Courbure - Définition et Explications

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Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est une mesure quantitative du caractère " plus ou moins courbé " de cet objet. Par exemple :

  • dans le plan euclidien, une ligne droite est un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans...) à une dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce...) de courbure (Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est une mesure...) nulle, et un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale...) un objet de courbure constante positive.
  • dans l'espace euclidien (En mathématiques, un espace euclidien est un objet algébrique permettant de...) usuel à trois dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une...), un plan est un objet à deux dimensions de courbure nulle, et une sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une...) un objet à deux dimensions de courbure constante positive. Une " selle de cheval " possède au contraire un point (Graphie) de courbure négative.

Cette notion intuitive de courbure se précise et admet une généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de...) à des espaces de dimensions quelconques dans le cadre de la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...) riemannienne.

Comme l'a montré Gauss pour le cas des surfaces (theorema egregium), il est très remarquable que la courbure d'un objet géométrique puisse être décrite de façon intrinsèque, c’est-à-dire sans référence aucune à un " espace de plongement " dans lequel se situerait l'objet considéré. Par exemple, le fait qu'une sphère ordinaire soit une surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a...) à courbure positive constante est complètement (Le complètement ou complètement automatique, ou encore par anglicisme complétion ou...) indépendant du fait que nous voyons habituellement cette sphère comme étant plongée dans notre espace euclidien à trois dimensions. La courbure de cette sphère pourrait très bien être mesurée par des êtres intelligents bidimensionnels vivants sur la sphère (sortes de " fourmis bidimensionnelles "), à partir de mesures de longueurs et d'angles effectuées sur la sphère. La légende veut que Gauss s'interroge sur ces questions en étant confronté aux difficultés de cartographie (La cartographie désigne la réalisation et l'étude des cartes géographiques. Le...) de la Terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance...).

Courbure d'un arc

Tangente et cercle osculateur en un point P de la courbe C
Tangente et cercle osculateur en un point P de la courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du...) C

On peut définir la courbure d'un arc de l'espace euclidien à deux dimensions de plusieurs façons équivalentes. Il existe cependant deux conventions en usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.), l'une faisant de la courbure une quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire,...) obligatoirement positive, l'autre donnant une version algébrique de la courbure. Elle se calcule en chaque point de la courbe, moyennant certaines hypothèses sur les dérivées des fonctions servant à définir celle-ci.

La courbure quantité positive peut être vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et...) comme la norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un...) du vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet...) accélération (L'accélération désigne couramment une augmentation de la vitesse ; en physique,...) pour un mobile parcourant la courbe à vitesse (On distingue :) constante égale à 1. C'est aussi l'inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de...) du rayon du cercle osculateur, cercle venant épouser la courbe au plus près au voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la...) du point d'étude. En ce sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...), la courbure indique la propension de la courbe à se comporter comme un cercle de plus ou moins grand rayon, c’est-à-dire à former un virage plus ou moins serré.

Pour introduire des versions algébrisées de la courbure, il faut munir le plan et la courbe d'une orientation (Au sens littéral, l'orientation désigne ou matérialise la direction de l'Orient (lever du soleil...) et introduire un repère mobile adapté au mouvement : le repère de Frenet. Le signe de la courbure s'interprète alors comme l'indication (Une indication (du latin indicare : indiquer) est un conseil ou une recommandation, écrit...) du sens dans lequel est tournée la concavité de la courbe. La courbure désigne aussi la vitesse à laquelle les vecteurs du repère de Frenet tournent par rapport à une direction fixe.

La courbure peut ensuite être généralisée aux courbes gauches (courbes tracées dans l'espace à trois dimensions), mais les mêmes raisons qui empêchent d'orienter de façon compatible tous les plans de l'espace empêchent de définir une courbure algébrique ; elle est donc par convention toujours positive. La courbure s'accompagne alors d'un autre invariant, la torsion (La torsion est la déformation subie par un corps soumis à l'action de deux couples opposés...).

Courbure d'une surface de R3

Pour disposer de versions algébrisées de toutes les notions de courbure introduites, il convient de considérer une surface orientée.

Courbures principales

Illustration des courbures principales
Illustration des courbures principales

En un point M de la surface, on considère un plan tournant, perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en...) en M au plan tangent à la surface. Ce plan intersecte la surface considérée en une courbe. À chacune des courbes ainsi construite est associée sa courbure en M.

Les valeurs minimum et maximum de la courbure portent le nom de courbures principales. En général, elles sont différentes et, dans ce cas, les plans correspondant aux deux courbures principales sont perpendiculaires entre eux. Leur intersection avec le plan tangent définit les directions principales.

