Analyse harmonique sur un groupe abélien fini

Analyse harmonique sur un groupe abélien fini - Définition et Explications

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Introduction

En mathématiques, l'analyse harmonique sur un groupe abélien fini est un cas particulier d'analyse harmonique correspondant au cas où le groupe est abélien et fini.

L'analyse harmonique permet de définir la notion de transformée de Fourier (En analyse, la transformation de Fourier est un analogue de la théorie des séries de Fourier pour...) ou le produit de convolution (En mathématiques, le produit de convolution de deux fonctions réelles ou complexes f et g se note...). Elle est le cadre de nombreux théorèmes comme celui de Plancherel, l'égalité de Parseval (L'égalité de Parseval (parfois appelée également Théorème de Parseval ou Identité de...) ou la dualité de Pontryagin.

Le cas où le groupe est abélien et fini est le plus simple de la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...), la transformée de Fourier se limite à une somme finie et le groupe dual est isomorphe au groupe d'origine.

L'analyse harmonique (Dans plusieurs domaines, une harmonique est un élément constitutif d'un phénomène périodique...) sur un groupe abélien fini (En mathématiques et plus précisément en algèbre, les groupes abéliens...) possède de nombreuses applications, particulièrement en arithmétique modulaire (En mathématiques et plus précisément en théorie algébrique des nombres,...) et en théorie de l'information.

Contexte

Algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche...) du groupe

L'analyse harmonique constitue un outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son...) d'étude de l'espace des applications CG d'un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...), ici un groupe abélien fini G (noté dans tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) l'article additivement), dans le corps des nombres complexes C. Cet espace dispose de plusieurs structures. Dans un premier temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le...), comme C est un corps, CG est un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant...) complexe de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une...) g si g désigne l'ordre du groupe G. Il est naturellement muni d'un produit hermitien (Plusieurs entités mathématiques sont qualifiées d'hermitiennes en référence au mathématicien...) \langle\cdot|\cdot\rangle défini par :

\forall f,h \in \mathbb C^G,\quad \langle f|h\rangle=\frac 1g \sum_{s \in G} f(s)^*\cdot h(s) \;

Ici, et dans le reste de l'article si z désigne un nombre complexe (Les nombres complexes forment une extension de l'ensemble des nombres réels. Ils permettent...), z* désigne son conjugué (En mathématiques, le conjugué d'un nombre complexe z est le nombre complexe formé de...). Ce produit hermitien dit canonique, confère à CG une structure d'espace de Hilbert (Un espace de Hilbert est un espace de Banach (donc complet) dont la norme découle d'un produit...), noté L2(G).

Dans tout l'article (es) où s décrit G, désigne la base canonique (Dans un espace vectoriel, une base canonique est une base qui se présente de manière...) de CG, c'est-à-dire que es désigne la fonction qui à t élément de G associe 0 sauf si t est égal à s et alors es(s) = 1.

L'espace vectoriel engendré par la famille (es) est muni de la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire...) interne (En France, ce nom désigne un médecin, un pharmacien ou un chirurgien-dentiste, à la...) suivante, prolongeant celle du groupe G :

\forall (a_s)_{s\in G} \;, (b_t)_{t\in G}\in \mathbb C^G, \quad \left(\sum_{s\in G} a_s\cdot e_s\right)\cdot\left(\sum_{t\in G} b_t\cdot e_t\right)= \sum_{s,t\in G} a_sb_t\cdot e_{st}\;

Cette multiplication confère à L2(G) une structure d'algèbre semi-simple (En mathématiques et plus particulièrement en algèbre, une A-algèbre L, où...), en général notée C[G].

La théorie de l'analyse harmonique sur un groupe abélien fini utilise indifféremment les notations L2(G) ou C[G] pour désigner la structure de base de la théorie. Dans cet article les notations utilisées sont celles de C[G]. Ainsi, si a est un élément de l'algèbre, on utilise ici la notation as pour désigner la coordonnée de a dans la base canonique, cette notation correspond à l'égalité as = a(s) si a est considéré comme un élément de L2(G).

Groupe dual

Le groupe dual de G, noté ici \scriptstyle \widehat G est constitué de l'ensemble de s caractères de G. Il forme un groupe isomorphe à G. Il est constitué d'applications de G dans C, donc est inclus dans L2(G) identifié ici à C[G]. Il forme en fait une base orthonormale (Soit En un espace vectoriel euclidien de dimension n, où n est un entier naturel non nul, et , une...) de l'algèbre.

