Liste de fonctions mathématiques - Définition

En mathématiques, certaines fonctions ou ensembles de fonctions sont suffisamment importants pour posséder un nom à part entière.

Cet article n'est pas une énumération de toutes les fonctions de l'analyse. En particulier, on se limite ici à des fonctions à une seule variable. Il s'agit en revanche d'une liste de quelques fonctions (les plus courantes), avec des références à des articles qui expliquent ces fonctions de façon plus détaillée.

Fonctions élémentaires

Les fonctions élémentaires sont des fonctions construites à partir des fonctions algébriques et transcendantes.

Voir aussi l'article Fonctions usuelles.

Fonctions algébriques

Les fonctions algébriques sont des fonctions qui peuvent être exprimées comme solution d'une équation polynômiale à coefficients entiers.

• Fonction identité : la fonction la plus élémentaire ;
• Fonctions polynômes : sommes de monômes, c'est-à-dire de produits de scalaires par une puissance entière naturelle de la variable ;
• Fonctions puissance : à rattacher aux fonctions polynômes, elles élèvent un nombre strictement positif à une puissance réelle quelconque. En particulier :
  • Les puissances négatives sont les inverses des puissances positives ;
  • Les puissances inverses sont les fonctions réciproques des puissances de départ (par exemple, la fonction racine carrée produit un nombre dont le carré est le nombre donné) ;
• Fonctions rationnelles : rapports de polynômes.

Fonctions transcendantes

Les fonctions transcendantes sont des fonctions qui ne sont pas algébriques.

• Fonctions exponentielles : permettent d'élever un nombre fixe à une puissance variable.
• Fonctions logarithmiques : permettent de remplacer les multiplications par des additions ; ce sont les applications réciproques des fonctions exponentielles ; elles sont utiles pour résoudre des équations qui impliquent des exponentielles.
• Fonctions circulaires ou trigonométriques : ce sont les fonctions sinus, cosinus, tangente, cotangente, sécante, et cosécante ; elles sont utilisées en mécanique pour décrire des phénomènes périodiques.
• Fonctions hyperboliques : formellement similaires aux fonctions trigonométriques, elles peuvent s'exprimer sous forme de sommes d'exponentielles.
• Fonction valeur absolue : la valeur absolue d'un nombre réel est une valeur réelle toujours positive. Elle est égal au nombre réel si celui-ci est positif et à son opposé s'il est négatif.
• Fonction partie entière : le plus grand nombre entier inférieur à un nombre donné. Cette fonction est également appelée fonction escalier.

Fonctions spéciales

Fonctions de base

• Fonction indicatrice : associe à x, 0 ou 1 selon que x appartient ou non à un sous-ensemble.
• Fonction échelon : combinaison linéaire finie de fonctions indicatrices sur des intervales demi-ouverts :
  • Fonction de Heaviside : 0 pour les valeurs négatives, 1 pour les valeurs positives.
  • Fonction signe : retourne le signe d'un nombre.
• Fonction δ de Dirac : pas, à proprement parler, une fonction mais une distribution.

Théorie des nombres

• fonctions σ _k : sommes des puissances k-ième des diviseurs d'un entier naturel donné.
• Indicatrice d'Euler : le nombre d'entiers premiers avec un nombre donné (sans facteur premier commun) et inférieurs à celui-ci.
• Fonction de compte des nombres premiers : nombre de nombres premiers inférieurs à un nombre donné.
• Fonction partage d'un entier : nombre de façons différentes mais non ordonnées, de représenter un entier naturel donné, comme une somme d'entiers naturels.

Primitives de fonctions élémentaires

• Logarithme intégral Li : primitive de l'inverse du logarithme, importante dans le théorème des nombres premiers.
• Sinus intégral Si
• Cosinus intégral Ci
• Exponentielle intégrale
• Fonction d'erreur

Fonctions gamma et associées

• Fonction gamma : généralisation de la factorielle, dont dérivent :
  • Fonction digamma ψ ( z ) ,
  • Fonction beta B ( p , q ) .
  • Fonction polygamma
  • Fonction gamma incomplète
  • Fonction beta incompète
  • Fonction gamma multivariable
• G-fonction de Barnes
• K-fonction

Fonctions elliptiques

• Intégrales elliptiques : importantes dans beaucoup d'applications, on les rencontre par exemple en étudiant les ellipses.
• Fonctions elliptiques : réciproques des fonctions intégrales elliptiques ; utilisées pour modeler des phénomènes doublement périodiques.

Fonctions de Bessel et associées

• Fonctions de Bessel : définies par une équation différentielle, et utile en astronomie et en mécanique :
  • de première espèce J _ν ( z ) ;
  • de deuxième espèce Y _ν ( z ) , dites aussi fonctions de Neumann ;
  • de troisième espèce H _ν ( z ) , dites aussi fonctions de Hankel
• Fonctions de Kelvin-Bessel ber ( z ) , bei ( z ) , ker ( z ) et kei ( z ), dérivées des précédentes.
• Fonctions sphériques ou fonctions de Legendre Y _n ( θ , φ ) : utilisées dans la résolution de problèmes à potentiel central en coordonnées sphériques.
• Fonction d'Airy.

Fonctions zeta

• Fonction zeta de Riemann : un cas particulier de fonctions L (qui sont un cas particulier de séries de Dirichlet).

Fonction hypergéometriques

• Fonction hypergéométrique

Fonctions diverses

• Fonctions cylindro-paraboliques ou fonctions de Weber-Hermite.
• Fonctions de Mathieu.
• Fonction d'erreur de Gauss.
• Fonction W de Lambert : réciproque de la fonction f vérifiant f(w) = w exp (w).