Complexité
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La complexité est une notion utilisée en philosophie, épistémologie (par exemple par Anthony Wilden ou Edgar Morin), en physique, en biologie (par exemple par Henri Atlan), en sociologie, en informatique ou en sciences de l’information. La définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) connaît des nuances importantes selon ces différents domaines.

La complexité (La complexité est une notion utilisée en philosophie, épistémologie (par exemple par Anthony Wilden ou Edgar Morin), en physique, en...) du point (Graphie) de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) de la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance...) de l’information

Une notion de complexité est définie en théorie de l'information.

Complexité de Kolmogorov

La théorie de la complexité (La théorie de la complexité s'intéresse à l'étude formelle de la difficulté des problèmes en informatique. Elle se distingue de la théorie de la calculabilité qui s'attache à...) de Kolmogorov définit la complexité d’un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une...) fini par la taille du plus petit programme informatique (Un programme informatique est une liste d'ordres indiquant à un ordinateur ce qu'il doit faire. Il se présente sous la forme d'une ou plusieurs séquences d'instructions, comportant souvent des données de base, devant être...) (au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du vieillissement, suivi de son...) théorique) qui permet de produire cet objet. Ainsi, un texte compressible a une faible complexité et contient peu d’information. C’est d’ailleurs pourquoi les utilitaires de compression généralistes ne peuvent pas comprimer des fichiers totalement aléatoires (opération par nature impossible), mais uniquement des fichiers dont on sait à l’avance qu’ils comportent une certaine redondance qui se traduit par des corrélations.

La complexité de Kolmogorov est un sujet discuté. On peut en effet toujours donner à un ordinateur (Un ordinateur est une machine dotée d'une unité de traitement lui permettant d'exécuter des programmes enregistrés. C'est un ensemble de circuits électroniques permettant de...) une construction telle qu’une opération très particulière (par exemple le calcul de pi ou l’impression de l’intégrale des œuvres de Victor Hugo) y sera codée par un bit. On retrouve ici la notion connue qu’une information n’est jamais contenue dans un message (La théorie de l'information fut mise au point pour déterminer mathématiquement le taux d’information transmis dans la communication d’un message par un canal de...) seul, mais toujours dans le couple message + décodeur pris de façon indissociable. Aussi la notion de " plus petit programme théorique " ne peut-elle être définie opérationnellement de façon rigoureuse et univoque qu'avec la référence à une machine. On pourrait objecter qu’il suffit de prendre comme référence la machine la plus simple. C’est oublier que ce que nous nommerons simple dépend justement de notre vécu et de notre langage, tous deux arbitraires. Voir les articles Rasoir d'Occam et Paradoxe (Un paradoxe est une proposition qui contient ou semble contenir une contradiction logique, ou un raisonnement qui, bien que sans faille apparente, aboutit à une absurdité, ou encore, une...) du compresseur : The library is the language ( " La bibliothèque est le langage ").

Une difficulté supplémentaire réside dans le fait que la complexité de Kolmogorov n'est pas décidable : on peut donner un algorithme produisant l'objet voulu, ce qui prouve que la complexité de cet objet est au plus la taille de cet algorithme. Mais on ne peut pas écrire de programme qui donne la complexité de Kolmogorov de tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) objet que l'on voudrait lui donner en entrée.

La notion, manipulée avec précaution, se révèle néanmoins à l'origine de nombreux résultats théoriques.

Par exemple, on appelle nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) incompressible au sens de Kolmogorov un réel dont le développement p-adique (binaire pour plus de commodité) est comparable à la taille de l'algorithme qui permet de le calculer. En ce sens, tous les rationnels et certains irrationnels sont compressibles, en particulier les nombres transcendants comme π, e ou 0,12345678910111213… dont le développement binaire est infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier...) mais la suite des décimales parfaitement calculable. En revanche, le nombre dit Ω de Chaitin ne l'est pas : ce nombre mesure la probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des probabilités est un sujet de grande importance donnant lieu à de...) qu'une machine, alimentée par un programme composé de bits aléatoires, s'arrête. La topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des...) des nombres incompressibles est intéressante : on conçoit intuitivement que cet ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) est dense dans R, mais il est impossible d'exhiber un réel incompressible, puisque cela reviendrait à en donner une méthode de calcul efficace. On peut donc conjecturer que tous les nombres incompressibles sont normaux, la suite de leurs décimales doit être aléatoire au sens fort, au moins à partir d'un certain rang ( Mathématiques En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par cette famille. Le théorème du rang lie le rang et la dimension du noyau d'une...).

