Mathématiques indiennes
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La chronologie des mathématiques indiennes s'étend de la civilisation de la vallée de l'Indus (-3300 à -1500) jusqu'à l'Inde moderne.

Parmi les impressionnantes contributions des mathématiciens indiens au développement de la discipline, la plus féconde est certainement la numération décimale de position, appuyée sur des chiffres arabo-indiens, et qui se sont imposés dans le monde (Le mot monde peut désigner :) entier.

Mais les Indiens ont également maîtrisé le zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr, d’abord transcrit zefiro en italien) est un symbole marquant une...), les nombres négatifs, les fonctions trigonométriques. Les concepts mathématiques indiens ont diffusé et ont trouvé un écho en Chine et dans les mathématiques arabes, avant de parvenir en Europe (L’Europe est une région terrestre qui peut être considérée comme un continent à part entière, mais aussi comme l’extrémité occidentale du continent eurasiatique, voire comme une des...).

Les mathématiciens indiens ont également découvert les fondements de l'analyse : calcul différentiel (Un différentiel est un système mécanique qui a pour fonction de distribuer une vitesse de rotation de façon adaptative aux besoins d'un ensemble mécanique.) et intégral, limites et séries, bien avant leur redécouverte en Occident (L'Occident, ou monde occidental, est une zone géographique qui désignait initialement l'Europe. L'extension de l'espace considéré a varié au...).

La civilisation de la vallée (Une vallée est une dépression géographique généralement de forme allongée et façonnée dans le relief par un cours d'eau (vallée fluviale) ou un glacier (vallée glaciaire). Un espace en forme...) de l'Indus

La civilisation de la vallée de l'Indus, remontant aux environs de l'an -3300, apporte les premiers témoignages d'une activité (Le terme d'activité peut désigner une profession.) mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les...), sur le sous-continent indien. Les fouilles de Harappa, Mohenjo-daro et de la zone environnante ont permis de découvrir un système de poids (Le poids est la force de pesanteur, d'origine gravitationnelle et inertielle, exercée par la Terre sur un corps massique en raison uniquement du voisinage de la Terre....) et mesures d'une grande précision et de caractère décimal, une technologie de la brique répondant à des recherches de proportion précises, et une sensibilité aux formes géométriques.

Les poids sont mesurés dans un système décimal (Le système décimal est un système de numération utilisant la base dix. Dans ce système, les puissances de dix et leurs multiples bénéficient d'une représentation...), puisque le poids unité (de 28 grammes environ) se décline selon les facteurs 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, et 500. Les longueurs sont mesurées à l'aide de règles d'une grande précision. Une règle d'ivoire trouvée à Lothal porte ansi des divisions espacées de 1,7 mm.

La confection de briques s'appuie sur des proportions fixes 4:2:1, d'une grande efficacité pratique. L'utilisation des règles pour choisir les dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son...) des briques est attestée par la correspondance (La correspondance est un échange de courrier généralement prolongé sur une longue période. Le terme désigne des échanges de courrier personnels plutôt qu'administratifs.), sur les mêmes lieux, entre les divisions des règles, et les longueurs des briques qui en sont des multiples entiers.

Les poids de référence sont fréquemment de forme cubique, mais peuvent prendre d'autres formes géométriques : tonneaux, cônes, cylindres. On trouve également des dessins géométriques gravés qui témoignent d'une certaine familiarité avec les cercles.

À Lothal, un instrument de mesure (En physique et en sciences de l’ingénieur, mesurer consiste à comparer une grandeur physique qui caractérise un objet (ou un événement) avec celle de même nature choisie comme unité de mesure. La valeur numérique de la grandeur...) des angles a également été découvert. Il avait probablement pour utilité de diviser le ciel (Le ciel est l'atmosphère de la Terre telle qu'elle est vue depuis le sol de la planète.) en 8 ou 12 sections.

Mathématiques de l'époque védique (-1500 à -400)

L'articulation entre la civilisation de la vallée de l'Indus et la civilisation védique est mal connue. La théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur...) de l'invasion aryenne y voyait initialement le résultat d'une invasion violente et subite. La grande majorité des historiens lui préfère maintenant la théorie d'une migration progressive des Aryens en provenance d'Asie (L'Asie est un des cinq continents ou une partie des supercontinents Eurasie ou Afro-Eurasie de la Terre. Il est le plus grand continent (8,6 % de la surface totale terrestre ou 29,4 % des terres...) centrale. Quelques-uns (souvent indiens) soutiennent en revanche le caractère autochtone des aryens et identifient les deux civilisations.

