Endomorphisme nilpotent
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Exemple d'image d'une base par un endomorphisme nilpotent en dimension 3.
Exemple d'image d'une base par un endomorphisme nilpotent en dimension 3.

Un endomorphisme nilpotent est un endomorphisme c’est-à-dire une application linéaire d'un espace vectoriel dans lui même, qui, composé par lui-même un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) suffisant de fois, donne l'application nulle. Un exemple est donné dans l'illustration.

Le concept de nilpotence est important en mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les...). Il correspond à un cas particulier de diviseur (En mathématiques, un nombre entier d est un diviseur d'un entier n lorsque la division euclidienne de n par d donne un reste égal à zéro. Autrement dit, il existe un entier q...) de 0. On le trouve non seulement en algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des espaces vectoriels (ou espaces linéaires), de leurs éléments les vecteurs, des transformations...) mais aussi dans l'étude des groupe de Lie (Un groupe de Lie est un groupe — au sens mathématique — continu (c'est-à-dire dont chaque élément est infinitésimalement proche d'au moins un autre...) avec l'analyse des algèbres de Lie nilpotentes, mais aussi, par exemple, dans la théorie des anneaux (En mathématiques, la théorie des anneaux s'occupe d'anneaux.).

En algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les structures...) linéaire, les endomorphismes nilpotents sont importants car ils interviennent dans la réduction des endomorphismes, c’est-à-dire la représentation d'un endomorphisme quelconque sous une forme la plus simple possible. On en trouve des utilisations pratiques par exemple pour la résolution d'équations différentielles linéaires.

Un moyen de reconnaître le caractère nilpotent (En mathématiques, un élément x d'un anneau R est appelé nilpotent s'il existe un certain nombre entier positif n tel que .) d'un endomorphisme est de multiplier la matrice qui le représente (dans une base de l'espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur, voir...) concerné) par elle-même successivement, jusqu'à ce qu'une de ses puissances soit nulle.

Il existe un pendant à la notion d'endomorphisme nilpotent (Un endomorphisme nilpotent est un endomorphisme c’est-à-dire une application linéaire d'un espace vectoriel dans lui même, qui, composé par lui-même un...), il correspond aux matrices nilpotentes. Ces matrices offrent une approche plus concrète (La concrète est une pâte plus ou moins dure obtenue après extraction d’une matière première fraîche d’origine végétale (fleurs, feuille) par solvants volatils (non aqueux). Le solvant...) du concept et permettent une utilisation pratique sous la forme de calcul.

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.)

Soit E\; un espace vectoriel sur un corps \mathbb K\; et u\; un endomorphisme de E\;, u\; est dit nilpotent si et seulement si il existe un entier n tel que u^n=0\;. Le plus petit entier n vérifiant cette propriété est appelé indice de l'endomorphisme.

Soit x un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un exemple...), alors on appelle indice de x pour l'application nilpotente le plus petit entier p tel que up(x) = 0.

Intérêt du concept

Nilpotence et Réduction

Un enjeu important en mathématique est celui de la réduction, c’est-à-dire de la décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils soient d'origine animale ou végétale dès l'instant qu'ils sont privés de vie, dégénèrent...) d'un concept en sous-concepts plus simples et qui décrivent l'intégralité du concept initial. Dans le cadre des applications linéaires la réduction est traitée dans l'article Réduction d'endomorphisme. En dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de...) finie, les endomorphismes nilpotents jouent un rôle important dans le cas ou \mathbb K\; est un corps algébriquement clos. Un corps est dit algébriquement clos si et seulement si tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) les polynômes sont scindés, autrement dit si tous les polynômes s'écrivent comme produit de polynômes du premier degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :). C'est par exemple le cas pour les nombres complexes. Sous cette hypothèse, la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une...) de la réduction d'endomorphisme montre que le cas général se résume à la somme d'un endomorphisme diagonalisable et d'un nilpotent. Ce résultat est connu sous le nom de Décomposition de Dunford (La décomposition de Dunford s'inscrit dans la problématique de la réduction d'endomorphisme. Cette approche consiste à décomposer l'espace vectoriel...).