Courbures principales et directions principales sont respectivement les valeurs propres et vecteurs propres d'un endomorphisme symétrique du plan tangent. Ce dernier, l'endomorphisme de Weingarten, s'obtient à partir de la différentielle de l'application de Gauss.

Courbure moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de...)

On appelle courbure moyenne \gamma \, la moyenne des courbures principales, soit \gamma=\frac {\gamma_{max}+\gamma_{min}}{2} \,

Il s'agit de la trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le...) de l'endomorphisme de Weingarten.

Courbure de Gauss

On appelle courbure de Gauss \gamma \, le produit des courbures principales, soit \gamma=\gamma_{max}.\gamma_{min} \,

Il s'agit du déterminant de l'endomorphisme de Weingarten.

Courbure totale

La courbure totale d'une surface orientée S de l'espace est l'intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé...) de la courbure de Gauss sur la surface. Elle s'interprète également comme l'aire (algébrique) balayée par le vecteur normal unitaire sur la sphère unité.

Courbure d'une variété riemanienne

En géométrie riemannienne, la courbure est un tenseur (Tenseur) introduit à partir de la notion de connexion. Cet objet s'est dégagé comme le plus pertinent, mais il peut être difficile à appréhender en raison du formalisme nécessaire à son introduction. La courbure sectionnelle d'une variété riemannienne, d'abord plus simple, véhicule (Un véhicule est un engin mobile, qui permet de déplacer des personnes ou des charges d'un...) autant d'information que le tenseur de courbure, et permet de faire le lien avec la courbure de Gauss.

Courbure sectionnelle

On définit une courbure sectionnelle pour chacun des 2-plans inclus dans chacun des espaces tangents d'une variété riemannienne. Si P est un tel plan en un point m, on considère en premier lieu la famille des géodésiques issues de m selon les vecteurs de P. Cette famille constitue une surface paramétrée incluse dans la variété, image du 2-plan par l'application exponentielle (La fonction exponentielle est l'une des applications les plus importantes en analyse, ou plus...).

La courbure sectionnelle du 2-plan est alors la courbure de Gauss de cette surface. Formellement, la collection de toutes les courbures sectionnelles constitue une application sur la grassmannienne des 2-plans, à valeurs réelles.

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) du tenseur de courbure

Soit une variété affine (En mathématiques, affine peut correspondre à :) M de dimension n, c'est-à-dire une variété munie d'une connexion affine \nabla. À partir de cette connexion, on définit le tenseur de courbure, ou tenseur de Riemann \mathcal{R}. Ce tenseur est défini pour X, Y et Z champs de vecteurs sur la variété par :

\mathcal{R}(X,Y)Z \ = \ \nabla_X\nabla_Y Z \ - \ \nabla_Y\nabla_X Z \ - \ \nabla_{[X,Y]}Z,

où [X, Y] est le crochet de Lie de X et Y. \mathcal{R}(X,Y) est un champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) d'endomorphisme de l'espace fibré (En mathématiques, un espace fibré est la donnée d'un espace topologique appelé...) tangent TM : à tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) champ de vecteur Z, il associe un nouveau champ de vecteur noté R(X, Y)Z.

Introduction d'une métrique

On munit la variété affine M d'un tenseur métrique (Tenseur) g : (M,g) est alors une variété riemannienne, et on peut définir une courbure à valeurs réelles par :

\mathcal{R}(X,Y,Z,W) \ = \ g(\mathcal{R}(X,Y)Z,W).

En composantes dans une base locale \vec{e}_{\mu}, \mathcal{R}(X,Y)Z est le vecteur qui s'écrit :

\mathcal{R}(X,Y)Z \ = \ R^{\mu}_{~~ \nu \rho \sigma} \ X^{\nu} \ Y^{\rho} \ Z^{\sigma} \ \vec{e}_{\mu}.

où les R^{\mu}_{~~ \nu \rho \sigma} sont les composantes du tenseur de courbure. On a alors :

g(\mathcal{R}(X,Y)Z,W) \ = \ g_{\mu \lambda} \ R^{\mu}_{~~ \nu \rho \sigma} \ X^{\nu} \ Y^{\rho} \ Z^{\sigma} \ W^{\lambda} \ = \ W_{\mu} \ R^{\mu}_{~~ \nu \rho \sigma} \ X^{\nu} \ Y^{\rho} \ Z^{\sigma}

En prenant sa trace (par rapport à X et Y), on obtient le tenseur de courbure de Ricci, et en prenant la trace de celui-ci, on obtient la courbure scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les...) (qui est une fonction de M dans \mathbb{R}).

Courbure de Ricci

Courbure scalaire

Exemples

  • Pour l'espace euclidien, la courbure scalaire est nulle.
  • Pour la sphère de dimension n rayon un, la courbure scalaire vaut n(n − 1).
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