Ruban de Möbius
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Le ruban de Möbius est une curiosité topologique très facile à confectionner, comme le montre le schéma ci-dessous.

Réalisation à partir d'une bande de papier
Réalisation à partir d'une bande de papier

Il suffit d'utiliser une longue bande de papier (Le papier (du latin papyrus) est une matière fabriquée à partir de fibres cellulosiques végétales et animales. Il se présente sous forme de feuilles minces et est considéré comme un...), de lui faire subir une torsion (La torsion est la déformation subie par un corps soumis à l'action de deux couples opposés agissant dans des plans parallèles.) d'un demi-tour puis de coller les deux extrémités. On découvre alors une surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet...) ayant deux propriétés inattendues : cette surface ne possède qu'une seule face et qu'un seul bord. En mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les...) on parle de surface non orientable.

Si l'on coupe le ruban en deux dans le sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie...) de la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet complètement...), on obtient un anneau unique, vrillé, mais qui possède deux faces distinctes et deux bords distincts.
Si on le recoupe dans le sens de la longueur, on obtient... deux anneaux distincts, vrillés et entortillées l'un sur l'autre.

Cet objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une étiquette verbale. Il est défini par...) a été conçu simultanément en 1858 par le mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale....) allemand August Ferdinand Möbius et par son compatriote Johann Benedict Listing, bien que ne travaillant pas ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une...).
Le nom du premier fut retenu grâce à un mémoire (D'une manière générale, la mémoire est le stockage de l'information. C'est aussi le souvenir d'une information.) présenté à l'Académie des sciences (Une académie des sciences est une société savante dont le rôle est de promouvoir la recherche scientifique en réunissant certains des chercheurs les plus éminents, en tenant des séances au cours desquelles des travaux sont...) à Paris (Paris est une ville française, capitale de la France et le chef-lieu de la région d’Île-de-France. Cette ville est construite sur une boucle...).
On trouve également les dénominations de bande, anneau ou ceinture de Möbius ou de Moebius, notamment dans les traductions.

Le ruban de Möbius (Le ruban de Möbius est une curiosité topologique très facile à confectionner, comme le montre le schéma ci-dessous.) alimente également, de par sa particularité, des débats en philosophie. Les spéculations dont il peut faire l'objet ont ainsi inspiré le célèbre psychanalyste (Un psychanalyste est un professionnel, généralement et de plus en plus, un psychiatre ou un psychologue qui a lui-même été en cure psychanalytique puis qui a été agréé par des...) Jacques Lacan.

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) par torsion d'une bande dans l'espace

Plan de montage du ruban
Confection du ruban
Confection du ruban
Schématisation du montage : recoller les deux flèches en respectant le sens
Schématisation du montage : recoller les deux flèches en respectant le sens

Ruban de Möbius classique

Le ruban de Möbius peut être engendré par un segment pivotant dont le centre décrit un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle....) fixe. Un paramétrage (En mathématiques, le paramétrage est un des procédés fondamentaux de définition des courbes, surfaces, et plus généralement des variétés.) correspondant est

\begin{cases}x=(2+t \cos v ) \cos 2v \\y= (2+t \cos v ) \sin 2v  \\ z=t \sin v \end{cases} \qquad \begin{matrix} -1\leq t\leq 1\\ 0 < v \leq \pi\end{matrix}

Les courbes v = v0, t variant seul, sont bien des segments, reliant à vitesse (On distingue :) uniforme le point (Graphie) v = v0, t = - 1 et le point v = v0, t = 1. Ce segment est donc de longueur 2.

La courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes...) t = 0 est un cercle de rayon 2 dans le plan horizontal ; elle représente la trajectoire (La trajectoire est la ligne décrite par n'importe quel point d'un objet en mouvement, et notamment par son centre de gravité.) du centre des segments. L'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) que fait le segment avec la direction horizontale est v0. Lorsque le centre a fait un tour complet sur le cercle horizontal (Horizontal est une orientation parallèle à l'horizon, et perpendiculaire à la verticale. Une ligne horizontale va « de la gauche vers la droite » ou vice...) (ajout de π à la varible v), le segment a fait un demi-tour seulement. Ce qui provoque le raccordement par exemple du point t = 1, v = π avec t = - 1, v = 0.

Le bord du ruban est donné par la courbe t = 1 ou t = - 1. Mais c'est la même courbe : le bord du ruban de Möbius est en un seul morceau (connexe).

