Application (mathématiques)
Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

En mathématiques, une application (ou fonction) f est la donnée de deux ensembles, l'ensemble de départ E et l'ensemble d'arrivée F, et d'une relation associant à chaque élément x de l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut...) de départ un et un seul élément de l'ensemble d'arrivée, que l'on appelle image de x par f et que l'on note f(x). On dit alors que f est une application de E dans F (noté f : E\toF), ou encore une application à arguments dans E et valeurs dans F.

Le terme fonction est souvent utilisé pour les applications à valeurs numériques, réelles ou complexes, c'est-à-dire lorsque l'ensemble d'arrivée est \mathbb R ou \mathbb C. On parle alors de fonction réelle (En analyse, une fonction est dite réelle si ses ensembles de départ et d'arrivée sont tous deux inclus dans .), ou de fonction complexe.

L'image d'une application f : E\toF est la collection des f(x) pour x parcourant E ; c'est un sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou encore B est sur-ensemble de A, si tout élément du...) de F.

Le graphe (Le mot graphe possède plusieurs significations. Il est notamment employé :) d'une application f : E\toF est le sous-ensemble du produit cartésien (En mathématiques, le produit cartésien de deux ensembles X et Y est l'ensemble de tous les couples, dont la première composante appartient à X et la seconde à Y. On généralise facilement la notion de produit cartésien binaire...) E × F constitué des couples (x,f(x)) pour x variant dans E. La donnée (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un événement, etc.) du graphe de f détermine son ensemble de départ (par projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la surface plane d'une carte.) sur la première composante) et son image (par projection sur la seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de mesure du temps. La seconde d'arc est une mesure d'angle plan. ...) composante).

Fonction et application

La notion de fonction en tant que correspondance (La correspondance est un échange de courrier généralement prolongé sur une longue période. Le terme désigne des échanges de courrier personnels plutôt qu'administratifs.) entre deux types d'objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être...) est relativement ancienne. Mais le terme n'apparait qu'à la fin du XVIIe siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué la durée d'une génération humaine et faisait 33 ans 4 mois (d'où peut être l'âge du...) sous la plume (Une plume est, chez les oiseaux, une production tégumentaire complexe constituée de β-kératine. La plume est un élément caractéristique de la classe des oiseaux. Comme les poils, les...) de Leibniz en 1694[1] , il s'agit alors de fonction associée à une courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles sont des courbes.) géométrique : Leibniz dit ainsi que l'abscisse, l'ordonnée ou le rayon de courbure (Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est une mesure quantitative du caractère « plus ou moins courbé » de cet...) d'une courbe en un point (Graphie) M est une fonction du point M. Dans la même époque, Newton parle de fluente pour des quantités dépendant d'une variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule,...) qu'il appelle le temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) (tout en précisant que le rôle joué par le temps, peut l'être par une autre quantité). La notation sous la forme f ne s'est pas mise en place tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) de suite. Jean Bernoulli propose d'appeler X la fonction de x, Leibniz invente une notation permettant de travailler sur plusieurs fonctions différentes : \overline x | \underline1 et \overline x | \underline 2 sont ainsi deux fonctions dépendant de x. La notation fx apparait chez Euler en 1734. Les fonctions sont alors toujours à valeurs numériques (réelles ou complexes) et possèdent en outre des propriétés restrictives (liées à une équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre...) algébrique, continuité (En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction. En première approche, une fonction est continue si,...) eulérienne, développable en série entière...).

Parallèlement se développe, en géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et,...), la notion d'application pour des correspondances ponctuelles.

Dans les années 1950, l'école Bourbaki tente de faire correspondre les deux notions en parlant de

  • relation ou graphe fonctionnel : (E,F,G) où E et F sont deux ensembles non vides et où G est un sous-ensemble non vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) de E x F vérifiant en outre, pour tous couples (x,y) et (x’,y’) de G, si x = x’ alors y = y’. (i.e. chaque élément de E possède au plus une image) ;
  • application pour un graphe fonctionnel dans lequel tout élément de E possède une image.

