Géométrie de l'espace-temps dans les repères tournants - Définition

Introduction

Nous allons aborder dans cet article la géométrie de l'espace-temps dans un repère en rotation. Plus spécifiquement nous considérerons un disque en rotation et nous allons voir quelle forme prend la géométrie de l'espace-temps pour un observateur O' situé en périphérie du disque. L'étude de l'effet Sagnac et des paradoxes d'Ehrenfest et de Selleri a clairement montré que la géométrie de l'espace, considérée du point de vue de O', ne pouvait pas être euclidienne. Et les calculs détaillés ont donné la métrique de l'espace-temps dans le repère en rotation. Une analyse géométrique, plus intuitive, est également utile.

Le repère de référence, inertiel, sera noté R. Le repère en rotation sera noté R'. Enfin, on appellera R1 le repère inertiel ayant son origine en O' et la même vitesse que celui-ci à un instant donné. Evidemment, ce repère R1 ne coïncide avec R' que localement (dans un voisinage de O') et pendant un temps infinitésimal. A chaque instant, le repère R1 sera différent puisque O' a une vitesse variant en direction. Pour effectuer des calculs, utilisant par exemple les transformations de Lorentz, il est donc nécessaire de travailler avec des intervalles infinitésimaux et en intégrant, comme dans les calculs détaillés.

Effets relativistes dans les repères tournants

Pour avoir une idée de la perception de l'espace-temps par un observateur tournant, commençons par une approche qualitative. Le disque étant plat, on peut se passer de la dimension spatiale verticale et représenter l'espace-temps en trois dimensions : deux dimensions horizontales pour l'espace et la dimension verticale pour le temps.

Les trajectoires de rayons lumineux contraints à suivre le bord du disque sont des hélices de type lumière autour du cylindre, c’est-à-dire des hélices inclinées à 45° par rapport à l'horizontale. La trajectoire d’un observateur O' situé sur le bord du disque est également une hélice mais de type temps (proche de la verticale s’il tourne à une vitesse faible devant celle de la lumière).

On peut également travailler en 2 dimensions en considérant uniquement la périphérie du disque, c’est-à-dire en étalant le cylindre ci-dessus sur une feuille. En raison du caractère "fermé" de la circonférence, les trajectoires "sortant" par la droite, "entrent" par la gauche et vice versa, comme dans certains jeux vidéo du type pacman. Il y a d'ailleurs une forte ressemblance avec ce qui se passe dans les espaces compacts.

Les lignes d'univers sont des droites. On voit clairement les points d'intersection des trajectoires de l'observateur tournant O' avec les rayons lumineux 1 et 2. Les lignes des coordonnées spatiales et temporelles du référentiel inertiel R sont les horizontales et les verticales.

Intéressons nous au système de coordonnées spatio-temporelles associé au repère R' en rotation. De la figure ci-dessus on peut passer à une représentation dans R'. Quelques règles sont suivies :

• La trajectoire de O' est une ligne de coordonnée de type temps (O' est immobile dans R').
• Les trajectoires de type lumière sont les bissectrices des lignes de coordonnées temps et espace (vitesse de la lumière invariante et isotrope localement même dans le référentiel tournant).
• Les intersections entre les trajectoires lumineuses et celle de O' ont le même écart de temps que dans la figure ci-dessus.

Sur cette figure, l'axe de coordonnée spatiale de R' (la ligne des évènements perçus comme simultanés par les observateur tournants locaux) est incliné par rapport l'axe de coordonnée temporelle (la ligne des évènements se déroulant en un même point dans le référentiel tournant). Utiliser des axes inclinés ne change cependant pas la géométrie de l'espace-temps (travailler sur une feuille quadrillée non par des rectangles mais par des losanges peut présenter des difficultés pratiques mais ne change pas la feuille de papier !).

Revenons à un dessin en trois dimensions. Traçons en perspective, dans R', les lignes de coordonnées spatiales de la figure ci-dessus.

Cette figure nous permet de faire trois constatations.

• Les lignes de champ tangentes à la direction de simultanéité locale (simultanéité associée aux observateurs tournants) sont hélicoïdales.
• Le Time Gap Δt lors d'un tour le long de circonférence (ligne spatiale) traduit le fait que la vitesse de la lumière est localement isotrope mais n’est par contre pas globalement isotrope dans le référentiel tournant. Pour partir d’un point du disque tournant et revenir en ce même point, la lumière met plus de temps quand elle tourne dans le même sens que le disque plutôt que quand elle tourne en sens inverse.
• La surface de synchronisation globale respectant la simultanéité locale perçue par les observateurs tournants n'est pas continue (saut de simultanéité traduisant le fait que les observateurs tournants locaux ne perçoivent pas localement d'anisotropie de la vitesse de la lumière mais la constatent globalement). C’est ce que l’on illustre dans la figure ci-dessous.

La symétrie entre effets relativistes observés globalement dans un référentiel tournant et effets relativistes observés dans un référentiel inertiel n'est pas respectée. On observe un non respect de la symétrie de la contraction de Lorentz du mètre de l’observateur tournant (courbure spatiale négative du référentiel tournant), un non respect de la symétrie de la dilatation temporelle de Lorentz associée aux horloges de l’observateur tournant (paradoxe de Langevin), une anisotropie de la vitesse relative de la lumière mesurable globalement par les observateurs tournants (effet Sagnac).

Les difficultés pour comprendre la synchronisation et plus généralement pour comprendre le caractère globalement observable de la dissymétrie des effets relativistes induits par le mouvement tournant illustrent bien la confusion fréquente entre symétrie locale et symétrie globale.

Dans un espace-temps de Minkowski, une synchronisation naturelle de la relativité restreinte est associée à chaque référentiel inertiel. Elle donne la possibilité de feuilleter l’espace-temps en feuillets 3D de simultanéité. L’existence d’un feuilletage en feuillets 3D de simultanéité globale, tangents aux hyperplans de simultanéité locale, n’est pas toujours possible, et ce, même dans un espace-temps de Minkowski, quand on utilise un système de coordonnées qui n’est pas un système de coordonnées inertiel.