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Produit scalaire - Définition et Explications

inégalité de cauchy-schwarz histoire des mathématiques théorème de pythagore géométrie euclidienne

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En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois définissant la structure d'espace vectoriel. À deux vecteurs elle associe leur produit, qui est un nombre (ou scalaire). Elle permet de retrouver les notions de la géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l'époque et une tentative de formalisation...) traditionnelle : longueurs, angles, orthogonalité (En mathématiques, l'orthogonalité est un concept d'algèbre linéaire associé à une forme bilinéaire. Un cas fréquent est celui où cette forme est un produit...) en dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de...) deux et trois, mais aussi de les étendre à des espaces vectoriels réels de toute dimension, et parfois aux espaces vectoriels complexes.

C'est ainsi, par exemple, qu'une fois qu'on aura muni un espace de polynômes d'un produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois définissant la structure d'espace vectoriel. À deux vecteurs elle associe leur...), on pourra parler de distance ou d'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) entre deux polynômes.

Toutefois, un même espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur, voir...) peut être muni d'une multitude de produits scalaires distincts qui aboutiront à des résultats non équivalents d'angles, distances, orthogonalité. Le choix du produit scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les vecteurs, par opposition à un pseudoscalaire, qui est un nombre qui peut dépendre de la base.) adapté à un problème, notamment d'analyse fonctionnelle (En mathématiques, le terme fonctionnelle se réfère à certaines fonctions. Initialement, le terme désignait les fonctions qui en prennent d'autres en argument. Aujourd'hui, le terme a été étendu, et il...) peut être la clef (Au sens propre, la clef ou clé (les deux orthographes sont correctes) est un dispositif amovible permettant d'actionner un mécanisme.) de sa résolution.

Fragments d'histoire

Élement important de calcul en géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures...) euclidienne, le produit scalaire apparaît cependant assez tard dans l'histoire des mathématiques (L’histoire des mathématiques s'étend sur plusieurs millénaires et dans de nombreuses régions du globe allant de la Chine à...). On en trouve trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le champ magnétique à petite échelle du Soleil et la géométrie du plasma coronal, à travers des images haute...) chez Hamilton en 1843 lorsqu'il crée le corps des quaternions. Peano le définit ensuite associé à un calcul d'aire (Aires (en espagnol, les airs) est une compagnie aérienne intérieure de Colombie.) ou de déterminant. Roberto Marcolongo et Cesare Burali-Forti le définissent seulement à l'aide du cosinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes...) d'un angle et lui donne le nom de produit intérieur (En géométrie différentielle, le produit intérieur est une opération élémentaire sur les formes différentielles, que l'on construit à...) ou produit scalaire. C'est sous cette forme qu'il apparaît par la suite. Sa qualité de forme bilinéaire (Soit E, F et G trois espaces vectoriels sur un corps . Soit une application, on dit que est bilinéaire si et seulement si elle est linéaire en chacune de ses variables, c'est-à-dire: : ) symétrique sera ensuite exploitée en algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des espaces vectoriels (ou espaces linéaires), de leurs éléments...) et, de propriété, deviendra définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.).

La notation du produit scalaire à l'aide d'un point (Graphie) ou d'une croix provient de Josiah Willard Gibbs, dans les années 1880.

Le produit scalaire se révèle très utile, aussi bien en physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique désigne la...) pour le calcul du travail d'une force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale « cardinale » équivalent au courage (cf. les articles...) qu'en géométrie élémentaire pour démontrer des propriétés sur les angles et les distances ou en algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les structures algébriques.) linéaire pour munir un espace vectoriel d'une distance.

Produit scalaire de deux vecteurs en géométrie euclidienne élémentaire

Trigonométrie (La trigonométrie (du grec τρίγωνος / trígonos, « triangulaire », et...)

En géométrie euclidienne élémentaire, le produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ est le réel défini par

$\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times cos(\widehat{BAC})$ (si AB et AC sont non nuls) ou 0 (sinon)

Cette forme est indépendante de l'ordre des vecteurs, on dit qu'elle est symétrique.

Elle ne s'annule que lorsque les vecteurs sont orthogonaux et se révèle donc un outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son efficacité naturelle dans l'action. Cette augmentation se traduit par la simplification des actions...) puissant de contrôle (Le mot contrôle peut avoir plusieurs sens. Il peut être employé comme synonyme d'examen, de vérification et de maîtrise.) d'orthogonalité.