Si la clôture algébrique (En mathématiques, une clôture algébrique d'un corps K est une extension algébrique de K qui est algébriquement close.) du corps n'est plus vraie, alors il est toujours possible d'étendre l'espace vectoriel sur un corps algébriquement clos. Cette technique est largement utilisée. Pour les réels, la physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique...) n'utilise pratiquement uniquement que cette approche.

Applications

Puisqu'il est possible d'étendre à la clôture (Une clôture désigne tout obstacle naturel ou fait de la main de l'homme (barrière) et suivant tout ou partie du pourtour d'un terrain afin de matérialiser ses limites ou d'empêcher des personnes ou des animaux d'y entrer ou d'en sortir.) algébrique, la réduction des endomorphismes dans ce contexte (Le contexte d'un évènement inclut les circonstances et conditions qui l'entourent; le contexte d'un mot, d'une phrase ou d'un texte inclut les mots qui l'entourent. Le concept de contexte issu...) joue (La joue est la partie du visage qui recouvre la cavité buccale, fermée par les mâchoires. On appelle aussi joue le muscle qui sert principalement à ouvrir et fermer la bouche et à...) un rôle essentiel en mathématique. Les endomorphismes nilpotents sont donc nécessaires à divers branches des mathématiques. En algèbre linéaire, ils interviennent naturellement dans la réduction de Jordan (La réduction de Jordan est la traduction matricielle de la réduction des endomorphismes introduite par Jordan. Cette réduction est tellement employée, en particulier en analyse pour la...) qui correspond à un cas important de réduction des endomorphismes. Les techniques utilisées sont celles des polynômes d'endomorphismes. Les conséquences se retrouvent sur la résolution de systèmes d'équations linéaires, dans la résolution d'équations différentielles linéaires où ils apparaissent comme des cas limite. En mathématique appliquée, ils sont importants pour la recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Par extension métonymique, la recherche scientifique désigne également le cadre...) d'algorithmes, on utilise alors essentiellement les matrices nilpotentes où des représentations simples sont alors nécessaires.

Propriétés

L'exemple illustre l'essentiel des propriétés des endomorphismes nilpotents. On y trouve des propriétés sur l'indice des endomorphismes et des vecteurs, des conditions nécessaires et suffisantes grâce aux polynômes. Des réductions avec une décomposition en espaces propres et l'existence d'une base réduite. Il existe aussi des propriétés calculatoires des matrices nilpotentes traitées dans l'article Matrice nilpotente.

Nilpotence et indice

L'indice d'un endomorphisme nilpotent possède deux grandes propriétés:

  • L'indice d'un endomorphisme nilpotent est inférieur ou égal à la dimension de l'espace.
  • Il existe un vecteur dont l'indice est celui de l'endomorphisme.

Nilpotence et polynômes en dimension finie

Les polynômes fournissent non seulement des conditions nécessaires et suffisantes pour la nilpotence, mais renseignent de plus sur l'indice.

  • Un endomorphisme est nilpotent si et seulement si son polynôme caractéristique (En algèbre linéaire, à toute matrice carrée ou à tout endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie est associé un polynôme appelé polynôme caractéristique. Il renferme d'importantes informations sur la...) est égal à (-X)^n\; ou n est la dimension de l'espace.
  • Un endomorphisme est nilpotent si et seulement si son polynôme minimal (Le polynôme minimal est un outil qui permet d'utiliser des résultats de la théorie des polynômes à l'algèbre linéaire. Il est en effet possible d'appliquer un polynôme à un endomorphisme, comme...) est égal à X^p\; ou p est l'indice de l'endomorphisme.
  • Le polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que parce qu'ils donnent localement une valeur...) annulateur d'un vecteur x est égal à X^{p_x}\; ou p_x\; est l'indice du vecteur x.

Nilpotence et réduction en dimension finie

Le principe de réduction consiste à trouver une décomposition en somme directe de sous-espaces stables de l'espace vectoriel. Il en existe une pour les endomorphismes nilpotents. Et elle est compatible avec la réduction de Jordan. Cette approche est générale à l'analyse des endomorphismes. Dans le cas des endomorphismes nilpotents, elle est intimement liée à la notion de base réduite.