Autres complexités

  • Voir complexité algorithmique (L'algorithmique est l’ensemble des règles et des techniques qui sont impliquées dans la définition et la conception d'algorithmes, c'est à dire de processus systématiques de...), complexité descriptive, système complexe.
  • Complexité P : La classe P est l'ensemble des problèmes de décisions qui sont résolubles par un algorithme à temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) polynomial.

La complexité du point de vue de la physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général...)

Intuitivement, un système est complexe lorsque beaucoup de ramifications le composent (donc il n'est pas forcément compliqué, puisqu'en le décomposant il peut être simple à comprendre). Deux critères permettent de caractériser plus finement cette notion : le nombre et l’indépendance des parties.

Le nombre et l’indépendance des parties

Un système complexe est composé d’un grand nombre de parties. Avec ce seul critère tous les systèmes matériels seraient complexes sauf les particules, les atomes (Un atome (du grec ατομος, atomos, « que l'on ne peut diviser ») est la plus petite partie d'un corps simple pouvant se combiner...), les petits ions et les petites molécules. Mais un système peut avoir un grand nombre de parties sans avoir un mouvement très compliqué, si toutes les parties bougent de la même façon par exemple. Le critère de l’indépendance des parties est destiné à exclure ces cas. Mais il est difficile à définir précisément.

Tant qu’on considère un solide comme un corps parfaitement rigide, ses parties ne sont pas indépendantes les unes des autres. Quelques nombres, quelques variables d’état suffisent pour caractériser complètement (Le complètement ou complètement automatique, ou encore par anglicisme complétion ou autocomplétion, est une fonctionnalité informatique permettant à l'utilisateur...) l’état de mouvement du solide : position du centre d’inertie, vitesse (On distingue :) de translation, vitesse de rotation. Le mouvement de chacune des parties est complètement déterminé par ces nombres. En revanche, si on étudie les vibrations du solide, les mouvements peuvent être beaucoup plus compliqués, parce que chaque partie peut avoir un mouvement différent des autres. Il en va de même pour un fluide (Un fluide est un milieu matériel parfaitement déformable. On regroupe sous cette appellation les gaz qui sont l'exemple des fluides compressibles, et les liquides, qui sont des fluides peu compressibles. Dans certaines conditions...). Pour décrire ces mouvements il faut beaucoup plus de variables d’état, un nombre infini en théorie. Dire ici que les parties sont indépendantes, ce n’est pas dire qu’elles n’interagissent pas avec les autres mais seulement que la connaissance de l’état d’une partie ne fournit pas ou peu d’informations sur l’état des autres parties.

Il y a une part de subjectivité et d'ambiguïté dans l’appréciation de l’indépendance des parties : un système mal connu peut sembler tout aussi bien complexe, car inexplicable, que très simple, en se contentant d'explications superficielles.

La complexité du réel

Les systèmes simples sont des objets d’études privilégiés. Pendant longtemps ils ont été les seuls systèmes pour lesquels on pouvait faire des calculs, mais ce n’est plus vrai maintenant, grâce aux ordinateurs. Ce sont aussi les seuls systèmes que l’on peut bien caractériser lors d’une expérience et c’est un point important pour la reproductibilité (La reproductibilité d'une expérience scientifique est une des conditions qui permet d'inclure les observations réalisées durant cette expérience dans le processus d'amélioration...) (le fait que l’on peut reproduire la même expérience plusieurs fois et obtenir toujours le même résultat). Cet intérêt de la simplicité explique en partie pourquoi on trouve dans tous les livres et les laboratoires de physique les mêmes géométries simples (cercle, sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les points situés à une même distance d'un point appelé centre. La...), cylindre (Un cylindre est une surface dans l'espace définie par une droite (d), appelée génératrice, passant par un point variable...), ...).

Les exemples étudiés dans les livres sont souvent simples mais la réalité l’est beaucoup moins. On peut dire qu’en première approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore assez significative pour être...) les systèmes complexes sont tous les systèmes. La complexité est la règle, la simplicité l’exception. La complexité est un défi pour les mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les...) appliquées : utiliser les mathématiques pour comprendre tout ce qui est sous nos yeux, ne pas se limiter à ce qu’on peut tracer à la règle et au compas.

