Ellipse (mathématiques)
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section du cône ou projection du cercle
section du cône ou projection du cercle

Une ellipse est, en mathématiques, une courbe plane fermée obtenue par la projection d’un cercle sur un plan sécant, ou par l’intersection d’un cône droit avec un plan non perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. Le terme de perpendiculaire vient du latin per-pendiculum (fil à plomb) et justifie la généralisation de la notion de...) à son axe. Le cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du...) est considéré comme un cas particulier d’ellipse.

C’est donc la forme qu'on perçoit en regardant un cercle en perspective, ou la figure formée par l’ombre d'un disque (Le mot disque est employé, aussi bien en géométrie que dans la vie courante, pour désigner une forme ronde et régulière, à l'image d'un palet — discus en latin.) sur une surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent abusivement...) plane (La plane est un outil pour le travail du bois. Elle est composée d'une lame semblable à celle d'un couteau, munie de deux poignées, à chaque extrémité de la lame....).

En géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures...), elle est le lieu dont chacun des points est tel que la somme des distances à deux points fixes, dits foyers, est constante (sa construction par la méthode du jardinier est très simple).

Les trajectoires des corps célestes (planètes, comètes ou satellites (Satellite peut faire référence à :) artificiels) en orbite (En mécanique céleste, une orbite est la trajectoire que dessine dans l'espace un corps autour d'un autre corps sous l'effet de la gravitation.) autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter, soit constituent les 5 genres Erythrotriorchis, Kaupifalco,...) d'une étoile (Une étoile est un objet céleste émettant de la lumière de façon autonome, semblable à une énorme boule de plasma comme le Soleil, qui est l'étoile la plus proche de la Terre.) ou d’une autre planète (Une planète est un corps céleste orbitant autour du Soleil ou d'une autre étoile de l'Univers et possédant une masse suffisante pour que sa gravité la maintienne en équilibre hydrostatique, c'est-à-dire sous...) sont des ellipses en première approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore assez significative pour être utile. Bien qu'une...) (voir problème à deux corps et problème à N corps).

Une ellipse est une conique (Les coniques constituent une famille très utilisée de courbes planes algébriques, qui peuvent être définies de plusieurs manières différentes, toutes équivalentes entre elles.) d'excentricité (Cet article décrit l'excentricité en mathématiques et en psychologie.) strictement comprise entre 0 et 1.

Définitions géométriques

Section d’un cône

L’ellipse est une courbe plane (En géométrie, une courbe plane est une courbe qui est entièrement contenue dans un (unique) plan, et qui est identifiable à une fonction continue :) qui fait partie de la famille des coniques. Elle est obtenue par l’intersection d'un plan avec un cône de révolution lorsque ce plan traverse (Une traverse est un élément fondamental de la voie ferrée. C'est une pièce posée en travers de la voie, sous les rails, pour en maintenir l'écartement et l'inclinaison, et transmettre au...) de part en part le cône. Le cercle est alors un cas particulier de l'ellipse (plan de coupe perpendiculaire).

Directrice et foyer

Construction d'une ellipse par foyer et directrice. Excentricité 1/2
Construction d'une ellipse par foyer et directrice. Excentricité 1/2

Le cadre est l'espace affine (Historiquement, la notion d’espace affine est issue du choc dû à la découverte de nouvelles géométries parfaitement cohérentes, mais différant de celle d'Euclide par l'axiome des parallèles. Elles...) euclidien de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou...) 2. Soient (d) une droite, F un point (Graphie) n'appartenant pas à (d), e un réel dans ]0,1[. Soit P le plan affine (En mathématiques, affine peut correspondre à :) déterminé par (d) et F. On appelle ellipse de droite directrice (d), de foyer F d'excentricité e l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui...) des points M du plan P vérifiant :

\frac{d(M,F)}{d(M,(d))} = e

d(M,F) mesure la distance du point M au point F et d(M,(d)) = d(M,H) celle de M à la droite (d).

Notons K le projeté orthogonal de F sur (d). (KF) est alors clairement un axe de symétrie de l'ellipse appelé axe focal.

