Evangelista Torricelli
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Torricelli inventant le baromètre à mercure
Torricelli inventant le baromètre à mercure

Evangelista Torricelli (né le 15 octobre 1608 à Faenza, en Émilie-Romagne - mort le 25 octobre 1647) est un physicien et mathématicien italien du XVIIe siècle.

Biographie

Evangelista Torricelli (Evangelista Torricelli (né le 15 octobre 1608 à Faenza, en Émilie-Romagne - mort le 25 octobre 1647) est un physicien et mathématicien italien du XVIIe siècle.) commença ses études dans sa ville (Une ville est une unité urbaine (un « établissement humain » pour l'ONU) étendue et fortement peuplée (dont les habitations...) natale, Faenza. Remarqué pour ses dons par les Jésuites, il fut envoyé à Rome. Dès 1626, il devient l'élève de Benedetto Castelli, ami fidèle de Galilée (Galilée ou Galileo Galilei (né à Pise le 15 février 1564 et mort à Arcetri près de Florence, le 8 janvier 1642) est un physicien et astronome italien du XVIIe siècle, célèbre pour avoir jeté les fondements des sciences...) et auteur d'un travail d'hydraulique (L'hydraulique désigne la branche de la physique qui étudie les liquides. En tant que telle, les champs d'investigation qu'elle propose regroupent plusieurs...), en 1628, très au courant des travaux de Galilée. Rappelons qu'en 1632, le Dialoguo de Galilée paraît et suscite un grand émoi à Rome ; il vaut à son auteur son célèbre procès et son abjuration, le 22 juin 1633.

Torricelli disparaît alors de 1632 à 1641.

En 1641, Castelli, rendant visite à Galilée déjà aveugle, dans sa villa d'Arcetri, lui apporte un traité de Torricelli : le de Motu de 1641. À la demande de Castelli, qui s'occupe alors de la Lagune (La lagune est une étendue d'eau généralement peu profonde séparée de la mer par un cordon littoral (tombolo, lido...). Ce plan d'eau, en liaison permanente avec la mer, est plus ou moins saumâtre, suivant les apports du bassin...) de Venise, Torricelli part à Arcetri en octobre 1641 et aidera Viviani durant les derniers mois (Le mois (Du lat. mensis «mois», et anciennement au plur. «menstrues») est une période de temps arbitraire.) de vie (La vie est le nom donné :) de Galilée.

Il le remplace ensuite comme mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale. Ce...) du Grand-Duc Ferdinand II de Médicis, ce qui le libère de tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) souci matériel. Il est élu à l'Académie (Une académie est une assemblée de gens de lettres, de savants et/ou d'artistes reconnus par leurs pairs, qui a pour mission de veiller aux usages dans...) du Son (de blé), académie dont l'objectif est de purifier le langage comme on dégage le son de la mouture de blé (« Blé » est un terme générique qui désigne plusieurs céréales appartenant au genre Triticum. Ce sont des plantes annuelles de la famille des...). Cette élection le porte à examiner les arts plus que les mathématiques, ce qui lui vaut remontrances de ses amis, Bonaventura Cavalieri et les élèves de Castelli, Raffaello Magiotti et Nardi.

Torricelli est à l'acmé de sa carrière en 1644 : publication des Opera Geometrica, découverte du vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) " grosso " via le baromètre (Le baromètre est un instrument de mesure, utilisé en physique et en météorologie, qui sert à mesurer la pression atmosphérique. Il peut, de façon secondaire, servir d'altimètre pour...) à mercure.

1647 : à 39 ans, en pleine activité (Le terme d'activité peut désigner une profession.) scientifique (Un scientifique est une personne qui se consacre à l'étude d'une science ou des sciences et qui se consacre à l'étude d'un domaine avec la rigueur et les méthodes scientifiques.), la typhoïde l'emporte.

Beaucoup de ses travaux furent perdus ou publiés très tardivement, ce qui a amoindri son influence et sa renommée. On lui doit cependant :

  • le " tube barométrique de Torricelli " en hydrostatique : P = ρgH
  • la Formule de Torricelli en hydraulique : V = \sqrt {2gH}.