Elle est liée à la distance par la relation suivante:

$\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AB} = AB^2$

Cette expression est toujours positive et nulle seulement si le vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un...) $\overrightarrow{AB}$ est nul. On dit que cette forme est définie, positive.

Projeté

Si les points A et B sont distincts, la trigonométrie du triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de « triangle » est justifiée par...) rectangle (En géométrie, un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont des angles droits.) permet de calculer le produit scalaire grâce à une projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la...) orthogonale: si H est le projeté orthogonal de C sur (AB) , le produit scalaire est alors :

$\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AC} = AB \times AH$ (Si A n'appartient pas à [BH]) ou $\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AC} = -AB \times AH$ (sinon)

Image:ProdScal1.png

Cas où AC × cos(BAC) = AH

Image:ProdScal2.png

Cas où AC × cos(BAC) = - AH

Travail d'une force résistante

C'est sous cette forme que le produit scalaire est utilisé pour le travail d'une force lors d'un déplacement : Le travail de la force $\overrightarrow F$ selon le trajet $\vec u$ est $\vec u.\overrightarrow F$ . Dans l'illustration, ce travail est : - AB × AH.

C'est sous cette forme aussi que l'on peut démontrer que le produit scalaire est linéaire selon le deuxième vecteur car la projection orthogonale est une application linéaire (En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation linéaire) est une application entre deux espaces vectoriels qui respecte...).

si $\overrightarrow{AC'} = k\overrightarrow{AC}$ alors $\overrightarrow{AH'} = k\overrightarrow{AH}$

si $\overrightarrow{AC''} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AC'}$ alors $\overrightarrow{AH''} = \overrightarrow{AH} + \overrightarrow{AH'}$

Ces propriétés se généralisent au cas où les points A et B sont confondus. La forme étant symétrique, elle est aussi linéaire selon le premier vecteur. Le produit scalaire se comporte alors presque comme un produit classique (commutativité, distributivité) permettant ainsi de créer des formules comme les identités remarquables (En mathématiques, on appelle identités remarquables certaines égalités vraies dans tout anneau commutatif (qui doit parfois être unitaire), donc en...). Il faut cependant prendre garde que ce n'est pas un produit classique car, à deux vecteurs, il associe, non pas un vecteur, mais un réel.

Distance

Les identités remarquables permettent d'établir la formule suivante

$\overrightarrow{AB} .\overrightarrow{AC} = \frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2}$

Il suffit pour cela de développer $BC^2 = (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} )^2$ . On retrouve alors le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un...) d'Al-Kashi.

Coordonnées

Dans tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) repère orthonormé, le produit scalaire s'exprime de la manière suivante : si $\overrightarrow{AB} (x ; y (;z))$ et $\overrightarrow{AC} (x' ; y' (;z') )$

$\overrightarrow{AB} .\overrightarrow{AC} = xx' + yy' +zz'$

Il suffit pour cela d'utiliser la formule précédente en sachant que $A B 2 = x 2 + y 2 ( + z 2)$ , $A C 2 = x' 2 + y' 2 ( + z' 2)$ et $B C 2 = (x - x') 2 + (y - y') 2 + (z - z') 2$

Cette forme permet de déterminer très rapidement si deux vecteurs sont orthogonaux.

Remarque : cette formule, contrairement à la définition, n'est pas valide en base non orthonormée.

Produit scalaire comme une aire

Définition du produit scalaire par les aires.

On peut, à la suite de Peano, voir le produit scalaire comme une aire. Si on oriente le plan de x vers y, le produit scalaire des vecteurs x et y est égal à l'aire orientée du parallélogramme (Un parallélogramme, en géométrie, est un quadrilatère (convexe) dont les côtés sont parallèles deux à deux ; c'est un trapèze particulier.) construit grâce aux vecteurs y et x_r. Le vecteur x_r est l'image du vecteur x par une rotation d'angle droit direct. Le produit scalaire peut donc se calculer à l'aide d'un déterminant :

x.y=det(y.x_r) .

Sous cette forme, peuvent être retrouvées toutes les propriétés de symétrie et de bilinéarité du produit scalaire.

Sur le dessin, les parallélogrammes ont été déformés en rectangle de même aire par la propriété de cisaillement. L'aire verte correspond à un produit scalaire positif et l'aire rose à un produit scalaire négatif.

Bilan

Les propriétés définies précédemment font du produit scalaire une forme bilinéaire symétrique définie positive. Par la suite, ce sont ces propriétés qui caractériseront un produit scalaire dans un espace vectoriel quelconque.