Ruban de Möbius animé

Autres figures obtenues par torsion

Des variantes du ruban classique peuvent s'obtenir en faisant subir à la bande de papier un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) impair de demi-tours de sens direct ou rétrograde ( On dit d'un objet du système solaire qu'il a un mouvement rétrograde s'il effectue une révolution autour de son corps. Le terme rétrograde est synonyme...). Il suffit d'ajuster le paramétrage précédent :

Variante du ruban de Möbius
\begin{cases}x=(2+t \cos kv ) \cos 2v \\y= (2+t \cos kv ) \sin 2v  \\ z=t \sin kv \end{cases} \qquad \begin{matrix} -1\leq t\leq 1\\ 0 < v \leq \pi\end{matrix}

avec k\, entier relatif impair.

Variante du Ruban de Möbius animé

Les figures obtenues pour k et -k sont énantiomorphes, c'est-à-dire des images miroirs l'une de l'autre.

Si l'on accepte des valeurs paires de k on obtient des rubans à deux faces, plus ou moins entortillés.

Comparaison des différents rubans

On peut s'intéresser à la courbe formant (Dans l'intonation, les changements de fréquence fondamentale sont perçus comme des variations de hauteur : plus la fréquence est élevée, plus la hauteur perçue est haute et inversement. Chaque voyelle se caractérise par...) le bord de ces rubans. Elle a un entortillement (L'entortillement est une caractéristique d'une courbe fermée sans point double dans l'espace . On peut aussi utiliser le terme vrille. Comme son nom l'indique, ce nombre...) différent pour chaque valeur de k. L'entortillement se calcule par exemple en projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la surface plane d'une carte.) (vue de dessus), en comptant le nombre de fois où la courbe passe au-dessus d'elle-même. On ne peut déformer continûment (c'est-à-dire par homotopie) un type de ruban en un autre dans l'espace de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son...) 3.

Pourtant les différents rubans sont homéomorphes au ruban de Möbius classique, c’est-à-dire qu'il n'y a pas de différence intrinsèque entre eux. Celle-ci est liée à la façon dont ils sont plongés dans l'espace de dimension 3.

Le ruban de Möbius à un demi-tour peut également être vu comme une partie de la surface de Möbius.

Calcul de longueur du ruban

Le ruban de Möbius peut se réaliser avec un ruban flexible de l'épaisseur d'une feuille (La feuille est l'organe spécialisé dans la photosynthèse chez les végétaux supérieurs. Elle est insérée sur les tiges des plantes au niveau des nœuds. À l'aisselle de la...) de papier de 70 gr par exemple. Pour obtenir un ruban sans pliage brusque, il faut que, pour une largeur (La largeur d’un objet représente sa dimension perpendiculaire à sa longueur, soit la mesure la plus étroite de sa face. En géométrie plane, la largeur est la plus petite des deux mesures d'un...) de ruban égale à 1, la longueur soit supérieure à 1,732 - soit la racine carrée (La racine carrée d’un nombre réel positif x est le nombre positif dont le carré vaut x. On le note ou x½; dans cette expression, x est appelé le radicande.) de 3. Il est possible d'aller vers plus petit en longueur jusqu'à faire se rejoindre, avec un renversement hélicoïdal, les côtés opposés d'un carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la...), mais les pliages seront brusques.

Définition par identification abstraite

Mathématiquement, on peut définir le ruban comme l'ensemble quotient de l'ensemble \R \times [-1,1] \,\! par la relation d'équivalence définie par : (x,y) \sim (x',y') \,\! si et seulement si \exists k \in \Z \, ; \, (x',y') = (x+k,(-1)^k y) \,\!, muni de la topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures).) quotient. Par comparaison, un ruban " normal " (tronc de cylindre) serait défini par la relation \exists k \in \Z \, ; \, (x',y') = (x+k, y) \,\!.

Cela permet de voir mathématiquement ce qui se passe quand on découpe le ruban : si p:\R \times [-1,1] \rightarrow \R \times [-1,1]/\Z est l'application de passage au quotient, p(\R \times \{0\}) est un cercle dont le complémentaire est connexe.