Son œuvre mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que...) est pourtant considérable.

Torricelli et le baromètre (1644)

Torricelli est connu pour avoir mis en évidence, en 1644, la pression atmosphérique, en étudiant la pompe (Une pompe est un dispositif permettant d'aspirer et de refouler un fluide.) à eau (L’eau est un composé chimique ubiquitaire sur la Terre, essentiel pour tous les organismes vivants connus.) de Galilée, ce qui lui permit d'inventer le baromètre à tube de mercure qui porte son nom. Une unité de pression (La pression est une notion physique fondamentale. On peut la voir comme une force rapportée à la surface sur laquelle elle s'applique.), le torr, lui est dédiée. Elle correspond à la pression d'un millimètre de mercure. [Mais c'est le pascal qui fut retenu comme unité du système international en hommage à Blaise Pascal (Blaise Pascal (19 juin 1623, Clermont (Auvergne) - 19 août 1662, Paris) est un mathématicien et physicien, philosophe, moraliste et théologien français.), qui poursuivit et développa les recherches dans ce domaine (1646-1648)].

Torricelli n'a jamais rien publié sur ce sujet, ni même revendiqué la priorité. Et Blaise Pascal, dans ses travaux, ne cite pas une fois Torricelli, mais, en 1651, déclare avoir refait en 1646-48, une expérience faite en Italie en 1644.

Il est vraisemblable que Torricelli a toujours voulu s'éloigner des démêlés avec l'Inquisition. Michelangelo Ricci lui écrit de Rome, le 18 juin 1644 : " Je crois que vous êtes déjà assez dégoûté par l'opinion inconsidérée des théologiens et par leur habitude de mêler constamment et immédiatement les choses de Dieu aux raisonnements concernant la nature. " Or les jésuites, en particulier Niccolo Zucchi, excluent le fait qu'il y ait vide dans la chambre barométrique : pour Constantini (Baliani e i Gesuiti, Firenze, 1969), c'est pour éviter un nouveau conflit avec les mathématiciens. Ceci pourrait expliquer le silence de Torricelli sur le sujet.

Origine du problème

Ce problème correspond à une considération très pratique : depuis longtemps l'approvisionnement en eau des villes a convaincu les fontainiers que les siphons dysfonctionnent à 18 brasses (soit 10,3 m). Le plâtre (Le plâtre est un matériau de construction ignifuge. Il est utilisé sous forme de pâte constituée d'un mélange de poudre et d'eau, ou préparé sous forme de plaques....) permettait d'élever la hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.) de la colonne d'eau, mais sans qu'on sache pourquoi.

Galilée, en 1590, est opposé ( En mathématique, l'opposé d’un nombre est le nombre tel que, lorsqu’il est à ajouté à n donne zéro. En botanique, les organes d'une plante sont dits opposés lorsqu'ils sont insérés au même...) à l'idée du vide " grosso ", mais sous l'influence de Jean-Baptiste Baliani concéda le vide entre molécules dans l'eau, enfin se résolut au vide " grosso " vers 1635.

Baliani en 1630 a la vision juste : La Nature n'a pas horreur du vide, seule la pression de l'air (L'air est le mélange de gaz constituant l'atmosphère de la Terre. Il est inodore et incolore. Du fait de la diminution de la pression de l'air avec l'altitude, il...) équilibre la pression de la colonne d'eau :

P = ρgh

P est la pression, ρ est la masse volumique (Pour toute substance homogène, le rapport de la masse m correspondant à un volume V de cette substance est indépendante de la quantité choisie : c'est une caractéristique du matériau appelée masse volumique: ) du liquide (La phase liquide est un état de la matière. Sous cette forme, la matière est facilement déformable mais difficilement compressible.) en kg.m − 3, g l'attraction de la pesanteur (Le champ de pesanteur (ou plus couramment pesanteur) est un champ attractif auquel sont soumis tous les corps matériels au voisinage de la Terre : on...) en m.s − 2 et h hauteur en m en notation moderne. Et la pression de l'air est à évaluer par le " poids de l'air " à ses différents degré de ténuité.

