)} {\ln(2)}}$	2	Tétraèdre de Sierpinski		Conséquence de sa dimension 2, sa surface reste inchangée d'itération en itération, et ce, jusqu'à l'infini.
$\textstyle{\frac {\ln(4)} {\ln(2)}}$	2	Fractale H	$H fractal2.png$	Également, l'arbre de Mandelbrot, qui a une structure similaire.
$\textstyle{\frac {\ln(1/2)} {\ln(\sqrt{2}/2)}}$	2	Arbre de Pythagore		Chaque carré génère deux carrés de côté réduit de racine(2)/2.
$\textstyle{\frac {\ln(4)} {\ln(2)}}$	2	Fractale en croix grecque	$Greek cross fractal stage 4.png$	Chaque segment est substitué par une croix formée de quatre segments.

2 < δ < 3

δ (val. exacte)	δ (val. approchée)	Nom	Illustration	Remarques
Mesuré	2.01 +-0.01	Attracteur de Rössler		La dimension fractale de l'attracteur de Rössler est légèrement supérieure à 2. Pour a=0,1, b=0,1, et c=14 elle est estimée entre 2,01 et 2,02..
Mesuré	2.06 +-0.01	Attracteur étrange de Lorenz		Pour les paramètres de l'attracteur: v=40, $σ$ =16 et b=4.
	2,3296	Dodécaèdre fractal	$Dodecaedron fractal.jpg$	Chaque dodécaèdre est substitué par 20 dodécaèdres.
$\textstyle{\frac {\ln(13)} {\ln(3)}}$	2,33	Surface quadratique de Koch en trois dimensions de type 1		Extension en trois dimensions de la courbe quadratique de Koch en deux dimensions de type 1 (la figure illustre la deuxième itération).
	2,47	Interstices des sphères apolloniennes		Baderne d'Apollonius en trois dimensions. Modélise la mie de pain ou l'éponge. Dimension calculée par M. Borkovec, W. De Paris et R. Peikert.
$\textstyle{\frac {\ln(32)} {\ln(4)}}$	2,50	Surface quadratique de Koch en trois dimensions de type 2		Extension en trois dimensions de la courbe quadratique de Koch en deux dimensions de type 2 (la figure illustre la deuxième itération).
$\textstyle{\frac {\ln(16)} {\ln(3)}}$	2,5237	Hypercube de Cantor	pas de représentation possible	Ensemble de Cantor en 4 dimensions. D'une manière générale, dans un espace de dimension n, l'ensemble de Cantor a une dimension fractale égale à $\scriptstyle n\frac{\ln(2)}{\ln(3)}$
$\textstyle{\frac {\ln(12)} {\ln(1+\phi)}}$	2,5819	Icosaèdre fractal	$Icosaedron fractal.jpg$	Chaque icosaèdre est substitué par 12 icosaèdres.
$\textstyle{\frac {\ln(6)} {\ln(2)}}$	2,5849	Octaèdre fractal	$Octaedron fractal.jpg$	Chaque octaèdre est substitué par 6 octaèdres.
$\textstyle{\frac {\log(6)} {\log(2)}}$	2.5849	Surface de Koch		Chaque triangle équilatéral est remplacé par 6 triangles deux fois plus petits. Extension en 2 dimensions de la courbe de Koch.
$\textstyle{\frac {\ln(6)} {\ln(2)}}$	2,59	Fractale en croix grecque en trois dimensions		Chaque segment est substitué par une croix en trois dimensions formée de 6 segments. Extension en trois dimensions de la croix en deux dimensions.
$\textstyle{\frac {\ln(20)} {\ln(3)}}$	2,7268	Éponge de Menger		Sa surface a une dimension fractale de $\scriptstyle \frac{\ln(12)}{\ln(3)} = 2,2618$ .

δ = 3

δ (val. exacte)	δ (val. approchée)	Nom	Remarques
$\textstyle{\frac {\ln(8)} {\ln(2)}}$	3	Courbe de Hilbert en trois dimensions	Courbe de Hilbert étendue à trois dimensions
$\textstyle{\frac {\ln(8)} {\ln(2)}}$	3	Courbe de Lebesgue en trois dimensions	Courbe de Lebesgue étendue à trois dimensions..
$\textstyle{\frac {\ln(8)} {\ln(2)}}$	3	Courbe de Moore en trois dimensions	Courbe de Moore étendue à trois dimensions.

Fractales aléatoires et naturelles

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