Mathématiques indiennes - Définition et Explications

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La chronologie des mathématiques indiennes s'étend de la civilisation de la vallée de l'Indus (-3300 à -1500) jusqu'à l'Inde moderne.

Parmi les impressionnantes contributions des mathématiciens indiens au développement de la discipline, la plus féconde est certainement la numération (La numération désigne le mode de représentation des nombres. Aussi, elle concerne...) décimale de position, appuyée sur des chiffres arabo-indiens, et qui se sont imposés dans le monde (Le mot monde peut désigner :) entier.

Mais les Indiens ont également maîtrisé le zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr,...), les nombres négatifs, les fonctions trigonométriques. Les concepts mathématiques indiens ont diffusé et ont trouvé un écho en Chine et dans les mathématiques arabes, avant de parvenir en Europe (L’Europe est une région terrestre qui peut être considérée comme un...).

Les mathématiciens indiens ont également découvert les fondements de l'analyse : calcul différentiel (Un différentiel est un système mécanique qui a pour fonction de distribuer une vitesse de...) et intégral, limites et séries, bien avant leur redécouverte en Occident (L'Occident, ou monde occidental, est une zone géographique qui désignait initialement...).

La civilisation de la vallée (Une vallée est une dépression géographique généralement de forme...) de l'Indus

La civilisation de la vallée de l'Indus, remontant aux environs de l'an -3300, apporte les premiers témoignages d'une activité (Le terme d'activité peut désigner une profession.) mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...), sur le sous-continent indien. Les fouilles de Harappa, Mohenjo-daro et de la zone environnante ont permis de découvrir un système de poids (Le poids est la force de pesanteur, d'origine gravitationnelle et inertielle, exercée par la...) et mesures d'une grande précision et de caractère décimal, une technologie de la brique répondant à des recherches de proportion précises, et une sensibilité aux formes géométriques.

Les poids sont mesurés dans un système décimal (Le système décimal est un système de numération utilisant la base dix. Dans ce...), puisque le poids unité (de 28 grammes environ) se décline selon les facteurs 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, et 500. Les longueurs sont mesurées à l'aide de règles d'une grande précision. Une règle d'ivoire trouvée à Lothal porte ansi des divisions espacées de 1,7 mm.

La confection de briques s'appuie sur des proportions fixes 4:2:1, d'une grande efficacité pratique. L'utilisation des règles pour choisir les dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce...) des briques est attestée par la correspondance (La correspondance est un échange de courrier généralement prolongé sur une longue période. Le...), sur les mêmes lieux, entre les divisions des règles, et les longueurs des briques qui en sont des multiples entiers.

Les poids de référence sont fréquemment de forme cubique, mais peuvent prendre d'autres formes géométriques : tonneaux, cônes, cylindres. On trouve également des dessins géométriques gravés qui témoignent d'une certaine familiarité avec les cercles.

À Lothal, un instrument de mesure (En physique et en sciences de l’ingénieur, mesurer consiste à comparer une grandeur...) des angles a également été découvert. Il avait probablement pour utilité de diviser le ciel (Le ciel est l'atmosphère de la Terre telle qu'elle est vue depuis le sol de la planète.) en 8 ou 12 sections.

Mathématiques de l'époque védique (-1500 à -400)

L'articulation entre la civilisation de la vallée de l'Indus et la civilisation védique est mal connue. La théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) de l'invasion aryenne y voyait initialement le résultat d'une invasion violente et subite. La grande majorité des historiens lui préfère maintenant la théorie d'une migration progressive des Aryens en provenance d'Asie (L'Asie est un des cinq continents ou une partie des supercontinents Eurasie ou Afro-Eurasie de la...) centrale. Quelques-uns (souvent indiens) soutiennent en revanche le caractère autochtone des aryens et identifient les deux civilisations.

