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Produit vectoriel

Le produit vectoriel est une opération vectorielle effectuée dans les espaces euclidiens orientés de dimension trois[1]. Le formalisme utilisé actuellement est apparu en 1881 dans un manuel d'analyse vectorielle écrit par Josiah Willard Gibbs pour ses étudiants en physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique désigne la connaissance...). Les travaux de Hermann Günther Grassmann et William Rowan Hamilton sont à l'origine du produit vectoriel (Le produit vectoriel est une opération vectorielle effectuée dans les espaces euclidiens orientés de dimension trois[1]. Le formalisme utilisé actuellement est...) défini par Gibbs[2],[3].

Histoire

Résumé[2]

En 1843, Hamilton inventa les quaternions qui permettent de définir le produit vectoriel. Indépendamment et à la même période (1844) Grassmann définissait dans Die lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik un " produit géométrique " à partir de considérations géométriques ; mais il ne parvient pas à définir clairement un produit vectoriel. Puis Grassmann lit Hamilton et s'inspire de ses travaux pour publier en 1862 une deuxième version de son traité qui est nettement plus claire[4]. De même, Hamilton a lu les travaux de Grassmann et les a commentés et appréciés[5]. Plus tard Maxwell commença à utiliser la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative,...) des quaternions pour l'appliquer à la physique. Après Maxwell, Clifford modifia profondément le formalisme de ce qui devenait l'analyse vectorielle (L'analyse vectorielle est une branche des mathématiques qui étudie les champs de scalaires et de vecteurs suffisamment réguliers des espaces...). Il s'intéressa aux travaux de Grassmann et Hamilton avec une nette (Le terme Nette est un nom vernaculaire attribué en français à plusieurs espèces de canards reconnaissablent à leurs calottes. Le terme est un emprunt au grec ancien...) préférence pour le premier[3]. En 1881, Gibbs publia Elements of Vector Analysis Arranged for the Use of Students of Physics s'inspirant des travaux déjà réalisés notamment ceux de Clifford et Maxwell. Si les physiciens se sont empressés d'utiliser le formalisme de Gibbs, celui-ci ne fut accepté en mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les mathématiques...) que bien plus tard après plusieurs modifications.

Anecdote

Peter Guthrie Tait dans la préface de la troisième édition de son traité sur les quaternions qualifia le nouveau formalisme créé par Gibbs de " monstre hermaphrodite, composé des notations de Hamilton et Grassmann "[6].

Notation

Plusieurs notations sont en concurrence pour le produit vectoriel :

  • En France, le produit vectoriel de u et de v est noté u\wedgev où le V inversé se lit wedge. Cette notation a été initiée par Cesare Burali-Forti et Roberto Marcolongo en 1908[7]. Son inconvénient est de rentrer en conflit avec la notation du produit extérieur.
  • Dans la littérature anglophone, le produit vectoriel est noté u×v. Cette notation est due à Josiah Willard Gibbs[6]. Son inconvénient est d'induire une confusion éventuelle avec le produit des réels, le produit cartésien (En mathématiques, le produit cartésien de deux ensembles X et Y est l'ensemble de tous les couples, dont la première composante appartient à X et la seconde à Y. On généralise facilement la notion de produit cartésien binaire à celle de...) ou le cross produit. Mais ces produits ne portent pas sur des objets de même nature.
  • Une troisième notation est l'utilisation des crochets de Lie : \left[\vec u\, , \vec v\right][8].

Dans cet article, on utilise la première convention.

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.)

Produit vectoriel

Soit E un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur, voir l'article Vecteur.) euclidien orienté de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une...) 3. Par le choix d'une base orthonormée, E peut être identifié avec l'espace R3, mais cette identification n'est pas obligatoire pour définir le produit vectoriel.

D'un point (Graphie) de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) géométrique, le produit vectoriel de deux vecteurs \vec u et \vec v de E se définit comme l'unique vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un...) \vec w tel que :

  • le vecteur \vec w est orthogonal aux deux vecteurs donnés ;
  • la base (\vec{u},\vec{v}, \vec{w}) est de sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du...) direct ;
  • \|\vec w\| = \|\vec u\| \cdot \|\vec v\| \cdot \sin(\widehat{\vec u,\vec v}).

La notion d'orientation (Au sens littéral, l'orientation désigne ou matérialise la direction de l'Orient (lever du soleil à l'équinoxe) et des points cardinaux (nord de la boussole) ;) peut ici être comprise de manière élémentaire en utilisant la règle de la main (La main est l’organe préhensile effecteur situé à l’extrémité de l’avant-bras et relié à ce dernier par le poignet. C'est un organe destiné...) droite : le pouce, l'index et le majeur écartés en un triède indiquent respectivement le sens de u, de v et de w. Cette définition, utilisée dans l'enseignement (L'enseignement (du latin "insignis", remarquable, marqué d'un signe, distingué) est une pratique d'éducation visant à développer les connaissances d'un élève par le biais de communication...) secondaire, n'est pas totalement satisfaisante.