Les textes védiques sont des textes religieux écrits en sanskrit réglementant la taille des autels de sacrifice. Les mathématiques qui y sont présentées sont essentiellement géométriques et sans démonstrations, et s'accompagnent de considérations relevant de l'astronomie (L’astronomie est la science de l’observation des astres, cherchant à expliquer leur origine, leur évolution, leurs propriétés physiques et chimiques. Elle ne doit pas être confondue avec la mécanique...) et ayant également un caractère religieux. On ignore s'il s'agit de la seule activité mathématique de cette époque ou seulement les traces (TRACES (TRAde Control and Expert System) est un réseau vétérinaire sanitaire de certification et de notification basé sur internet sous la responsabilité de la Commission européenne dans le cadre du...) d'une activité plus générale. Les Vedas contiennent quelques considérations mathématiques, mais la plupart sont regroupées dans les sulba-sutras, ouvrages de géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le...) servant d'appendices aux Vedas.

Les Indiens de cette époque utilisent des formes polygonales simples, connaissaient le théorème de Pythagore (Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui énonce que dans un triangle rectangle (qui possède un angle droit) le carré de l'hypoténuse (côté opposé à l'angle...), savaient construire de manière exacte la quadrature d'un rectangle (En géométrie, un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont des angles droits.) (construction d'un carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses...) de même aire) et de manière approchée celle du cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du...). Ils connaissent les opérations arithmétiques et considèrent des équations simples. On voit apparaître aussi des approximations fractionnaires de π (exactes jusqu'à la première, voire la deuxième décimale) et de la racine carrée (La racine carrée d’un nombre réel positif x est le nombre positif dont le carré vaut x. On le note ou x½; dans cette expression, x est appelé le radicande.) de deux (jusqu'à la cinquième décimale).

Vers la fin de cette période, on voit se mettre en place les neuf chiffres du système décimal. La fascination, d'origine religieuse, pour ces chiffres gigantesques, explique sans doute que les Indiens ont eu plus de facilité à appréhender l'idée d'infinité (purna, la plénitude), parallèlement à celle de zéro (??nya, le vide), qu'ils commencent à faire entrer dans leurs opérations : ainsi dans le Yajur-Veda, quand on soustrait purna de purna il reste toujours purna.[réf. nécessaire]

Mathématiques de l'époque jaïniste (-400 - 200)

Fondée en Inde au VIe siècle av. J.-C., le jaïnisme est une religion et une philosophie. La vision cosmologique a fortement motivé les mathématiques indiennes (La chronologie des mathématiques indiennes s'étend de la civilisation de la vallée de l'Indus (-3300 à -1500) jusqu'à l'Inde moderne.), et en particulier la conception de l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.). Le monde était divisé par une limite en deçà de laquelle agissaient les êtres vivants, les dieux et les démons. Le monde supérieur était divisé en deux parties. Ces divisions se retrouvent dans les nombres : dénombrables, indénombrables et infinis.

Les mathématiques jaïnistes réfèrent à la période s'étendant jusqu'au Ve siècle, période sous laquelle la religion jaïniste était dominante. Peu de résultats scientifiques de cette période ont été conservés, mais ils sont d'une grande originalité. L'étude des mathématiques n'est plus dans un but uniquement pratique ou religieux, mais se justifie par elle-même.

Les jaïnistes introduisent les premiers concepts de cardinalité (En linguistique, les nombres entiers naturels zéro, un, deux, trois, etc. s'appellent des adjectifs numéraux cardinaux. En mathématiques, un...) et de nombres transfinis, persuadés que tous les infinis ne sont pas égaux. En particulier, ils introduisirent un plus grand nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) dénombrable (N) qui aujourd'hui a donné aleph-zéro (Aleph-zero, parfois noté aleph0 ou (?, aleph, étant la première lettre de l'alphabet hébreu), est le cardinal des ensembles infinis dénombrables, comme l'ensemble des entiers naturels .), le plus petit cardinal transfini.

Pingala, une école de jaïnistes, introduit le calcul matriciel et le système binaire (Le système binaire est un système de numération utilisant la base 2. On nomme couramment bit (de l'anglais binary digit, soit « chiffre binaire ») les chiffres de la numération binaire. Ceux ci ne...), et utilise la suite de Fibonacci (Leonardo Fibonacci (Pise, v. 1170 - v. 1250) est un mathématicien italien. Fibonacci (de son nom moderne), connu à l'époque sous le nom de Leonardo Pisano (Léonard de Pise), mais aussi de Leonardo Bigollo (bigollo signifiant voyageur),...) et le triangle de Pascal (En mathématiques, le triangle de Pascal est un arrangement géométrique des coefficients binomiaux dans un triangle. À la ligne i et à la colonne j (0 ≤ j ≤ i) est...), autant de résultats qui seront redécouverts. Le zéro est noté par un point (Graphie).