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) bifocale de l'ellipse

Soient F et F' deux points distincts du plan. On appelle ellipse de foyers F et F', l'ensemble des points M du plan vérifiant la propriété suivante :

d(M,F) + d(M,F') =2a=2\sqrt{c^2+b^2} \qquad a \in\mathbb{R}^*_+,\quad b \in\mathbb{R}^*_+

2a est la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme...) du grand axe (En géométrie, le grand axe d'une ellipse est un paramètre utilisé pour décrire la dimension de cette conique. Le demi-grand axe est la moitié du grand axe.), 2c = d(F,F') et 2b est la longueur du petit axe (Le plus petit diamètre d'une ellipse est son petit axe. Il traverse l'ellipse à mi-chemin entre ses foyers et perpendiculairement à la ligne qui lie ceux-ci.) (perpendiculaire au grand axe).

Image d'un cercle par une affinité

L'ellipse et les deux cercles de l'affinité
L'ellipse et les deux cercles de l'affinité

Soient (C1) un cercle de centre O et de rayon a, (C2) un cercle de centre O et de rayon b (b < a) et (xx') une droite passant par O. On appelle ellipse de centre O, de demi-grand axe a et de demi-petit axe b l'image du cercle (C1) par l'affinité d'axe (xx'), de direction perpendiculaire à (xx') et de rapport b /a.

Pour construire le point M de l'ellipse, image du point m1 du grand cercle (En géométrie, un grand cercle est un cercle tracé à la surface d'une sphère qui a le même diamètre qu'elle et la divise en deux hémisphères égaux. D'une manière...), on construit le point m2 du cercle (C2) situé sur [Om1]. On mène par m1 une perpendiculaire à (xx') et par m2 une parallèle à (xx'). Les droites se coupent en M. En effet, si m' est le projeté orthogonal de m1 sur (xx'), on a, d'après le théorème de Thalès (Le théorème de Thalès est un théorème de géométrie, attribué selon la légende au mathématicien et philosophe grec Thalès de Milet ; en réalité Thalès s'est davantage intéressé aux angles opposés dans des...),

\frac{m'M}{m'm_1} = \frac{Om_2}{ Om_1 } = \frac{b}{a}

Construction par le cercle directeur

Ellipse et une portion de son cercle directeur
Ellipse et une portion de son cercle directeur

Soient F et F' deux point distincts, (C) un cercle de centre F' et de rayon 2a (2a > FF').

On appelle ellipse de cercle directeur (C) et de foyer F, l'ensemble des centres des cercles tangents à (C) et passant par F.

Pour construire le point M, centre du cercle tangent à (C) en m, on trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le champ magnétique à petite échelle du Soleil et la géométrie du plasma coronal, à travers des...) la médiatrice (En géométrie plane, la médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités du segment. Cet ensemble...) du segment [Fm], elle rencontre le rayon [F'm] en M.

Propriétés géométriques

Éléments de symétrie

L'" axe focal ", aussi appelé " grand axe ", passant par le foyer et perpendiculaire à la directrice, est axe de symétrie de l'ellipse; de même pour le petit axe, perpendiculaire au grand axe et passant par le "centre de l'ellipse", milieu de [FF']. L'intersection du grand axe et du petit axe, centre de l'ellipse, est un centre de symétrie.

Les points d'intersection de l'ellipse avec son grand axe sont appelés sommets principaux, ceux de l'ellipse avec son petit axe sont dits secondaires.

Tangente et bissectrice (La bissectrice d'un secteur angulaire est la demi-droite issue du sommet de l'angle qui partage cet angle en deux angles adjacents de même mesure. Elle forme de ce fait...)

La bissectrice du secteur angulaire formé par les droites reliant un point de l'ellipse aux foyers est perpendiculaire à la tangente en ce point.
La bissectrice du secteur angulaire formé par les droites reliant un point de l'ellipse aux foyers est perpendiculaire à la tangente en ce point.

Soit une ellipse dont les foyers sont F et F'. En un point M de cette ellipse, considérons la bissectrice du secteur angulaire(FMF'). Alors, cette bissectrice est perpendiculaire à la tangente en M.

Cette propriété est utilisée en optique géométrique (L'optique géométrique est une branche de l'optique, comme le sont l'optique ondulatoire (souvent appelée optique physique) et l'optique quantique. Ces approches ne sont pas opposées, mais complémentaires. L'optique...) dans les miroirs elliptiques : un rayon lumineux qui passe par un des foyer, lorsqu'il est réfléchi, passe par l'autre foyer. Ainsi, si l'on met une ampoule à un foyer d'un miroir (Un miroir est un objet possédant une surface suffisamment polie pour qu'une image s'y forme par réflexion et conçu à cet effet. C'est souvent une couche...) elliptique, le faisceau lumineux se concentre sur l'autre foyer.