Tous les systèmes réels sont complexes, ou presque tous. Mais plus un système est complexe, plus il est difficile de le connaître avec précision. Le nombre des combinaisons possibles par exemple pose problème. Comme les parties sont indépendantes, les états envisageables a priori sont toutes les combinaisons d’états des partie. L’explosion combinatoire (En mathématiques, la combinatoire, appelée aussi analyse combinatoire, étudie les configurations de collections finies d'objets ou les combinaisons d'ensembles finis, et les...) conduit à des nombres gigantesques de cas possibles, souvent plus que le nombre de particules dans l’univers connu, même pour des systèmes relativement peu complexes. La connaissance précise de l’état présent d’un système complexe pose également problème. Il y a beaucoup trop de variables d’état à mesurer. Les systèmes complexes sont souvent mal connus et ils réservent beaucoup de surprises (émergence de propriétés collectives, auto-organisation (L'auto-organisation est un phénomène de mise en ordre croissant, et allant en sens inverse de l'augmentation de l'entropie; au prix bien entendu d'une...), nombres de Feigenbaum (En mathématiques, les nombres de Feigenbaum ou constantes de Feigenbaum sont deux nombres réels découverts par le mathématicien Mitchell Feigenbaum en 1975. Tous deux expriment...) dans les systèmes chaotiques). L’Institut de Santa Fe, créé par plusieurs physiciens dont Murray Gell-Mann et dont le nom officiel est Institute for complexity, fait de l’étude de ce type de questions son activité (Le terme d'activité peut désigner une profession.) à plein temps.

La théorie générale des systèmes est parfois appelée systémique (La systémique - du grec « systema », « ensemble organisé » - est une méthode scientifique qui applique la théorie systémique comme moyen de comprendre...).

La redondance n'est pas la répétition à l'identique, mais le déploiement d'une multitude de versions différentes d'un même schéma ou motif (en anglais pattern).

Alors, il est possible de modéliser la complexité en termes de redondance fonctionnelle (En mathématiques, le terme fonctionnelle se réfère à certaines fonctions. Initialement, le terme désignait les fonctions qui en prennent d'autres en argument....), comme le restaurant chinois où plusieurs fonctions sont effectuées en un même endroit d'une structure.

Pour la complication, le modèle serait la redondance structurelle d'une usine où une même fonction est exécutée en plusieurs endroits différents d'une structure.

1 - La redondance structurelle désigne des structures différentes pour exécuter une même fonction, comme le double circuit de freinage d'une voiture automobile (Une automobile, ou voiture, est un véhicule terrestre se propulsant lui-même à l'aide d'un moteur. Ce véhicule est conçu pour le transport terrestre de personnes ou de marchandises, elle est équipée...) ou plusieurs ateliers différents ou usines différentes pour fabriquer une même pièce ou un même engin. La redondance structurelle caractérise la " complication ". La redondance structurelle s'illustre avec le double circuit de freinage pour plus de sécurité dans des véhicules automobiles modernes et avec les multiples circuits de commande (Commande : terme utilisé dans de nombreux domaines, généralement il désigne un ordre ou un souhait impératif.) électrique, hydraulique (L'hydraulique désigne la branche de la physique qui étudie les liquides. En tant que telle, les champs d'investigation qu'elle propose regroupent plusieurs domaines :) et pneumatique des engins de guerre pour les ramener au bercail avec leur équipage après des dégats du combat.

2 - La redondance fonctionnelle est celle de la multiplicité de fonctions différentes exécutées en un point d'une structure, comme un atelier d'artisan qui exécute différentes opérations sur différents matériaux (Un matériau est une matière d'origine naturelle ou artificielle que l'homme façonne pour en faire des objets.). La redondance fonctionnelle caractérise la " complexité " et condition de l'auto-organisation chez Henri Atlan. C'est la " variété " chez le neuropsychiatre Ross W. Ashby passé (Le passé est d'abord un concept lié au temps : il est constitué de l'ensemble des configurations successives du monde et s'oppose au futur sur une échelle des temps centrée sur le...) à la cybernétique (La cybernétique est une modélisation de l'échange, par l'étude de l'information et des principes d'interaction.).

La complication est de l’ordre de la redondance structurelle d’une configuration avec (cum) beaucoup de plis (latin : plico, are, atum : plier). La complication, multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .), duplication et réplication sont de la même série des plis et plissements. C'est la multiplicité des circuits de commande pour effectuer une même fonction.

La complexité est une configuration avec (cum) un nœud (plexus) d’entrelacements d’enchevêtrements. Alors, la complexité est de l’ordre de la redondance fonctionnelle, comme un restaurant qui présente un menu de 40 plats différents. Une machine à bois combinée d'artisan qui scie (Une scie est un outil destiné à couper le bois ou d'autres types de matériaux, constituée d'une lame dentée et actionnée par diverses moyens tels que la main, l'électricité, l'eau, etc.), rabote perce et tutti quanti est représentative de cette complexité, comme une perceuse (Une perceuse est une machine qui sert à percer des trous dans toutes sortes de matériaux.) électrique d'amateur avec une multiplicité d'accessoires pour différentes fonctions.

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