Définitions générales

Notation : Deux notations sont en concurrence pour représenter le produit scalaire. On utilise soit la simple barre verticale (La verticale est une droite parallèle à la direction de la pesanteur, donnée notamment par le fil à plomb.) ( $\quad |\quad \,$ ), soit le simple point ( $\quad \cdot\quad \,$ ). On trouve aussi les notations inspirées de la mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de transmission, pistons, ...), bref, de tout ce qui produit ou...) quantique : $< | >$ et $< , >$ . Dans le reste de l'article on utilisera la simple barre verticale.

Produit scalaire dans un espace vectoriel réel

Soit $\mathbf{E}$ un espace vectoriel réel.

On dit qu'une application $φ$ :

$\mathbf{E} \times \mathbf{E} \to \R$

$(x,y) \mapsto (x|y)$

est un produit scalaire si elle est :

bilinéaire : $φ$ est linéaire relativement à chaque argument (l'autre étant fixé).
symétrique : $\forall x,y \in \mathbf{E} \quad (y|x) = (x|y)$
strictement positive : $\forall x \in \mathbf{E}\setminus\{0\} \quad (x|x) > 0$

On peut dire "définie positive" au lieu de strictement positive mais il est peu recommandable d'utiliser seul le mot "défini" car il engendre une confusion entre deux notions : celles de forme bilinéaire non dégénérée et celle de forme bilinéaire anisotrope (L'anisotropie (contraire d'isotropie) est la propriété d'être dépendant de la direction. Quelque chose d'anisotrope pourra présenter différentes caractéristiques selon la direction.).

Notation du produit scalaire de deux vecteurs

En géométrie, le produit scalaire de deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ se note $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ . Cette formule a l'avantage de vérifier l'égalité $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB} = AB^2$ . Cependant, cette notation ressemble trop a une multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) et par suite a de trop nombreux inconvénients; ainsi, en algèbre, le produit scalaire de deux vecteurs $x$ et $y$ se note $(x\mid y)$ . Cette notation est plus compatible avec la nature bilinéaire du produit scalaire.

Produit scalaire dans un espace vectoriel complexe

Pour adapter cette définition aux espaces vectoriels complexes, nous avons besoin (Les besoins se situent au niveau de l'interaction entre l'individu et l'environnement. Il est souvent fait un classement des besoins humains en trois...) de la notion de " semi-linéarité ":

Une application f d'un espace vectoriel complexe $\mathbf{E}\quad$ dans $\mathbb{C}$ est dite semi-linéaire si elle vérifie :

$\forall x,y \in \mathbf{E} \quad f(x+y) = f(x) + f(y)$
$\forall x \in \mathbf{E}, \forall\lambda \in \mathbb{C} \quad f(\lambda x) = \overline{\lambda}f(x)$

Soit donc maintenant $\mathbf{E}$ un espace vectoriel complexe.

On dit qu'une application $φ$ :

$\mathbf{E} \times \mathbf{E} \to \mathbb{C}$

$(x,y) \mapsto (x|y)$

est un produit scalaire hermitien (Plusieurs entités mathématiques sont qualifiées d'hermitiennes en référence au mathématicien Charles Hermite.) (ou simplement un produit scalaire) si elle est :

sesquilinéaire : c'est-à-dire

linéaire relativement au second argument (le premier étant fixé)
semi-linéaire relativement au premier argument (le second étant fixé)

symétrique hermitienne : $\forall x,y \in \mathbf{E} \quad (y|x) = \overline{(x|y)}$
strictement positive : $\forall x \in \mathbf{E}\setminus\{0\} \quad (x|x) > 0$

On peut dire "définie positive" au lieu de strictement positive.

Remarque : la convention de linéarité à droite, semi-linéarité à gauche n'est pas universelle, certains auteurs utilisent la convention inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que x·y =...).

Exemples

Dans l'espace $\R ^n$ , on définit le produit scalaire canonique : $\big( (x_1,...,x_n) | (y_1,...,y_n)\big) = x_1y_1 + \cdots + x_ny_n$ .

Dans l'espace $\mathbb C^n$ , on définit le produit scalaire canonique : $\big( (z_1,...,z_n) | (w_1,...,w_n)\big) = \bar{z_1}w_1 + \cdots + \bar{z_n}w_n$ .

Soit $\ E$ le $\R -ev$ des fonctions continues de l'intervalle $[a,\, b]$ dans $\R$ .