En 1630, Galilée émet l'hypothèse que la cohésion de la corde d'eau est assurée par la résistance du vide intramoléculaire : trop haute, la corde casse sous son propre poids (Le poids est la force de pesanteur, d'origine gravitationnelle et inertielle, exercée par la Terre sur un corps massique en raison uniquement du...). Argumentation fausse reprise dans le Discorso. Remarque : on sait actuellement que la " pression interne (En France, ce nom désigne un médecin, un pharmacien ou un chirurgien-dentiste, à la fois en activité et en formation à l'hôpital ou en cabinet...) de l'eau " est supérieure à 1000 bars !

Mersenne et Isaac (ISAAC est un algorithme capable de générer des nombres pseudo-aléatoires, tombé dans le domaine public en 1996. Son auteur, Bob Jenkins, l'a conçu de manière à ce qu'il soit assez sûr pour être utilisé en cryptographie....) Beeckman en discutent en 1628. Mersenne écrit à Galilée vers 1640 pour lui demander l'explication de la résistance à l'écartement de 2 lames de verre (Le verre, dans le langage courant, désigne un matériau ou un alliage dur, fragile (cassant) et transparent au rayonnement visible. Le plus souvent, le verre est constitué d’oxyde de...) superposées.

En Italie, à Rome, Benedetto Castelli et Raffaello Magiotti décident d'étudier le problème des fontainiers ; Antonio Nardi, Gasparo Berti et Michelangelo Ricci aussi, avec le minime Emmanuel Maignan (partisan du vide grosso) et les jésuites Niccolo Zucchi et Kircher (opposés au vide grosso, pour des raisons théologiques) : Berti réussit et le montre aux Romains (avant fin 1641) : l'eau ne monte qu'à 10,3 m. Mais au-dessus, qu'y a-t-il ?

Contribution de Torricelli

Adoptant l'idée de Baliani, Torricelli a pour contribution essentielle celle de proposer le mercure de densité (La densité ou densité relative d'un corps est le rapport de sa masse volumique à la masse volumique d'un corps pris comme...) 13,6, qui devrait donc donner une hauteur de 10,3/13,6 = 0,76 m.

Expérience que Viviani réalise dans le courant du printemps (Le printemps (du latin primus, premier, et tempus, temps, cette saison marquant autrefois le début de l'année) est l'une des quatre saisons des zones tempérées, précédant...) 1644 :

  • Réaliser la cuve et la remplir de vif-argent
  • Prendre un ballon à long col (d'environ 1m)
  • Le remplir à ras-bord
  • Boucher avec le pouce et retourner sur la cuve
  • Enlever le pouce

Le vif-argent s'écoule jusqu'à une hauteur de 76 cm, quel que soit le type de ballon ou son inclinaison (En mécanique céleste, l'inclinaison est un élément orbital d'un corps en orbite autour d'un autre. Il décrit l'angle entre le plan de l'orbite et le plan de référence (généralement le plan de...). Par ailleurs, si de l'eau est versée sur le mercure, et qu'on retire le tube jusqu'à l'eau, celle-ci est " aspirée avec horrible violence. "

Le 11 juin 1644, Torricelli fait l'analyse critique de cette expérience avec Ricci : La nature n'a aucune horreur du vide. Le vide n'aspire pas : on peut à volonté faire coulisser le tube et réduire la chambre barométrique.

Il n'y a aucun effet sauf si on chauffe. (Il est donc, semble-t-il, impossible de réaliser un baromètre. Mais à cette époque, le verre n'était sans doute pas dégazé, et il devait s'établir une légère pression d'air dans la chambre. Peut-être aussi y restait-il de la vapeur () d'eau des expériences antérieures.)

Après 1644

Lezioni accademiche (1715)
Lezioni accademiche (1715)

Mersenne tenta vainement (il faut avoir un tube de verre qui ne casse pas). Et ce furent les expériences de 1646-1648 de Petit, Florin Périer et Pascal qui résolvent magistralement le problème avec la montée au Puy de Dôme (), que Mersenne ne vit pas car il meurt en 1648.

Le baromètre est né.

