Topologie de l'Univers - Définition et Explications

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Le terme forme de l'Univers est le plus utile lorsqu'il désigne ou bien la forme (la courbure et la topologie) d'une section spatiale de l'Univers (" la forme de l'espace ") ou bien, de façon plus générale, la forme de l'espace-temps (La notion d'espace-temps a été introduite au début des années 1900 et reprise notamment par Minkowski en 1908 dans un exposé mathématique sur la...) entier.

La forme de l'espace (d'une section spatiale comobile de l'Univers)

Intuition et langage préalable pour comprendre le thème

Pour pouvoir comprendre les concepts de la forme de l'Univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.), selon le modèle standard, le lecteur devrait d'abord développer son intuition sur ce qu'est une variété différentielle, et plus précisément, sur ce qu'est une variété riemannienne.

Néanmoins, ces définitions sont abstraites. Voilà une tentative à donner au lecteur un aperçu pour développer cette intuition.

Les notions ordinaires de l'espace et du temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) du lecteur sont très probablement en erreur; ce sont des constructions psychologiques développées à partir du sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du...) commun. Ce sont des notions pratiques pour la vie (La vie est le nom donné :) ordinaire, puisqu'elles modélisent bien la réalité sur les échelles humaines de distance et du temps, mais ceci ne suffit pas pour qu'elles soient valables.

Par exemple, le sens commun et l'observation (L’observation est l’action de suivi attentif des phénomènes, sans volonté de les modifier, à l’aide de moyens d’enquête et d’étude appropriés. Le plaisir procuré explique la très...) directe nous disent que le monde (Le mot monde peut désigner :) est grand, plat et immobile. Or, en vérité, la Terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance croissante au Soleil, et la quatrième par taille et par masse...) est petite, ronde et tourne sur elle-même rapidement (à peu près 1 700 km/h sur l'Équateur) et à son tour, elle orbite (En mécanique céleste, une orbite est la trajectoire que dessine dans l'espace un corps autour d'un autre corps sous l'effet de la gravitation.) autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre...) du Soleil (Le Soleil (Sol en latin, Helios ou Ήλιος en grec) est l'étoile centrale du système solaire. Dans la classification astronomique, c'est une étoile de...) (à 100 000 km/h environ). Cette réalité n'a été découverte qu'il y a quelques siècles, et il a fallu à peu près un autre siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué...) pour qu'elle soit largement acceptée.

De la même façon, différentes expériences ont montré que l'Univers se comporte d'une façon très différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des nombres pour mesurer l'éventuel défaut de...) par rapport à ce que nous attendons de l'expérience ordinaire, sur des échelles de longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de...) très petites ou très grandes, et sur des échelles de vitesse (On distingue :) et d'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.) très élevées.

Elles nous indiquent même que la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures d'autres types...) locale de l'espace est modifiée par la gravité (La gravitation est une des quatre interactions fondamentales de la physique.). Il est donc naturel de se demander si l'Univers peut avoir une géométrie locale (une courbure (Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est une mesure quantitative du caractère « plus ou moins courbé » de cet objet. Par exemple :), locale, mais pareille globalement) ou globale (une topologie) sur les très grandes échelles, qui soit différente de celle que nous attendons intuitivement.

Le lecteur pourrait d'abord imaginer une définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) très abstraite d'un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout »,...), ce qui est, en gros, une collection de points, auquel par la suite l'on rajoute de plus et plus de définitions de propriétés de ces ensembles.

Ces définitions incluent les façons selon lesquelles les points sont liés entre eux, et après qu'un certain nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de définitions ont été rajoutées, l'ensemble possède des propriétés qui ressemblent à celle des notions ordinaires de l'espace, mais qui évitent certains supposés arbitraires et inutiles.

Ensuite le lecteur est invité à accepter l'usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) des espaces à deux dimensions comme analogies pour l'espace réel à trois dimensions, parce que dans ce cas, l'intuition à trois dimensions déjà installée dans l'esprit du lecteur peut être utilisée comme un outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son efficacité naturelle dans l'action. Cette augmentation se traduit par la simplification des...) psychologique pour réfléchir sur les différentes possibilités d'espaces à deux dimensions. Il faut, pourtant, bien se rappeler que l'usage d'une dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une...) pour le développement de son intuition n'implique pas que cette troisième dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est...) ait un quelconque sens physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et...). Ce n'est qu'une astuce psychologique pour imaginer les espaces de courbure et de topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures).) diverses.

L'espace comobile

Les coordonnées comobiles sont nécessaires pour réfléchir à la forme de l'Univers. Dans ces coordonnées, nous pourrions imaginer l'Univers en tant qu'objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une étiquette verbale. Il est...) comobile, qui ne s'étend pas avec le temps, malgré le fait que l'Univers soit en expansion. C'est tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) simplement un choix de système de coordonnées qui facilite la compréhension du phénomène, qui ne change pas la réalité physique. Il permet la séparation (D'une manière générale, le mot séparation désigne une action consistant à séparer quelque chose ou son résultat. Plus particulièrement il est employé dans...) de la géométrie (la forme) de la dynamique (Le mot dynamique est souvent employé désigner ou qualifier ce qui est relatif au mouvement. Il peut être employé comme :) (l'expansion).