Ceci explique également le fait que les sons se propagent très bien d'un quai à l'autre du métro (Un métro, apocope du terme métropolitain lui-même abréviation de chemin de fer métropolitain, est un chemin de fer urbain souterrain le plus souvent, sur viaduc quelquefois, au sol rarement.) parisien. En effet, la plupart des stations ont une forme elliptique. Si la source d'un son se trouve à un des foyers, tous les sons réfléchis vont converger vers l'autre foyer (sur l'autre quai). Cette propriété possédée par l'ellipse est aussi appelée " propriété de réflexivité " et s'explique en se servant de la tangente en un point de l'ellipse: de cette façon, un son ou un rayon lumineux émis d'un des foyers sera réfléchi sur l'autre foyer. Cette propriété est exploitée dans la conception de certains instruments d'optique (L'optique est la branche de la physique qui traite de la lumière, du rayonnement électromagnétique et de ses relations avec la vision.). Elle est évidemment présente dans une galerie à écho, c'est-à-dire dans une pièce dont le plafond (Par extension, un plafond représente le maximum de quelque chose :), par sa forme elliptique, fait qu'une personne qui chuchote en l'un des foyers est entendue en l'autre foyer. La rotonde du Capital Building à Washington et le Mormon Tabernacle à Salt Lake City sont des exemples de cette sorte de galerie. (Extrait du livre d'Analyse 5e édition, de SWOKOWSKI, traduit de l'anglais par Micheline (Une micheline est un autorail léger, dont les roues sont équipées de pneus spéciaux, mis au point par la société Michelin dans les années 1930.) Citta).

Rapport entre les grandeurs

Si l'ellipse est définie par son excentricité e et la distance h entre le foyer et la directrice, alors

p = ehp est le paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte pour prendre une décision ou pour effectuer un calcul.) de l'ellipse.
a = {p \over 1-e^2}a est la longueur du demi-grand axe.
b = {p \over \sqrt{1-e^2}}b est la longueur du demi-petit axe.
c = ae = {ep\over 1 - e^2}c est la distance entre le foyer et le centre.

Si l'ellipse est donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un...) par ses demi-axes a et b

c = \sqrt{a^2-b^2}c est la distance entre le foyer et le centre.
e = {c\over a}e est l'excentricité, e strictement compris entre 0 et 1.
p = {b^2\over a}p est le paramètre de l'ellipse.
h = {p\over e}={b^2\over c}h est la distance entre le foyer et la directrice.

Équations caractéristiques

Équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à certaines des...) cartésienne

Dans le repère défini par le grand axe et le petit axe de l'ellipse, son équation est:

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

Si une ellipse n'est pas centrée à l'origine d'un système de coordonnées x-y, mais que son grand axe et son petit axe restent parallèles aux axes des coordonnées, celle-ci peut être spécifiée par l'équation suivante:

\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1

où les paramètres h et k sont les coordonnées du centre de l'ellipse.

Paramétrisation

(lien) \qquad \begin{cases}x = a\cos t \\ y = b\sin t \end{cases} \quad t \in\R

dans le repère défini par le grand axe et le petit axe.

Équation polaire

[3a] \qquad r = \frac{p}{1+e \cos \theta} \qquad \theta \in\R

dans le repère défini par le foyer et l'axe focal.

ou

[3b] \qquad r^2 = \frac{b^2}{1-e^2 \cos ^2 \theta} \qquad \theta \in\R

dans le repère défini par le centre et l'axe focal.

Circonférence

La circonférence d'une ellipse est 4aE(e), ou E est une intégrale elliptique (Une fonction intégrale elliptique est une fonction f de la forme :) complète de deuxième espèce (Dans les sciences du vivant, l’espèce (du latin species, « type » ou « apparence ») est le taxon de base de la systématique. L'espèce est un concept flou dont il existe une...).

La série est :

c = 2\pi a \left[{1 - \left({1\over 2}\right)^2e^2 - \left({1\cdot 3\over 2\cdot 4}\right)^2{e^4\over 3} - \left({1\cdot 3\cdot 5\over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^2{e^6\over5} - \dots}\right]

Une bonne approximation est donnée par une formule de Ramanujan :

c \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]

qui peut aussi s'écrire :

c \approx \pi a \left[ 3 (1+\sqrt{1-e^2}) - \sqrt{(3+ \sqrt{1-e^2})(1+3 \sqrt{1-e^2})} \right]

ou a est la demi-longueur du grand axe et b la demi-longueur du petit axe.