Définition par le produit mixte

Une seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de mesure du temps. ...) définition utilise la théorie des déterminants et la notion de produit mixte comme point de départ. Le produit mixte de trois vecteurs u,v,w, noté [u,v,w], est le déterminant de ces trois vecteurs dans une base orthonormale (Soit En un espace vectoriel euclidien de dimension n, où n est un entier naturel non nul, et , une base de En.) directe quelconque. La formule de changement de base montre que ce déterminant est indépendant du choix de la base ; géométriquement il est égal au volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.) orienté du parallélépipède (En géométrie dans l'espace, les parallélépipèdes sont des hexaèdres dont les six faces sont des parallélogrammes.) appuyé sur les vecteurs u, v, w. Le produit vectoriel de deux vecteurs u et v est l'unique vecteur u\wedgev tel que, pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) w, on a :

\left[\vec u, \vec v, \vec w\right] = (\vec u \wedge \vec v) \cdot \vec w\,.

L'existence et l'unicité d'un tel vecteur sont un cas particulier simple du théorème de Riesz (Au sein de la théorie des espaces vectoriels normés, le théorème de Riesz établit un lien entre la notion de compacité et celle de dimension.). Le produit vectoriel s'interprète comme les variations du volume orienté d'un parallélépipède en fonction du troisième côté


Calcul en composantes

Le choix d'une base orthonormée directe donne une identification de E et de R3. Notons les coordonnées u=(u1,u2,u3) et v=(v1,v2,v3). Leur produit vectoriel est donné par :

u\wedge v=\begin{pmatrix} u_2v_3-u_3v_2\\ u_3v_1-u_1v_3\\ u_1v_2-u_2v_1 \end{pmatrix}

Cette identité pourrait être prise comme une troisième définition, à condition de prouver que le vecteur obtenu est indépendant de la base orthonormale directe choisie pour le calculer.


Propriétés

Propriétés algébriques

Le produit vectoriel est un produit distributif, anticommutatif, non associatif :

  • Distributivité (En mathématiques, on dit qu'un opérateur est distributif sur un opérateur si pour tous x, y, z on a la propriété suivante : et de même à droite) sur l'addition :
    \vec u\wedge(\vec v+\vec w) = \vec u\wedge\vec v+\vec u\wedge\vec w,
  • Compatibiité avec la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) par un scalaire :
    \lambda (\vec u\wedge\vec v) = \lambda\vec u\wedge\vec v = \vec u\wedge\lambda\vec v,
  • Anticommutativité :
    \vec u\wedge\vec v = -\vec v\wedge\vec u
  • Non-associativité :
    \vec u\wedge(\vec v\wedge\vec w) \ne (\vec u\wedge\vec v)\wedge\vec w

Ces propriétés découlent immédiatement de la définition du produit vectoriel par le produit mixte et des propriétés algébriques du déterminant.

Comme crochet de Lie, le produit vectoriel satisfait l'identité de Jacobi :

  • \vec u\wedge(\vec v\wedge\vec w) + \vec w\wedge(\vec u\wedge\vec v) + \vec v\wedge(\vec w\wedge\vec u) = \vec 0

D'autre part, il satisfait aux identités de Lagrange :

\vec u\wedge(\vec v\wedge\vec w) = (\vec u\cdot\vec w)\vec v - (\vec u\cdot\vec v)\vec w
(\vec u\wedge\vec v)\wedge\vec w = (\vec u\cdot\vec w)\vec v - (\vec v\cdot\vec w)\vec u

En partant de l'identité algébrique :

\left((bc'-b'c)^2+(ca'-c'a)^2+(ab'-a'b)^2\right) + (aa'+bb'+cc')^2 = (a^2+b^2+c^2)\cdot (a'^2+b'^2+c'^2),

on peut démontrer facilement l'égalité (aussi appelée identité de Lagrange) :

\|\vec u\wedge\vec v\|^2 + (\vec u\cdot\vec v)^2 = \|\vec u\|^2\cdot \|\vec v\|^2

que l'on peut aussi écrire sous la forme :

\left(\frac{\|\vec u\wedge\vec v\|}{\|\vec u\|\cdot \|\vec v\|}\right)^2 + \left(\frac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\cdot \|\vec v\|}\right)^2 = 1\,

ce qui équivaut à l'identité trigonométrique :

\sin^2(\widehat{\vec{u},\vec{v}}) + \cos^2(\widehat{\vec{u},\vec v}) = 1,

et qui n'est rien d'autre qu'une des façons d'écrire le théorème de Pythagore (Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui énonce que dans un triangle rectangle (qui possède un angle droit) le carré de l'hypoténuse...).