Géométrie locale (courbure) et géométrie globale (topologie)

Géométrie locale (courbure)

En mots simples, c'est la question si oui ou non le théorème de Pythagore (Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui énonce que dans un triangle rectangle (qui possède un angle droit) le...) est valable, ou de façon équivalente, si oui ou non les lignes parallèles restent équidistantes l'une de l'autre, dans l'espace auquel on s'intéresse.

Si nous écrivons le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au...) de Pythagore (Pythagore (en grec ancien Πυθαγόρας / Pythagóras) est un philosophe, mathématicien et scientifique...) comme :

h = \sqrt{x^2 + y^2}

alors :

  • un espace plat (de courbure nulle) est un espace où le théorème est vrai
  • un espace hyperbolique (de courbure négative) est celui où h > \sqrt{x^2 + y^2}
  • un espace sphérique (de courbure positive) est celui où h < \sqrt{x^2 + y^2}

La première et la troisième de ces possibilités sont faciles à imaginer par les analogies bi-dimensionnelles. La première est le plan plat. La troisième est la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent abusivement confondu...) d'une sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les points situés à une même...) ordinaire.

Géométrie globale (topologie)

En mots simples, c'est la question qui ignore le théorème de Pythagore. Trois espaces bi-dimensionnels qui sont plats, dans lesquels le théorème de Pythagore est valable, sont :

  • le plan plat infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui...)
  • un cylindre (Un cylindre est une surface dans l'espace définie par une droite (d), appelée génératrice, passant par un point variable...) infiniment long
  • un 2-tore, c.-à-d. un cylindre fini auquel on rajoute une définition qui dit les deux bouts sont collés l'un contre l'autre, de façon à ce que l'espace entier est continu et sans bords (on dit que les deux bouts sont " identifiés " l'un avec l'autre).

Chacune de ces trois possibilités est globalement différente de l'autre.

La troisième est finie en 2-volume, c.-à-d. sa superficie (L'aire ou la superficie est une mesure d'une surface. Par métonymie, on désigne souvent cette mesure par le terme « surface » lui-même (par exemple, on parle de la « surface d'un...) est finie, mais elle n'a pas de bords et le théorème de Pythagore est valable partout. Il y a une difficulté dans l'utilisation de notre intuition de l'espace tri-dimensionnel ordinaire dans ce cas, parce que pour faire l'opération d'identification des deux bouts, en utilisant la troisième dimension comme dimension psychologique, il faut tordre le cylindre. Or, ce n'est qu'une contrainte de la méthode intuitive --- mathématiquement, et donc physiquement, cette contrainte n'est qu'un supposé arbitraire et inutile.

Le paradoxe des jumeaux (En physique, le paradoxe des jumeaux (parfois appelé paradoxe de Langevin) est une expérience de pensée qui semble montrer que la...) de la relativité restreinte (La relativité restreinte est la théorie formelle élaborée par Albert Einstein en 1905 en vue de tirer toutes les conséquences physiques de la relativité galiléenne...) induit (L'induit est un organe généralement électromagnétique utilisé en électrotechnique chargé de recevoir l'induction de l'inducteur et de la transformer en électricité (générateur) ou en force (moteur).) un paradoxe (Un paradoxe est une proposition qui contient ou semble contenir une contradiction logique, ou un raisonnement qui, bien que sans faille apparente, aboutit à une absurdité, ou encore, une situation qui contredit...) nouveau dans le contexte (Le contexte d'un évènement inclut les circonstances et conditions qui l'entourent; le contexte d'un mot, d'une phrase ou d'un texte inclut les...) de la forme globale de l'espace. (Voir les références externes.)

Quelle est la forme de l'espace de notre l'Univers ?

Nous ne savons ni la forme locale ni la forme globale de l'espace.

Au début du XXIe siècle, nos observations à travers des télescopes montrent que la forme est environ plate, tout comme la Terre est plus ou moins plate sur les échelles de moins de quelques milliers de kilomètres (Le mètre (symbole m, du grec metron, mesure) est l'unité de base de longueur du Système international. Il est défini comme la distance parcourue par la lumière dans le vide en 1/299 792 458 seconde.). Nous ne savons pas quelle est la topologie de l'Univers, et peut-être ne le saurons nous jamais.

La théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur...) de l'univers chiffonné de Jean-Pierre Luminet suggérerait un univers dont la forme serait celui d'un dodécaèdre (Un dodécaèdre est un solide composé de 12 faces. Le préfixe dodéca-, d'origine grecque, fait référence au nombre de faces.) de Poincaré[1].

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