Qui le premier fit le calcul de la masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un corps : l'une quantifie l'inertie du corps (la masse inerte) et l'autre la contribution du corps à la force...) de l'atmosphère ? Soit la masse d'une couche de mercure de 0,76 m sur toute la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière...) de la Terre :

\rho_{Hg}\cdot 76 \mbox{ cm } \cdot S, avec S = aire (Aires (en espagnol, les airs) est une compagnie aérienne intérieure de Colombie.) de la surface de la Terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance croissante au Soleil, et la quatrième par taille et par masse croissantes. C'est la plus grande et la plus massive des quatre...) = R2

En tout cas, ce n'est pas dans les papiers de Torricelli, ni dans ceux de Baliani.

Torricelli hydraulicien, élève de Castelli

Le De Motu Aquarum fait partie du traité de 1644, Opera Geometrica, et il y est énoncé la loi de Torricelli. Sa traduction eut lieu en France, à l'intention de Fermat, en 1664, précédée de l'ouvrage de Castelli, sur les eaux courantes, et d'un discours sur la jonction des Mers (Le terme de mer recouvre plusieurs réalités.). (Rappel : ce discours, qui doit dater des années 1630, il hantera Pierre-Paul Riquet (1609-1680) dès sa jeunesse.)

Torricelli est-il l'auteur de sa loi ?

v = \sqrt{2gh}

est la formule qui fait connaître Torricelli dans le monde (Le mot monde peut désigner :) de l'hydraulique. Elle relie la vitesse (On distingue :) v d'écoulement d'un liquide par l'orifice d'un récipient à la hauteur h de liquide contenu dans le récipient au-dessus de l'orifice, g étant l'accélération (L'accélération désigne couramment une augmentation de la vitesse ; en physique, plus précisément en cinématique, l'accélération est une grandeur vectorielle qui indique la...) de la pesanteur.

  • Antérieurement, Mersenne a écrit de nombreuses lettres à Peiresc en 1634. En 1639, il semble que Descartes le félicite pour sa loi qui calque " par anticipation " celle de Torricelli. Ces écrits sont conservés aux Arts et Métiers à Paris (Paris est une ville française, capitale de la France et le chef-lieu de la région d’Île-de-France. Cette ville est construite sur une boucle...).
  • Descartes, Mersenne, Gassendi écrivent beaucoup jusqu'en 1643 et après. Les difficultés sont bien cernées : niveau d'eau constant, perte de charge (La charge utile (payload en anglais ; la charge payante) représente ce qui est effectivement transporté par un moyen de transport donné, et qui donne lieu à un paiement ou un bénéfice non pécuniaire pour être...) si retrécissement, problème de la buse de sortie, et bien évidemment le jet d'eau et la loi de 1638 de Galilée (4e journée). Hydraulica de Mersenne paraît en 1644 et Mersenne rencontra Torricelli en 1645. Clairement, si les vases communicants font remonter l'eau au niveau du lac (En limnologie, un lac est une grande étendue d'eau située dans un continent où il suffit que la profondeur, la superficie, ou le volume soit suffisant pour provoquer une stratification,...), il est manifeste que le jet d'eau dirigé verticalement n'y remonte pas vraiment, et chacun voit bien ce que produit la modification de la buse dans un jet d'arrosage. La démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment...) manifestement dépasse les physiciens de l'époque.
  • Postérieurement, 1668, à l'Académie des Sciences (Une académie des sciences est une société savante dont le rôle est de promouvoir la recherche scientifique en réunissant certains des chercheurs les plus éminents, en tenant des séances au cours desquelles des travaux sont...) de Paris, Christiaan Huygens et Jean Picard, puis Edme Mariotte (L’abbé Edme Mariotte est un physicien et un botaniste français, né vers 1620 à Dijon et mort le 12 mai 1684 à Paris.) reprennent le problème.

En 1695, donc après Newton (1687), Pierre Varignon (Pierre Varignon, né à Caen en 1654 et mort à Paris le 23 décembre 1722, était un mathématicien français.) raisonne ainsi :

" La petite masse d'eau ρ.S.dx est éjectée par la force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale « cardinale »...) de pression S.ρ.g.h avec une quantité de mouvement (En physique, la quantité de mouvement est la grandeur physique associée à la vitesse et la masse d'un objet. La quantité de mouvement d'un système fait partie, avec l'énergie, des valeurs qui se conservent...) ρ.S.dx.v pendant le temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) dt : soit v² = g.h "

mais il y manque toujours le facteur 2.