Bien que les explications données (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un...) en astronomie étaient de nature religieuse (interventions systématiques de démons), leurs observations (L’observation est l’action de suivi attentif des phénomènes, sans volonté de les modifier, à l’aide de moyens d’enquête et...) étaient précises. Dans Surya Prajnapti (400 avant notre ère) est calculée la période orbitale (En astronomie, la période orbitale désigne la durée mise par un astre (étoile, planète, astéroïde) pour effectuer une orbite complète. Par exemple, la Terre a une période orbitale de 365,25 jours.) de la lune (La Lune est l'unique satellite naturel de la Terre et le cinquième plus grand satellite du système solaire avec un diamètre de 3 474...) de 29.5161290 jours (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la période entre deux nuits, pendant laquelle les rayons...), soit une erreur de 20 minutes ( Forme première d'un document : Droit : une minute est l'original d'un acte. Cartographie géologique ; la minute de terrain est la carte originale, au crayon,...).

Période classique (400-1200)

La période classique est souvent considérée comme l'âge d'or des mathématiques indiennes. Avec des mathématiciens tels que Aryabhata, Varahamihira, Brahmagupta, Mahavira et Bhaskara, elle fut une période d'intense rayonnement (Le rayonnement, synonyme de radiation en physique, désigne le processus d'émission ou de transmission d'énergie impliquant une particule porteuse.) en direction de l'Orient (L'orient correspond au point cardinal est, et s'oppose à l'occident (l'ouest).) et du monde islamique.

Les avancées durant cette période eurent lieu dans le domaine des systèmes d'équations linéaires et quadratiques, de la trigonométrie (La trigonométrie (du grec τρίγωνος / trígonos, « triangulaire », et μέτρον /...), avec l'apparition des fonctions trigonométriques et des tables permettant de les calculer. De nombreux travaux portent sur des équations polynomiales de degrés divers, ou sur des problèmes d'astronomie tels que les calculs d'éclipses.

Avec Brahmagupta (598-668) et son ouvrage célèbre, le Brahmasphutasiddhanta, les différentes facettes du zéro, chiffre (Un chiffre est un symbole utilisé pour représenter les nombres.) et nombre, sont parfaitement comprises et la construction du système de numération (Un système de numération est un ensemble de règles d'utilisation des signes, des mots ou des gestes permettant d'écrire, d'énoncer ou de mimer des nombres....) décimal parachevée. Les nombres négatifs sont également introduits, ainsi que les racines carrées.

La période s'achève avec le mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base...) Bhaskara Acharya (1114-1185) qui écrivit plusieurs traités importants. On y trouve des équations polynomiales, des formules de trigonométrie, dont les formules d'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs extensives de même nature, comme les longueurs, les aires, ou les volumes. En...). Certains auteurs font de Bhaskara un des pères de l'analyse puisqu'il introduisit plusieurs éléments relevant du calcul différentiel : nombre dérivé, différentiation et application aux extrema, et même une première forme du théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir...) de Rolle. Ces percées seront reprises et amplifiées par les mathématiciens de l'école du Kerala.

L'école du Kerala (1300-1600)

Une école de mathématiciens-astronomes prospéra pendant trois siècles dans la région du Kerala, dans le sud (Le sud est un point cardinal, opposé au nord.) de l'Inde. Le fondateur (Le Fondateur (titre original : Founding Father) est une nouvelle de science-fiction d'Isaac Asimov, parue en février 1965, et publiée en français dans le...) en est Madhava de Sangamagrama (v. 1340-1425), qui partage avec Bhaskara la primauté dans l'introduction des concepts de l'analyse moderne. Les travaux de Madhava nous sont surtout connus à travers ceux de ses successeurs, mais ils montrent que le geste fondamental de l'analyse, le passage à la limite, s'est opéré.

On trouve notamment dans le Yuktibhasa, rédigé par Jyesthadeva, des développements de fonctions sous forme de séries, des approximations par séries de Taylor, des tests de convergence (Le terme de convergence est utilisé dans de nombreux domaines :) pour des séries numériques, des intégrations terme à terme. En conséquence, l'école du Kerala disposera d'approximations très précises de pi (onze décimales), de tables trigonométriques à neuf décimales.

L'usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) de la langue locale (le malayalam) fut un obstacle à la diffusion (Dans le langage courant, le terme diffusion fait référence à une notion de « distribution », de « mise à disposition » (diffusion d'un produit, d'une information), voire de...) des idées de l'école du Kerala. Il est vraisemblable que la redécouverte des bases de l'analyse en Occident se produisit sans influence indienne mais par le truchement des arabes, même si certains historiens, défendent la théorie d'une transmission par les missionnaires jésuites, eux-mêmes souvent versés en mathématiques et astronomie.

Notes et références

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