Les textes védiques sont des textes religieux écrits en sanskrit réglementant la taille des autels de sacrifice. Les mathématiques qui y sont présentées sont essentiellement géométriques et sans démonstrations, et s'accompagnent de considérations relevant de l'astronomie (L’astronomie est la science de l’observation des astres, cherchant à expliquer...) et ayant également un caractère religieux. On ignore s'il s'agit de la seule activité mathématique de cette époque ou seulement les traces (TRACES (TRAde Control and Expert System) est un réseau vétérinaire sanitaire de...) d'une activité plus générale. Les Vedas contiennent quelques considérations mathématiques, mais la plupart sont regroupées dans les sulba-sutras, ouvrages de géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...) servant d'appendices aux Vedas.

Les Indiens de cette époque utilisent des formes polygonales simples, connaissaient le théorème de Pythagore (Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui...), savaient construire de manière exacte la quadrature d'un rectangle (En géométrie, un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont des...) (construction d'un carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses...) de même aire) et de manière approchée celle du cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale...). Ils connaissent les opérations arithmétiques et considèrent des équations simples. On voit apparaître aussi des approximations fractionnaires de π (exactes jusqu'à la première, voire la deuxième décimale) et de la racine carrée de deux (La racine carrée de deux, notée √2, √2 ou 21/2, est définie comme le...) (jusqu'à la cinquième décimale).

Vers la fin de cette période, on voit se mettre en place les neuf chiffres du système décimal. La fascination, d'origine religieuse, pour ces chiffres gigantesques, explique sans doute que les Indiens ont eu plus de facilité à appréhender l'idée d'infinité (purna, la plénitude), parallèlement à celle de zéro (??nya, le vide), qu'ils commencent à faire entrer dans leurs opérations : ainsi dans le Yajur-Veda, quand on soustrait purna de purna il reste toujours purna.[réf. nécessaire]

Mathématiques de l'époque jaïniste (-400 - 200)

Fondée en Inde au VIe siècle av. J.-C., le jaïnisme est une religion et une philosophie. La vision cosmologique a fortement motivé les mathématiques indiennes (La chronologie des mathématiques indiennes s'étend de la civilisation de la vallée de l'Indus...), et en particulier la conception de l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus,...). Le monde était divisé par une limite en deçà de laquelle agissaient les êtres vivants, les dieux et les démons. Le monde supérieur était divisé en deux parties. Ces divisions se retrouvent dans les nombres : dénombrables, indénombrables et infinis.

Les mathématiques jaïnistes réfèrent à la période s'étendant jusqu'au Ve siècle, période sous laquelle la religion jaïniste était dominante. Peu de résultats scientifiques de cette période ont été conservés, mais ils sont d'une grande originalité. L'étude des mathématiques n'est plus dans un but uniquement pratique ou religieux, mais se justifie par elle-même.

Les jaïnistes introduisent les premiers concepts de cardinalité (En linguistique, les nombres entiers naturels zéro, un, deux, trois, etc. s'appellent des...) et de nombres transfinis, persuadés que tous les infinis ne sont pas égaux. En particulier, ils introduisirent un plus grand nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) dénombrable (N) qui aujourd'hui a donné aleph-zéro (Aleph-zero, parfois noté aleph0 ou (?, aleph, étant la première lettre de l'alphabet hébreu),...), le plus petit cardinal transfini.

Pingala, une école de jaïnistes, introduit le calcul matriciel et le système binaire (Le système binaire est un système de numération utilisant la base 2. On nomme...), et utilise la suite de Fibonacci (Leonardo Fibonacci (Pise, v. 1170 - v. 1250) est un mathématicien italien. Fibonacci (de son nom...) et le triangle de Pascal (En mathématiques, le triangle de Pascal est un arrangement géométrique des coefficients...), autant de résultats qui seront redécouverts. Le zéro est noté par un point (Graphie).