En 1738, Daniel Bernoulli donne enfin la solution dans son Hydrodynamica. Leonhard Euler viendrait bientôt : tout deviendrait clair. Cette loi a donc fait couler beaucoup... d'eau.

Torricelli, élève de Cavalieri

Torricelli, grand admirateur de Cavalieri, dépassa le maître dans l'utilisation de la méthode des indivisibles, car pour la première fois, il va considérer des quantités homogènes : en sommant de " petites " aires, on obtient une aire, etc. La largeur des lignes vient résoudre les paradoxes de Cavalieri.

Torricelli et les indivisibles

Cavalieri est sans doute le premier à démontrer, à l'aide des indivisibles, que l’aire sous la courbe d'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les...) y = xn − 1 entre les points d'abscisses x1 et x2 est

\frac{y_2x_2-y_1x_1}{n} pour n entier supérieur à 1.

Fermat généralise cette relation pour n rationnel positif supérieur à 1 et n entier inférieur strictement à -1 en utilisant des séries.

Torricelli va généraliser le travail des indivisibles de Cavalieri à ce que la thermodynamique (On peut définir la thermodynamique de deux façons simples : la science de la chaleur et des machines thermiques ou la science des grands systèmes en équilibre. La première définition est aussi la...) actuelle appelle un processus polytropique :

Soit PVn=cste, \int_{V_1}^{V_2} P dV = \frac{P_1V_1-P_2V_2}{n-1}

C'est le cas dit " hyperbolique " (avec n différent de 1 ; le cas n = 1 ne pourra s'obtenir qu'en utilisant les logarithmes)

Appelons A1 et A2 les deux points sur la courbe polytropique, B1 et B2 leur abscisse ; C1 et C2 leur ordonnée. Le tour de force de Torricelli est de comparer les aires des trapèzes curvilignes S1 = aire(A1B1B2A2) et S2 = aire(A1C1C2A2). Il démontre que S2 = nS1. Ensuite il lui suffit de faire la différence des deux aires

S1S2 = − (n − 1)S1
S1S2 = aire(OB2A2C2) − aire(OA1C1) = P2V2P1V1

d'où

S_1 = \frac{P_1V_1-P_2V_2}{n-1}

Pour démontrer l'égalité : S2 = nS1, Torricelli compare les aires des gnomons y.dx et x.dy. De nos jours (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la période entre deux nuits, pendant laquelle les rayons du Soleil éclairent le ciel. Son début (par rapport à minuit...), le calcul se fait aisément en différentiant PVn

VndP + nPVn − 1dV = 0 d'où VdP = − nPdV

Mais le dire en 1646 reste un tour de force. Ce que vient de découvrir Torricelli, c'est que, dans cette figure infinitésimale, les aires des gnomons y.dx et x.dy sont à considérer et ce sont ces aires que l'on somme : il faut donc considérer les épaisseurs des " lignes de Cavalieri. "

Pour les volumes de révolution, il comprit aussi que les rondelles de salami ont un volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.), et qu'il faut donc sommer les volumes infinitésimaux.

Il redémontre, grâce aux indivisibles, la célèbre relation d'Archimède, inscrite sur sa tombe, concernant le volume du bol (S) hémisphérique, celui du cylindre (Un cylindre est une surface dans l'espace définie par une droite (d), appelée génératrice, passant par un point variable décrivant une...) droit (D) de même rayon r et de hauteur r et celui du cône de révolution de rayon r et de hauteur r :

\frac{V(D)}{3 } = \frac{V(S)}{2 } = \frac{V(C)}{1 }

Il est également l'inventeur de la trompette de Gabriel, une figure géométrique (Les figures géométriques sont un mode d'expression décoratif développé par les civilisations anciennes, basé sur la répétition de figures et motifs suivant un tracé géométrique propre à une iconographie identitaire.) qui présente la particularité étonnante de posséder une surface infinie mais un volume fini. C'est le résultat de la rotation d'une partie de l'hyperbole équilatère y=1/x, pour x>1, autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter, soit constituent les 5 genres Erythrotriorchis, Kaupifalco,...) de l'axe (Ox).