L'algèbre du groupe dual est canoniquement isomorphe à l'ensemble des applications du groupe dual dans C. Ces applications se prolongent par linéarité en une application qui à une combinaison (Une combinaison peut être :) linéaire de caractère associe un complexe, c'est-à-dire à un élément du dual de l'algèbre C[G]. Le dual de C[G] est donc canoniquement isomorphe à l'algèbre du groupe dual de G.

Applications

Arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la...) modulaire

Les premières utilisations historiques des caractères ont pour objectif l'arithmétique. Le symbole de Legendre est un exemple de caractère sur le groupe multiplicatif du corps fini (En mathématiques et plus précisément en algèbre, un corps fini est un corps...) Z/pZZ désigne l'anneau des entiers relatifs et p un nombre premier (Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et...) impair.

Il est utilisé pour le calcul des sommes de Gauss ou des périodes de Gauss. Ce caractère est à la base d'une démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir...) de la loi de réciprocité quadratique.

Symbole de Legendre

Dans ce paragraphe p désigne un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) premier impair (c'est-à-dire différent de deux). G est ici le groupe Z/pZ. Le symbole de Legendre désigne la fonction, qui à un entier a, associe 0 si a est un multiple de p, 1 si la classe de a est un carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses...) différent de 0 dans Z/pZ et -1 sinon.

  • L'image de la fonction symbole de Legendre sur le groupe multiplicatif de Z/pZ correspond au caractère à valeur dans l'ensemble {-1, 1}.

En effet, le symbole de Legendre est défini sur Z. Cette fonction est constante sur les classes d'entiers modulo ( En arithmétique modulaire, on parle de nombres congrus modulo n Le terme modulo peut aussi...) p, elle est donc définie sur le groupe multiplicatif de Z/pZ. Sur ce groupe, le symbole de Legendre prend ses valeurs dans l'ensemble {-1, 1} et est un morphisme de groupe, car le symbole de Legendre est un caractère de Dirichlet.

Les démonstrations sont données dans l'article associé.

Somme de Gauss

Dans le reste de l'article, Fp désigne le corps fini de cardinal p ou p est un nombre premier impair.

  • Soit ψ un caractère du groupe additif (Fp, +) et χ un caractère du groupe multiplicatif (Fp*, .), alors la somme de Gauss associé à χ et ψ est le nombre complexe, ici noté G(χ, ψ) et défini par :
G(\chi ,\psi)=\sum_{x \in F_p^*} \chi(x).\psi(x) \;

En termes de transformée de Fourier, on peut considérer l'application qui à χ associe G(χ, ψ*) comme la transformée de Fourier du prolongement de χ à Fp par l'égalité χ(0) = 0 dans le groupe additif du corps et l'application qui à ψ associe G*, ψ) comme la transformé de Fourier de la restriction de ψ à Fp* dans le groupe multiplicatif du corps.

Les sommes de Gauss sont largement utilisées en arithmétique, par exemple pour le calcul des périodes de Gauss, elles par exemple, de déterminer la somme des valeurs du groupe des résidus quadratiques des racines p-ièmes de l'unité et plus généralement de déterminer les racines du polynôme cyclotomique (En mathématiques et plus particulièrement en algèbre, on appelle polynôme...) d'indice p.

Loi de réciprocité quadratique

Les sommes de Gauss ont une application historique importante, la loi de réciprocité quadratique, elle s'exprime de la manière suivante :

  • Soit p et q deux nombres premiers impairs distincts, l'égalité suivante est vérifiée :
 \left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}

Ce théorème est démontré dans l'article Somme de Gauss.

Caractère de Dirichlet

Pour démonter le théorème de la progression arithmétique, affirmant que toute classe inversible de l'anneau Z/nZ contient une infinité de nombres premiers, Dirichlet généralise les travaux de Gauss et étudie systématiquement le groupe des caractères du groupe de l'unité d'un quotient de Z.

L'utilisation de la transformée de Fourier est une étape clé de la démonstration. Les caractères de Dirichlet ont un rôle important dans la théorie analytique des nombres particulièrement pour analyser les racines de la fonction ζ de Rieman.

Espace vectoriel fini

Un cas particulier est celui des espaces vectoriels sur un corps fini. Les propriétés des corps finis permettent d'établir les résultats de la théorie sous une forme légèrement différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des...). Ce cas est utilisé par exemple en théorie de l'information à travers l'étude des fonctions booléennes, correspondant au cas où le corps contient deux éléments. La théorie est utilisée pour résoudre des questions de cryptologie notamment pour les boîtes-S, ainsi que pour les chiffrements par flot. L'analyse harmonique sur un espace vectoriel fini intervient aussi dans le contexte de la théorie des codes et particulièrement pour les codes linéaires, par exemple pour établir l'identité de MacWilliams.

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