S'appuyant sur cet embryon (Un embryon (du grec ancien ἔμϐρυον / émbruon) est un organisme en développement depuis la première division de l’œuf ou zygote jusqu’au stade...) de distinction, les mathématiques modernes des années 1970 distinguent alors deux objets différents

  • la fonction : définie par un ensemble de départ E, un ensemble d'arrivée F et une relation de E vers F dans laquelle chaque élément de E possède au plus une image. L'ensemble des éléments de E possédant une image est alors appelé domaine de définition de la fonction
  • l'application  : définie par un ensemble de départ E, un ensemble d'arrivée F et une relation de E vers F dans laquelle chaque élément de E possède une image et une seule

En pratique, le fait qu'il suffise de réduire l'ensemble de départ d'une fonction à son ensemble de définition (En mathématiques, l' ensemble de définition D f  d'une fonction  f  dont l' ensemble de départ est noté  E  et l' ensemble d'arrivée  F , est l'ensemble des antécédents de f, c'est-à-dire...) pour la transformer en application rend peu utile ce distingo. Celui-ci n'a d'ailleurs jamais été adopté par la communauté mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les mathématiques...) dans son ensemble, qui continue à utiliser ces deux termes dans leur sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du vieillissement,...) historique, i.e. le terme fonction étant utilisé comme synonyme du terme application dans le cas particulier où l'ensemble d'arrivée est \R ou \mathbb C (l'ensemble de départ étant systématiquement pris égal au domaine de définition).

Définition

Dans la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une...) de Zermelo-Fraenkel, une application de E dans F est définie comme un sous-ensemble G du produit cartésien E\times F définie par les deux relations fonctionnelles suivantes :

\forall x\,\forall y\,\forall z\,\left[\left(x,y\right)\in G\wedge \left(x,z\right)\in G\rightarrow y=z\right]\,;
\forall x\,\left[x\in E\rightarrow \exists y\, \left(x,y\right)\in G\right].

Reformulée en termes clairs, ces relations signifient exactement que G intersecte chaque sous-ensemble \{e\}\times F en un unique point (l'existence est donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un...) par la seconde formule, l'unicité par la première). Ce point est noté f(e). Formellement, on écrit :

f:e\mapsto f(e).

On dit que f associe à e l'élément f(e), ou encore que f envoie e sur f(e) ; ou e est envoyé par f sur f(e). La définition d'une application s'appuie donc directement sur le schéma de compréhension, mais dépend aussi de la définition du produit cartésien. Le produit cartésien s'appuie lui-même sur l'axiome de la réunion (Dans la théorie axiomatique des ensembles et dans les branches de la logique, des mathématiques, et de l'informatique, l'axiome de la réunion est l'un des axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel, affirmant que, pour tout...), l'axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en soi »)...) de l'ensemble des parties et enfin sur le schéma de compréhension.

Une application de E dans F est un élément du produit :

f\in\prod_E F.

En toute généralité, l'existence d'applications intéressantes dépend de l'axiome du choix. Sans cet axiome :

  • L’identité ou application identique (En mathématiques, une application identique ou fonction identique f est une application qui n'a aucun effet lorsqu'elle est appliquée à un élément : elle renvoie toujours la valeur qui est...) d’un ensemble E dans lui même. Elle correspond à la diagonale (On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non reliés par un côté). Un polygone à n côtés possède ...) du produit cartésien E\times E, plus exactement au sous-ensemble défini par la relation fonctionnelle (En mathématiques, le terme fonctionnelle se réfère à certaines fonctions. Initialement, le terme désignait les fonctions qui en prennent d'autres en argument. Aujourd'hui, le terme a été...) x=y. En termes courants, l’application identité associe à tout élément x de E l'élément x.
  • Si E et F sont des ensembles non vides, par l'axiome de l'ensemble vide (En mathématiques, l'ensemble vide est l'ensemble ne contenant aucun élément.) il existe au moins un élément b de F. Il est alors possible de définir une application dite application constante via la partie E\times \{b\} de E\times F. Elle associe à tout élément de E l'élément b.
  • A tout élément b de F on associe ainsi une application, l'application constante de E dans F égale à b. Cette association est une application de E dans
F
E

.

  • Si l'ensemble E est l'ensemble vide, le produit cartésien de E par F est vide ; il existe donc une unique application à valeurs dans n'importe quel ensemble.
  • Par contre, si F est vide et E non vide, alors l'unique sous ensemble de E\times F, l'ensemble vide, ne définit pas d'application : la seconde relation fonctionnelle ne peut être vérifiée.

L'image d'une application f de E dans F est la collection des f(e) pour e parcourant E. C'est un sous-ensemble de F d'après le schéma de remplacement.

Opération sur les applications

  • Restriction : soit E ' un sous-ensemble de E, et pour une fonction donnée comme ci-dessus par son graphe G de E\times F, sa restriction à E ' est l'intersection de G avec E'\times F. Autrement dit, si f est la première application, sa restriction à E ' notée f | E' associe par définition à tout élément e de E ' l'élément f(e) dans F.
  • Corestriction :
  • Composition d'applications : la composition de deux applications de E1 dans E2 et de E2 dans E3 données respectivement par les graphes G1 et G2 est l'application de E1 dans E3 donnée par le graphe G suivant :
G=\{(x,z)\in E_1\times E_3, \exists y\in E_2,(x,y)\in G_1\wedge (y,z)\in G_2\}.