Il démontre aussi la formule du volume du tonneau ou formule des trois niveaux (lettre à Roberval 1643):

Soit un solide de révolution de méridienne une conique (Les coniques constituent une famille très utilisée de courbes planes algébriques, qui peuvent être définies de plusieurs manières différentes, toutes équivalentes entre elles.). Coupons-le en 2 niveaux z1 et z2. Soit z2z1 = h. Soit S1 l'aire du disque (Le mot disque est employé, aussi bien en géométrie que dans la vie courante, pour désigner une forme ronde et régulière, à l'image d'un palet — discus en latin.) de cote z1, S2 celle du disque de cote z2, Sm l'aire du disque de cote moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'auraient chacun des membres de l'ensemble s'ils...) z_1+z_2 \over2 alors
V_{tonneau} = h\frac{S_1+S_2+4S_m}{6}

Il en déduit le volume du rond ( Le mot rond caractérise et par abus de langage désigne un cercle ou une sphère. En argot, un rond c'est un sou. Une affaire rondement menée est une affaire traitée rapidement en...) de serviette :

Soit une sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les points situés à une même distance d'un...) de rayon R. Ôter par perçage le cylindre, centré, vertical (Le vertical (rare), ou style vertical, est un style d’écriture musicale consistant en accords plaqués.), de base circulaire, ce qui ne laisse qu'un volume annulaire, appelé vulgairement " rond de serviette ", de hauteur 2h.
V = \frac{4}{3}\pi h^3

Ce volume se calcule en ôtant au volume du tonneau de hauteur 2h le cylindre de rayon \sqrt{R^2-h^2}. On peut remarquer que ce résultat est indépendant du rayon R de la sphère de départ et ne dépend que de la hauteur h du rond de serviette (pour R > h)

Calcul des barycentres

Torricelli s'intéresse aussi au barycentre (Le barycentre est un point mathématique (géométrie analytique) construit à partir d'un ensemble d'autres. Il correspond) des solides étudiés. Ainsi, dans la même lettre adressée à Roberval, précise-t-il la position du centre de gravité (Le centre de gravité est le point d'application de la résultante des forces de gravité ou de pesanteur. Il est également le point d'intersection de...) du tonneau :

Soit un solide de révolution de méridienne une conique. Coupons-le en deux niveaux z1 et z2 et notons h = z2z1. Soit S1 l'aire du disque de cote z1, S2 celle du disque de cote z2, Sm l'aire du disque de cote moyenne z_1+z_2 \over2 alors le centre de gravité (La gravitation est une des quatre interactions fondamentales de la physique.) G a pour cote zG telle que :
z_2 - z_G = h \frac{S_1+2S_m}{S_1+S_2+4S_m}

Enfin, généralisant une coupe de pierre en biseau que lui avait proposée Cavalieri, il publie le 7 avril 1646, la formule pour le centre de gravité (réécrite en notation moderne) :

Soit x = f(z) l'équation de la méridienne d'une surface de révolution, limitée par les plans z = a et z = b. Alors le barycentre de la surface méridienne a pour cote zG vérifiant
\int_a^b f(z)dz \times z_G = \int_a^b zf(z)dz
Et le barycentre G' du volume a pour cote zG' vérifiant
\int_a^b f^2(z)dz \times z_{G'} = \int_a^b zf^2(z)dz

Torricelli avait-il connu les théorèmes de Guldin de 1643 ? En tout cas, leurs recherches se complétaient.

Torricelli cinématicien, élève de Galilée

La cycloïde (La cycloïde droite, aussi appelée roue d'Aristote ou roulette de Pascal, est une courbe plane transcendante, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur une droite. Il s'agit donc d'une courbe...)