Bien que les explications données (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent...) en astronomie étaient de nature religieuse (interventions systématiques de démons), leurs observations (L’observation est l’action de suivi attentif des phénomènes, sans volonté de les...) étaient précises. Dans Surya Prajnapti (400 avant notre ère) est calculée la période orbitale (En astronomie, la période orbitale désigne la durée mise par un astre (étoile, planète,...) de la lune (La Lune est l'unique satellite naturel de la Terre et le cinquième plus grand satellite du...) de 29.5161290 jours (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la...), soit une erreur de 20 minutes ( Forme première d'un document : Droit : une minute est l'original d'un...).

Période classique (400-1200)

La période classique est souvent considérée comme l'âge d'or des mathématiques indiennes. Avec des mathématiciens tels que Aryabhata, Varahamihira, Brahmagupta, Mahavira et Bhaskara, elle fut une période d'intense rayonnement (Le rayonnement, synonyme de radiation en physique, désigne le processus d'émission ou de...) en direction de l'Orient (L'orient correspond au point cardinal est, et s'oppose à l'occident (l'ouest).) et du monde islamique.

Les avancées durant cette période eurent lieu dans le domaine des systèmes d'équations linéaires et quadratiques, de la trigonométrie (La trigonométrie (du grec τρίγωνος /...), avec l'apparition des fonctions trigonométriques et des tables permettant de les calculer. De nombreux travaux portent sur des équations polynomiales de degrés divers, ou sur des problèmes d'astronomie tels que les calculs d'éclipses.

Avec Brahmagupta (598-668) et son ouvrage célèbre, le Brahmasphutasiddhanta, les différentes facettes du zéro, chiffre (Un chiffre est un symbole utilisé pour représenter les nombres.) et nombre, sont parfaitement comprises et la construction du système de numération (Un système de numération est un ensemble de règles d'utilisation des signes, des...) décimal parachevée. Les nombres négatifs sont également introduits, ainsi que les racines carrées.

La période s'achève avec le mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute...) Bhaskara Acharya (1114-1185) qui écrivit plusieurs traités importants. On y trouve des équations polynomiales, des formules de trigonométrie, dont les formules d'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la...). Certains auteurs font de Bhaskara un des pères de l'analyse puisqu'il introduisit plusieurs éléments relevant du calcul différentiel : nombre dérivé, différentiation et application aux extrema, et même une première forme du théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) de Rolle. Ces percées seront reprises et amplifiées par les mathématiciens de l'école du Kerala.

L'école du Kerala (1300-1600)

Une école de mathématiciens-astronomes prospéra pendant trois siècles dans la région du Kerala, dans le sud (Le sud est un point cardinal, opposé au nord.) de l'Inde. Le fondateur (Le Fondateur (titre original : Founding Father) est une nouvelle de science-fiction d'Isaac...) en est Madhava de Sangamagrama (v. 1340-1425), qui partage avec Bhaskara la primauté dans l'introduction des concepts de l'analyse moderne. Les travaux de Madhava nous sont surtout connus à travers ceux de ses successeurs, mais ils montrent que le geste fondamental de l'analyse, le passage à la limite, s'est opéré.

On trouve notamment dans le Yuktibhasa, rédigé par Jyesthadeva, des développements de fonctions sous forme de séries, des approximations par séries de Taylor, des tests de convergence (Le terme de convergence est utilisé dans de nombreux domaines :) pour des séries numériques, des intégrations terme à terme. En conséquence, l'école du Kerala disposera d'approximations très précises de pi (onze décimales), de tables trigonométriques à neuf décimales.

L'usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) de la langue locale (le malayalam) fut un obstacle à la diffusion (Dans le langage courant, le terme diffusion fait référence à une notion de...) des idées de l'école du Kerala. Il est vraisemblable que la redécouverte des bases de l'analyse en Occident se produisit sans influence indienne mais par le truchement des arabes, même si certains historiens, défendent la théorie d'une transmission par les missionnaires jésuites, eux-mêmes souvent versés en mathématiques et astronomie.

Notes et références

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