Injectivité et surjectivité

  • Une application de E dans F définie par le graphe G est dite injective lorsqu'elle vérifie :
\forall x_1\,\forall x_2\, \forall y  \left[ \left(x_1,y\right)\in G\wedge \left(x_2,y\right)\in G \right] \rightarrow \left[ x_1 = x_2 \right] \,.

Reformulé autrement :

\forall x_1,x_2\in E, \, f(x_1)=f(x_2)\rightarrow x_1=x_2.

En algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une...) vectoriel,une application est dite injective quand son noyau (algèbre) est réduit au vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire....) nul:

\displaystyle{\ker(f)=\vec {O_E}}

.

L'application f est aussi appelée injection (Le mot injection peut avoir plusieurs significations :) ; ou encore f sépare les points de E.

La composée de deux injections est une injection et, inversement, si go f est une injection, alors f est une injection.
  • Une fonction f est dite surjective (ou que c'est une surjection (Une fonction est dite surjective ou est une surjection si pour tout y dans l'ensemble d'arrivée Y, il existe au moins un élément x de la source X tel...) , s'il s'agit d'une application) lorsque :
\forall y \in F , \exists x \in E,\  f (x) = y.
En d'autres termes, f est surjective ssi l'image de E est l'ensemble d'arrivée tout entier; cela signifie que tout élément de l'ensemble d'arrivée peut être vu comme image d'un élément de l'espace de départ.
La composée de deux surjections est une surjection et, inversement, si g\circ f est une surjection, alors g est une surjection.
  • Une application est dite bijective (ou que c'est une bijection (Une fonction f: X → Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y dans l’ensemble d'arrivée Y il existe un et un seul x dans l’ensemble de définition X tel que...)) lorsqu'elle est à la fois injective et surjective. Attention, toutes les applications ne sont pas des bijections !
La composée de deux bijections est une bijection mais inversement, si la composée de deux applications est une bijection, on peut seulement en déduire que l'une est une injection et l'autre une surjection.

Réciproque (La réciproque est une relation d'implication.) d'une application injective

  • Si une application f : E\toF est bijective, la correspondance réciproque de f est encore une bijection de F dans E. La notation habituelle pour cette bijection réciproque est f − 1 mais dans le cas d'une fonction (numérique) elle entraîne un risque de confusion avec la fonction inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un...) de f, 1 \over f, qui peut aussi se noter f − 1, et il faut donc se montrer très prudent dans son emploi.
  • Plus généralement, si f : E\toF est injective, on en déduit une bijection réciproque Im(f)\toE.

Décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils soient d'origine animale ou végétale...) canonique

On appelle relation binaire (Une relation binaire est un concept mathématique qui systématise des notions comme « ... est supérieur ou égal à ... » en arithmétique, ou « ... est élément de...) associée canoniquement à la fonction f la correspondance f^{-1}\circ f définie dans E par :

x est en relation avec y ssi x et y ont une image commune par f "

Cette relation est toujours symétrique et transitive, mais n'est une relation d'équivalence que si f est une application (voir l'article " Opération sur des correspondances ").

Nous pouvons alors définir l'ensemble quotient E/ (f^{-1}\circ f) et la surjection canonique s correspondante, associée à l'application f. Cette surjection associe à tout élément x de E sa classe d'équivalence par f^{-1}\circ f, qui n'est autre que f − 1({f(x)}), ensemble des antécédents de f(x).

Considérons alors la correspondance i de E/ (f^{-1}\circ f) dans Fdéfinie par :

A est en relation avec y ssi A est l'ensemble des antécédents de y par f^{-1}\circ f

Cette correspondance est une injection, l'injection canonique associée à l'application f. On montre aisément que f=i\circ s.

En résumé : Toute application peut être décomposée de façon unique en une surjection et une injection.
Cette décomposition est la décomposition canonique de l'application. Dans cette décomposition :

  • la surjection s est une bijection ssi f est une injection, c'est-à-dire si f^{-1}\circ f = Id_E.
  • l'injection i est une bijection ssi f est une surjection, c'est-à-dire si f \circ f^{-1} = Id_F.

Ce qui précède peut être étendu à une fonction quelconque, à condition de " compléter " le graphe de f^{-1}\circ f par la diagonale de E, de façon à rendre la relation réflexive et en faire ainsi une relation d'équivalence. Nous retrouvons alors la décomposition précédente, à ceci près que i n'est plus qu'une fonction.

Page générée en 0.120 seconde(s) - site hébergé chez Amen
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
Ce site est édité par Techno-Science.net - A propos - Informations légales
Partenaire: HD-Numérique