Admirateur de Galilée, élève doué de Cavalieri, il va poursuivre des idées qui existaient déjà chez Roberval.
Jean Itard (historien du Centre Koyré, Paris) a minutieusement mené l'enquête au sujet de la quadrature de la cycloïde :
Galilée aurait répondu qu'il avait vainement cherché, y compris en découpant un patron en carton et en le pesant. La compétition Roberval-Torricelli est plus serrée, et il est difficile d'y voir clair, car à l'époque, on déclarait avoir trouvé, mais on ne publiait pas, de peur que l'autre vous double : les questions de priorité seront le cauchemar (Le mot cauchemar est un terme générique utilisé de façon variable pour désigner des manifestations anxieuses et angoissantes survenant pendant le sommeil.) du XVIIe.
Mais le résultat de l'enquête est là : priorité à Roberval, sans méconnaître les mérites de Torricelli.cf. cycloïde.

Diagramme (Un diagramme est une représentation visuelle simplifiée et structurée des concepts, des idées, des constructions, des relations, des données statistiques, de l'anatomie etc. employé dans tous les aspects des activités humaines pour...) horaire

En revanche, il est vraiment l'inventeur du diagramme horaire et du diagramme des espaces : il dit très clairement en toute généralité, puis sur des exemples simples, que si la vitesse du mobile est v(t), son abscisse sera \int_0^t v(t) dt, dans nos notations modernes qui datent de Leibniz (Lettre à Oldenburg du 29 oct 1675).

Et réciproquement, Torricelli parle du " théorème d'inversion ": si on possède x(t), la " tangente " donnera la vitesse :

v(t)= \frac {x(t)}{TT_1},

TT1 est la sous-tangente, T est le point (Graphie) de l'axe des abscisses d'abscisse t, T1 est le point d'intersection de la tangente à la courbe au point d'abscisse t avec l'axe des abscisses.

Il en est donc au même niveau que Barrow en Angleterre (L’Angleterre (England en anglais) est l'une des quatre nations constitutives du Royaume-Uni. Elle est de loin la plus peuplée, avec 50 763 000 habitants (en 2006), qui représentent 83,8% de la...). En tout cas, James Gregory, élève à Bologne (Bologne est une ville italienne d'environ 375 000 habitants, située dans le nord-est du pays, entre le Pô et les Apennins. C'est le chef-lieu de la région d'Émilie-Romagne (plaine du Pô) et de la...), avec les continuateurs de l'œuvre de Cavalieri, sut en profiter.

Diagramme des espaces : la formule \frac{1}{v(x)} = \frac{1}{\sqrt{2gx}} ne lui fait plus peur, alors que Galilée hésitait, ne voulant pas utiliser les travaux de Cavalieri.

Parabole de sûreté (Soit un boulet B (lancé à une vitesse initiale Vo), tombant dans le vide, dans un champ de pesanteur uniforme g.)

  • Voir article détailé : Parabole (La parabole est l'intersection d'un plan avec un cône lorsque le plan est parallèle à l'une des génératrices du cône. Elle est un type de courbe dont les nombreuses propriétés géométriques ont intéressé les mathématiciens...) de sûreté

C'est lui qui, pour la première fois invente la notion d'enveloppe, et trouve la solution complète de la chute libre " avec violence ", et la description complète de la parabole de sûreté, via une méthode peu connue.
Malheureusement, il ne compléta pas son travail : sans introduction de la résistance de l'air, la notion d'asymptote (Le terme d'asymptote est utilisé en mathématiques pour préciser des propriétés éventuelles d'une branche infinie de courbe à accroissement tendant vers l'infinitésimal. C'est d'abord un adjectif...) (cf. balistique (La balistique est la science qui a pour objet l'étude du mouvement des projectiles.) extérieure) n'existe pas ; et son travail est la risée des artilleurs (les bombardieri).

Coordonnées polaires (Les systèmes de coordonnées polaires dans et sont des systèmes de coordonnées particulièrement adaptées pour l'écriture des rotations ou des homothéties.)