Invariance par isométries

Le produit vectoriel est invariant par l'action des isométries vectorielles directes. Plus exactement, pour tous vecteurs u et v de E et pour toute rotation f de E, on a :

f\left[u\wedge v\right]=f(u)\wedge f(v).

Cette identité peut être prouvée différemment suivant l'approche adoptée :

Définition géométrique : L'identité est immédiate avec la première définition, car f préserve l'orthogonalité, l'orientation et les longueurs.

Produit mixte : L'isomorphisme linéaire f laisse invariant le produit mixte de trois vecteurs. En effet, le produit mixte de f(u), f(v), f(w) peut être calculé dans l'image par f de la base orthonormée directe dans la quelle le produit mixte de u, v et w est calculé. De fait, l'identité précédente s'obtient immédiatement :

(f(u)\wedge f(v))\cdot f(w)=[f(u),f(v),f(w)]=[u,v,w]=(u\wedge v)\cdot w\,.

Définitions alternatives (Alternatives (titre original : Destiny Three Times) est un roman de Fritz Leiber publié en 1945.)

Comme produit de Lie

Toute isométrie (En géométrie, une isométrie est une transformation qui conserve les longueurs. Une isométrie est donc un cas particulier de similitude.) directe de R3 est une rotation vectorielle. L'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble),...) des isométries directes forme un groupe de Lie (Un groupe de Lie est un groupe — au sens mathématique — continu (c'est-à-dire dont chaque élément est infinitésimalement proche d'au moins un autre élément).) classique noté SO(3) (autrement dit, un sous-groupe fermé de GL3(R)). Son algèbre (L'algèbre est la branche des mathématiques qui étudie les structures algébriques, indépendamment de la notion de limite (rattachée à l'analyse) et de la notion de représentation graphique (rattachée à la géométrie).) de Lie, notée so(3) est la sous-algèbre de Lie de gl3(R) définie comme l'espace tangent de SO(3) en l'identité. Un calcul direct montre qu'il est l'espace des matrices antisymétriques de taille 3. Cet espace est a fortiori stable par le crochet de Lie.

Toute matrice antisymétrique (En algèbre linéaire, une matrice carrée A est dite antisymétrique si sa transposée est égale à son opposé ; c'est-à-dire si elle satisfait à l'équation :) M de taille 3 s'écrit de manière unique :

M=\begin{pmatrix} 0 & a & -b\\ -a & 0 & c\\ b & -c & 0 \end{pmatrix}.

En identifiant M et le vecteur (a,b,c), on définit un isomorphisme linéaire entre so(3) et R3. Le crochet de Lie se transporte via cet isomorphisme, et R3 hérite d'une structure d'algèbre de Lie. Le crochet [u,v] de deux vecteurs est précisément le produit vectoriel de u et de v.

En effet, si u1=(a1, b1, c1), et u2=(a2, b2, c2), leur crochet se calcule en introduisant les matrices antisymétriques correspondantes M1 et M2 :

[M_1,M_2]=M_1M_2-M_2M_1=\begin{pmatrix} 0 & bc'-b'c & ac'-a'c\\ b'c -bc' & 0 & ab'-a'b\\ a'c-ac' & a'b-ab' & 0 \end{pmatrix}

Le vecteur correspondant, à savoir [u,v], a donc pour coordonnées (bc'-b'c,ca'-c'a,ab'-a'b). Cette approche redéfinit donc le produit vectoriel.

Si on suit cette approche, il est possible de prouver directement l'invariance du produit vectoriel par isométries

f\left[u\wedge v\right]=f(u)\wedge f(v).

En tant qu'algèbres de Lie, so(3) a été identifié à R3. L'action (linéaire) de SO3(R) sur R3 s'identifie à l'action par conjugaison sur so(3). SO3(R) opère donc par automorphisme d'algèbres de Lie. Autrement dit, l'identité ci-dessus est vérifiée.

Comme produit de quaternions imaginaires

Il est possible de retrouver produit vectoriel et produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois définissant la structure d'espace vectoriel. À deux vecteurs elle associe...) à partir du produit de deux quaternions purs. Pour rappel, le corps (non commutatif) des quaternions H est l'unique extension de R de dimension 4. Sa base canonique (Dans un espace vectoriel, une base canonique est une base qui se présente de manière naturelle d'après la manière dont l'espace vectoriel est présenté....) est (1,i,j,k) où le sous-espace engendré par i, j, k forme l'espace des quaternions purs, canoniquement identifié avec R3. Ces éléments vérifient :

i^2 = j^2 = k^2 = -1\, ;
ij=-ji=k\quad ;\quad jk=-kj=i\quad ;\quad ki=-ik=j.