  • Si x\; est un vecteur d'indice p alors la famille (x, u(x),...u^{p-1}(x))\; est une famille libre.
  • Il existe une suite (E_i)\; de sous-espaces vectoriels stables par u, non réduits au vecteur nul, qui engendrent par somme directe l'espace tout entier, et tel que, pour tout i, il existe un vecteur x_i\; non nul d'indice p_i\; pour lequel la famille (x_i, u(x_i),...u^{p_i-1}(x_i))\; forme une base de E_i\;. La réunion (La Réunion est une île française du sud-ouest de l'océan Indien située dans l'archipel des Mascareignes à environ 700 kilomètres à l'est de...) de ces familles forme une base de l'espace entier. On appelle ces sous-espaces des espaces de Jordan.
  • La restriction de u à E_i\; est de noyau non réduit au vecteur nul et possède une unique valeur propre (En mathématiques, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'appliquant à une application linéaire d'un espace dans lui-même. Il correspond à l'étude des axes privilégiés, selon lesquels l'application se comporte...) 0. Cette propriété reste vraie pour l'endomorphisme lui-même.
  • La décomposition est maximale, c’est-à-dire qu'il n'existe pas de décomposition en sous-espaces vectoriels stables qui génèrent en somme directe l'espace entier et qui comprennent plus d'éléments que la décomposition précédente si aucun sous-espace vectoriel est réduit au vecteur nul.

Applications en mathématiques

Matrice nilpotente

Les résultats théoriques obtenus à l'aide de l'analyse des endomorphismes nilpotents ont des conséquences importantes sur les matrices nilpotentes. Ces résultats sont traités dans l'article Matrice nilpotente.

Réduction des endomorphismes

Dans le cas où le corps est algébriquement clos et en dimension finie, les endomorphismes nilpotents jouent un rôle particulier dans la problématique de la réduction des endomorphismes. Le cas général, celui ou toutes les racines du polynôme minimal sont simples, correspond aux endomorphismes diagonalisables. Ce cas génère un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble),...) d'endomorphismes partout dense. En revanche, en cas de racine multiple, alors il existe une composante nilpotente.

Cette décomposition joue un rôle important dans les calculs que l'on observe dans l'univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.) des matrices. Elle permet par exemple de prouver que toute matrice est trigonalisable et offre une forme particulièrement simple en bloc de Jordan (La réduction de Jordan est la traduction matricielle de la réduction des endomorphismes introduite par Jordan. Cette réduction est tellement employée, en particulier en analyse pour la résolution d'équations différentielles ou pour...).

De nombreux algorithmes relèvent directement de cette décomposition. Elle permet d'accélérer massivement la résolution d'un système d'équations linéaires.

Équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à certaines des...) différentielle linéaire

La réduction de Jordan joue un rôle particulier pour les équations différentielles linéaires. Par exemple, dans le cas où les coefficients sont constants, alors le calcul de l'exponentielle (La fonction exponentielle est l'une des applications les plus importantes en analyse, ou plus généralement en mathématiques et dans ses domaines d'applications. Il existe plusieurs définitions...) d'une matrice dans le cas général est largement plus simple dans le cas d'une représentation matricielle réduite par la méthode de Jordan. Il est alors important de pouvoir calculer l'exponentielle d'une matrice nilpotente. Ce cas est exposé dans l'article Matrice nilpotente.

Groupes de Lie

Dans l'étude des groupes de Lie, on s'intéresse parfois à ce que l'on appelle groupes de Lie nilpotents. Comme pour tout groupe de Lie, leur structure est décrite par leur fibré (En mathématiques, un espace fibré est la donnée d'un espace topologique appelé espace total muni d'une projection continue sur un autre...) tangent, qui est muni d'une structure d'algèbre de Lie. Les représentations de ces algèbres dans les endomorphismes s'obtiennent à partir d'endomorphismes nilpotents.

Sources

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