Plus généralement, la longueur de l'arc, comme une fonction de l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) sous-tendu, est donnée par une intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une intégrale est donc composée d'un intégrande (la fonction...) elliptique incomplète de seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de mesure du temps. La seconde...) espèce. La fonction réciproque (La réciproque est une relation d'implication.), l'angle sous-tendu comme une fonction de la longueur de l'arc, est donnée par les fonctions elliptiques.

Aire du domaine intérieur à une ellipse

Il existe différentes manières de calculer l'aire d'une ellipse. On peut se placer dans le repère porté par les axes où l'équation de l'ellipse s'écrit :

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

Avec les symétries établies plus haut, il suffit de calculer par exemple l'aire de la portion d'ellipse dans le quart supérieur droit du plan rapporté à ce repère. L'équation de la portion d'ellipse correspondante est :

y= b \sqrt{1 - \left(\frac xa\right)^2}

pour x dans [0,a]. D'où l'aire du quart supérieur droit d'ellipse :

I = \int_0^a b \sqrt{1-\left(\frac xa\right)^2}\,\mathrm dx = ab \int_0^1 \sqrt{1- t^2}\,\mathrm dt = ab \int_0^{\frac\pi2} \cos^2 u\,\mathrm du

la dernière réécriture obtenue avec le changement de variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un algorithme. En...) u \mapsto \sin u = t de [0,π / 2] sur [0,1]. Reste à linéariser cos2u pour trouver le quart de l'aire d'une ellipse :

I= ab \int_0^{\frac\pi2} \frac{1+ \cos 2u}2\,\mathrm du = \frac{\pi ab}4

et pour l'aire de toute l'ellipse :

S = πab

Remarquer que pour a = b, on retrouve l'aire du cercle.

Tracer une ellipse

  • Méthode des deux points et de la corde : selon la propriété (lien), la somme AF + AF' des distances entre un point A de l'ellipse et ses deux foyers F et F' est constante. Ainsi, on plante (Les plantes (Plantae Haeckel, 1866) sont des êtres pluricellulaires à la base de la chaîne alimentaire. Elles forment l'une des subdivisions (ou règne) des Eucaryotes. Elles sont,...) deux piquets dans le sol (les deux foyers), on prend une corde non élastique de longueur donnée (la somme constante) que l'on attache aux piquets; le trajet que l'on parcourt en maintenant la corde tendue est une ellipse. On nomme cette technique celle de " l'ellipse du jardinier ".
Tracé d'une ellipse à l'aide de deux piquets et d'une corde non élastique tendue

Tracé d'une ellipse à l'aide de deux piquets et d'une corde non élastique tendue

  • En dessin industriel, une ellipse est en général un cercle vu en perspective (une pièce est rarement elliptique même si ce n'est pas exclu), ou bien un perçage en biais par rapport à la surface de la pièce. L'ellipse se représente donc avec les même traits d'axe que pour le cercle. Dans le cas d'un cercle vu en perspective, ces traits d'axe sont inclinés et suivent les directions de référence. Dans le cas d'une forme réellement elliptique, les traits d'axes sont perpendiculaires.
Ellipse servant à représenter un perçage droit vu en perspective (figure de droite); le trait d'axe vertical figure l'axe du perçage

Ellipse servant à représenter un perçage droit vu en perspective (figure de droite); le trait d'axe vertical figure l'axe du perçage

Ellipse servant à représenter un perçage oblique vu de face (figure de droite)

Ellipse servant à représenter un perçage oblique vu de face (figure de droite)

  • Tracé à main (La main est l’organe préhensile effecteur situé à l’extrémité de l’avant-bras et relié à ce dernier par le poignet. C'est un organe...) levée, méthode du parallélogramme (Un parallélogramme, en géométrie, est un quadrilatère (convexe) dont les côtés sont parallèles deux à deux ; c'est un trapèze particulier.) exinscrit : on a vu ci-dessus qu'une ellipse pouvait être considérée comme un cercle vu en perspective. De même qu'un cercle est inscrit dans un carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un...), une ellipse est inscrite dans un parallélogramme qui n'est autre que ce carré vu en perspective cavalière (notez qu'il existe une infinité de parallélogrammes exinscrits, il suffit d'en choisir un). On trace d'abord un parallélogramme, on le divise en quatre quartiers selon les parallèles aux côtés passant par les milieux des autres côtés; dans chaque quartier, on trace un arc passant par les milieux des côtés et tangent aux côtés en ces milieux.
Tracé d'une ellipse à main levée à l'aide d'un parallélogramme

Tracé d'une ellipse à main levée à l'aide d'un parallélogramme

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