On peut aussi réaliser le ruban de Möbius comme le complémentaire d'un disque (Le mot disque est employé, aussi bien en géométrie que dans la vie courante, pour désigner une forme ronde et régulière, à l'image d'un palet — discus en latin.) ouvert dans le plan projectif réel (vu comme la sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les points situés à une même distance d'un point...) après idendification des points diamètralement opposés).

Le ruban de Möbius est le logo universel des matériaux recyclables depuis 1970
Le ruban de Möbius est le logo universel des matériaux (Un matériau est une matière d'origine naturelle ou artificielle que l'homme façonne pour en faire des objets.) recyclables depuis 1970

Symbolique

Une version schématisée du ruban de Möbius est utilisée comme logo des matières recyclables depuis le premier Jour (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la période entre deux nuits, pendant laquelle les rayons du Soleil éclairent le ciel. Son début...) de la Terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance croissante au Soleil, et la quatrième par taille et par masse croissantes. C'est la...) en 1970. La boucle Möbius indique qu'un produit peut être recyclé, ou qu'il a été fabriqué à partir de matériaux recyclés. Il s'agit en fait d'un ruban à trois demi-tours.

Adaptations artistiques

Films 

Thru the Moebius Strip, film entièrement numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information ayant été quantifiée et échantillonnée, par opposition à une information dite...) de 80 minutes ( Forme première d'un document : Droit : une minute est l'original d'un acte. Cartographie géologique ; la minute de terrain est la carte originale, au crayon, levée sur...) réalisé par Frank Foster (Norman Foster, Baron Foster of Thames Bank, OM (1er juin 1935, Manchester) est un architecte britannique. Émule de Buckminster Fuller, Foster est l'un des principaux...) à Global Digital Productions (Hong Kong). Le film est sorti aux Etats-Unis en 2005.

Séries 

La particularité de ce phénomène a aussi été utilisée dans un épisode d'Ulysse 31.

Moebius est également le nom du double épisode final de la saison (La saison est une période de l'année qui observe une relative constance du climat et de la température. D'une durée d'environ trois mois (voir le tableau Solstice et Équinoxe...) 8 de Stargate SG-1.

Jeux Vidéo 
  • Mobius est également le "codename" du pilote, et accessoirement le héros que vous contrôlez dans le jeu Ace Combat 4 : Distant Thunder. Son nom de code complet est "Mobius 1", et son insigne personnel un ruban de Möbius.
  • Mobius Ring est une course (Course : Ce mot a plusieurs sens, ayant tous un rapport avec le mouvement.) des jeux F-Zero AX et F-Zero GX sortis en Arcade et sur Gamecube.
Romans 

Dans 2010, Odyssée deux, l'aberration de comportement de l'ordinateur (Un ordinateur est une machine dotée d'une unité de traitement lui permettant d'exécuter des programmes enregistrés. C'est un ensemble de circuits électroniques permettant de manipuler des...) HAL 9000 est désignée comme une "boucle de Hofstadter-Möbius".

Représentation 

Un énorme anneau de Möbius est représenté sous forme de sculpture à Lille, dans le quartier de Wazemmes (Wazemmes est un quartier populaire de Lille. Initialement un village, il a été raccordé à la commune de Lille sous le Second...). Cette sculpture, créée par Marco Slinckaert occupe le centre d'un rond-point (Un rond-point est une place circulaire (ronde, ovale ou polygonale) ou demi-circulaire. Un édicule (statue, fontaine, etc.) est généralement placé en son centre. Bien que l'abus de...) en face de la CPAM. Elle est aussi appelée serpent par sa grande ressemblance.

Maurits Cornelis Escher, graveur et dessinateur (Un dessinateur est une personne pratiquant le dessin. Le dessin résultant du travail d'un dessinateur peut être : artistique, statique, ou une base de travail pour d'autres professionnels.) néerlandais (1898-1972), a fait de nombreuses études sur le ruban de Möbius.

La bande de Möbius outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son efficacité naturelle dans l'action. Cette augmentation se traduit par la simplification...) de réflexion

Dans le vocabulaire de Jacques Lacan : 1962/63 - L'angoisse - 09/01/63 - Qu'est-ce qui fait qu'une image spéculaire est distincte de ce qu'elle représente ? c'est que la droite devient la gauche et inversement. - Une surface à une seule face ne peut pas être retournée. - Ainsi une bande de Mœbius, si vous en retournez une sur elle-même, elle sera toujours identique à elle-même. C'est ce que j'appelle n'avoir pas d'image spéculaire.

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