Si q1=a1i+b1j+c1k et q2 = a2i+b2j+c2k, le produit q1q2 se calcule immédiatement :

q1q2 = − (a1a2 + b1b2 + c1c2) + (b1c2b2c1)i + (c1a2c2a1)j + (a1b2a2b1)k.

La partie réelle est au signe près le produit scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les vecteurs, par opposition à un pseudoscalaire, qui est un nombre qui peut dépendre de la base.) de q1 et de q2, la partie imaginaire est un quaternion (Les quaternions, notés , sont un type de nombres hypercomplexes, constituant une extension des nombres complexes, extension similaire à celle qui avait...) pur qui correspond au produit vectoriel, après identification avec R3.

Cette coïncidence trouve ses explications dans le paramétrage du groupe SO(3) par les quaternions unitaires.


Il est de nouveau possible de justifier l'invariance par isométrie. Toute isométrie de l'espace des quaternions imaginaires s'écrit comme la conjugaison par un quaternion unitaire. Si q est un quaternion unitaire, et q1, q2 sont des quaternions imaginaires, il suffit de constater :

\left[qq_1\overline{q}\right].\left[qq_2\overline{q}\right]=q(q_1q_2)\overline{q}

pour en déduire l'invariance par isométrie du produit vectoriel.

Par le produit tensoriel

Soient deux vecteurs à trois composantes ui et vj. On peut définir le tenseur

u\otimes v =\begin{pmatrix} u_1 v_1 & u_1 v_2 & u_1 v_3 \\ u_2 v_1 & u_2 v_2 & u_2 v_3 \\ u_3 v_1 & u_3 v_2 & u_3 v_3 \\ \end{pmatrix}

qui, en notation tensorielle, s'écrit simplement :

[u\otimes v]_{ij}= u_i\cdot v_j

Ce tenseur peut se décomposer en la demi-somme de deux tenseurs, l'un complètement (Le complètement ou complètement automatique, ou encore par anglicisme complétion ou autocomplétion, est une fonctionnalité informatique permettant...) symétrique :

[u\odot v]_{ij}=u_i\cdot v_j + u_j\cdot v_i

qui a 6 composantes indépendantes, et l'autre complètement anti-symétrique :

[u\wedge v]_{ij}=u_i\cdot v_j - u_j\cdot v_i

qui a 3 composantes indépendantes. On peut alors " transformer " ce tenseur anti-symétrique en un vecteur à trois composantes en utilisant le symbole de Levi-Civita (Le symbole de Levi-Civita, noté ε (lettre grecque epsilon), est un indicateur antisymétrique d'ordre 3 qui peut être exprimé à partir du symbole de Kronecker :) \varepsilon_{ijk} (ce dernier est un pseudo-tenseur dont la définition fait intervenir la métrique et l'orientation) :

z_k = \varepsilon_{ijk} \cdot (u_i\cdot v_j - u_j\cdot v_i )

(selon la convention de sommation d'Einstein, on somme sur i et sur j dans la formule ci-dessus). Le vecteur zk est le produit vectoriel de ui et vj.

On voit que si l'on échange les indices i et j, le signe change, ce qui illustre l'antisymétrie du produit vectoriel. En outre le résultat est un " pseudovecteur " puisqu'il est renversé si on change l'orientation de l'espace.

Applications

On définit l'opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :) rotationnel comme suit :

\overrightarrow\operatorname{rot} \ \vec u = \vec \nabla \wedge \vec u=\begin{vmatrix}  \vec i & \vec j & \vec k \\  \partial_x  & \partial_y & \partial_z   \\  u_x & u_y & u_z  \end{vmatrix}.
En mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de transmission,...) du solide, c'est une opération très employée notamment dans la relation de Varignon qui lie les deux champs vectoriels d'un torseur (Un torseur est un outil mathématique utilisé principalement en mécanique du solide indéformable, pour décrire les mouvements des solides et les actions mécaniques qu'il...). D'autre part, les lois de Maxwell sur l'électromagnétisme (L'électromagnétisme est une branche de la physique qui fournit un cadre très général d'étude des phénomènes électriques et magnétiques dans leur synthèse du champ électromagnétique : le champ...) s'expriment à travers l'opérateur rotationnel, ainsi que les équations de la mécanique des fluides (La mécanique des fluides est la branche de la physique qui étudie les écoulements de fluides c'est-à-dire des liquides et des gaz lorsque ceux-ci subissent des forces ou...), notamment celles de Navier-Stokes.

Le moment d'une force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale...) est défini comme le produit vectoriel de cette force \scriptstyle\vec F par le vecteur \scriptstyle\vec{AP} reliant son point d'application A au pivot P considéré :

\vec M_{\vec F/P} = \vec F\wedge\vec{AP} = \vec{PA}\wedge\vec F.
C'est une notion primordiale en mécanique du solide.
Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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