Par ailleurs, par sa méthode des indivisibles courbes, il va pouvoir traiter les problèmes de courbes en coordonnées polaires, à une époque où Descartes venait tout juste de parler de coordonnées cartésiennes : il sait intégrer l'aire et la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet complètement...) des spirales r = θk ; mais surtout, il va découvrir la cochlée (cf. spirale ((voir page de discussion)) logarithmique) et ses propriétés extraordinaires (Opere, III, p 368, p 477, Lettres à Ricci de 1646 et à Cavalieri(1598-1647)):

Soit une spirale logarithmique (La spirale logarithmique est la courbe d'équation polaire suivante :), l'arc issu de M s'enroule une infinité de fois autour de O mais sa mesure est finie : tracer la tangente en M. Y placer le point C de manière que le triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de...) OCM soit isocèle.
L'arc mesure OC+ CM.
L'aire balayée par OM est égale à l'aire du triangle OCM.
Bernoulli n'aurait pas dit mieux.

Torricelli, dynamicien ?

Il est encore bien tôt, avant 1647, de parler de dynamique (Le mot dynamique est souvent employé désigner ou qualifier ce qui est relatif au mouvement. Il peut être employé comme :). Néanmoins, quelqu'un étudiant la proto-dynamique serait certainement intéressé par l'évolution du concept de percussion depuis Galilée vers 1590 jusqu'aux leçons de Torricelli en 1644-1646 à l'Academia del Crusco. Un spécialiste y trouverait des phrases troublantes du type :

La gravité est une fontaine d'où jaillissent continuellement des quantités de mouvement... Elles se conserveront et s'agrègeront ; quand le grave vient donner la percussion sur le marbre, il n'applique plus sa charge de 100 livres, fille d'un seul instant (L'instant désigne le plus petit élément constitutif du temps. L'instant n'est pas intervalle de temps. Il ne peut donc être...), mais les forces omnes(sommées) filles de dix instants. "

Si on remplaçait le mot instant par durée, ce texte serait d'une incroyable modernité.

Tragique destin

Le 5 octobre 1647, il écrivit à Cavalieri : " Je vais écrire un livre sur " des lignes nouvelles ". " Le 25, une typhoïde l'emportait. Et Cavalieri meurt peu après. Qui récupère ce " fatras d'idées " ? Une cassette, la fameuse cassette, léguée à Serenai ? Cette cassette contiendrait aussi la recette de fabrication de très bons verres d'optique : Torricelli en était un des maîtres.

John Wallis et Jacques Bernoulli se seraient régalés d'un tel trésor. Les recherches de filiation seront sans doute à chercher, soit vers l'école des Minimes (Mersenne ?), soit vers Stefano degli Angeli et son élève James Gregory, mais il est clair que cette mort (La mort est l'état définitif d'un organisme biologique qui cesse de vivre (même si on a pu parler de la mort dans un sens cosmique plus...) prématurée et le travail de l'Inquisition vont affaiblir l'école italienne (Italienne est le nom communément utilisé pour le cordage servant a manœuvrer un enrouleur. Il s'enroule sur un tambour quand on déroule la voile, et on tire dessus pour enrouler la voile.). Florence (Florence (en italien Firenze) est une ville d'Italie, capitale de la région de Toscane et chef-lieu de province (370 051 habitants, les Florentins). Située au pied de l'Apennin...) resta active ; néanmoins la flamme va passer (Le genre Passer a été créé par le zoologiste français Mathurin Jacques Brisson (1723-1806) en 1760.) dans une Angleterre florissante (Gregory, Wallis, Barrow), alors que Venise doit compter ses sous, pour sa guerre contre les Ottomans, et que l'Allemagne vient d'être ravagée par la guerre de Trente Ans (1618-1648).

Si héritage et continuation (En informatique, la continuation d'un système désigne son futur, c'est-à-dire la suite des instructions qu'il lui reste à exécuter à un moment...) il y a, c'est peut-être chez Christiaan Huygens (1629-1695) qu'il faut chercher. Adolescent comblé (il est le fils de Constantijn Huygens, premier ministre de Hollande), il reçut de Mersenne, qui le connaissait via Descartes, maints problèmes transmis par Torricelli, qui lui servirent d'apprentissage (L’apprentissage est l'acquisition de savoir-faire, c'est-à-dire le processus d’acquisition de pratiques, de connaissances, compétences, d'attitudes ou de...) dès l'âge de 16 ans (1645).

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