L'application $\phi : E \times E \to \R , (f,\,g) \mapsto \int_{a}^{b} f.g\$ est un produit scalaire sur

E

Soit $E=C([a,\, b],\mathbb{C})$ le $\mathbb{C} -ev$ des fonctions continues de l'intervalle $[a,\, b]$ dans $\mathbb{C}$ ,

L'application : $\phi : E \times E \rightarrow \mathbb{C} , (f, g) \mapsto (f|g) = \int_{a}^{b} \bar{f}.g\$ est un produit scalaire sur $\ E$ .

Remarque : Si , au lieu de travailler sur des fonctions continues, on travaille sur des fonctions continues par morceaux, la forme bilinéaire construite est bien positive mais n'est pas définie positive : (f|f) = 0 implique que f est nulle sauf sur un nombre fini de points.

Soit $E = M_{n}(\R)$ le $\R -ev$ des matrices carrées à coefficients dans $\R$ .

L'application : $\phi : E \times E \to \R , (A,\, B) \mapsto (A|B) = Tr(A^{t}B)$ est un produit scalaire (dit canonique).

Remarques :

si $S,\, A$ sont deux éléments de $\ E = M_{n}(\R)$ , respectivement symétrique, antisymétrique, alors $\ (S|A) = 0$

si $A \in O_{n}(\R )$ , alors

(A | A) = T r (t A A) = T r (I n) = n

Propriétés immédiates et norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un état habituellement répandu ou moyen considéré le plus souvent...)

On introduit la norme (dite " euclidienne ") du vecteur $x$ :

$\left| \left| x \right| \right|_2 = \sqrt{(x|x)}$ , ou bien simplement $\left| \left| x \right| \right|$ s'il n'y a pas ambiguïté.

Il est aisé de démontrer qu'il s'agit bien d'une norme

Un produit scalaire sur un espace vectoriel réel ou complexe satisfait les deux inégalités fondamentales suivantes

L' inégalité de Cauchy-Schwarz :

$\forall x,y \in \mathbf{E} \quad |(x|y)| \leq ||x||\,||y||$

L'inégalité de Minkowski

$||x+y|| \leq \ ||x|| + ||y||$

Les articles inégalité de Cauchy-Schwarz (En mathématiques, l'inégalité de Cauchy-Schwarz, aussi appelée inégalité de Schwarz, ou encore inégalité de Cauchy-Bunyakovski-Schwarz, se rencontre...) et inégalité de Minkowski précisent les cas d'égalités.

Orthogonalité et angle dans le cas d'un espace vectoriel réel

On dit que des vecteurs $x$ et $y$ sont orthogonaux si $(x | y) = 0$ . On trouvera dans l'article orthogonalité le développement des définitions et propriétés qui accompagnent cette notion : familles et parties orthogonales, théorème de Pythagore (Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui énonce que dans un triangle rectangle (qui possède un angle droit) le carré de...). Voir aussi projection orthogonale.

L'angle $θ$ entre deux vecteurs x et y non nuls peut être défini à partir de leur produit scalaire par la formule

$(x|y) = ||x||\cdot||y||\cdot\cos \theta$

En effet, l'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit $|(x|y)| \leq ||x|| \cdot ||y||$

donc si $||x|| \cdot ||y|| \neq 0$

on a : $\left|\frac{(x|y)}{||x|| \cdot ||y||} \right| \leq 1$

i.e. $-1 \leq \frac{(x|y)}{||x|| \cdot ||y||} \leq 1$

On peut donc poser : $\theta = \arccos\left(\frac{(x|y)}{||x|| \cdot ||y||}\right)$

Attention : il s'agit d'un angle non orienté. Ce n'est que dans un plan euclidien orienté qu'on sait définir la notion d'angle orienté.

Structures induites par le produit scalaire

On appelle espace préhilbertien (réel ou complexe) tout espace vectoriel, de dimension finie ou non, muni d'un produit scalaire.
On appelle espace de Hilbert (Un espace de Hilbert est un espace de Banach (donc complet) dont la norme découle d'un produit scalaire ou hermitien par la formule . C'est la généralisation en dimension...) (réel ou complexe) tout espace préhilbertien complet (en tant qu'espace normé).
On appelle espace euclidien (Un espace euclidien, dans la conception actuelle, est un espace vectoriel ou affine réel de dimension finie muni d'un produit scalaire. Dans un tel espace, on peut traiter des...) tout espace vectoriel réel de dimension finie muni d'un produit scalaire.
On appelle espace hermitien tout espace vectoriel complexe de dimension finie muni d'un produit scalaire.

On sait que tout espace vectoriel (réel ou complexe) normé de dimension finie est complet. Ainsi, les espaces euclidiens et les espaces hermitiens sont des espaces de Hilbert (respectivement réels, complexes).

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