Histoire des polynômes
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L'histoire des polynômes se confond avec celle de l'algèbre et celle de la résolution d'équations. Ils sont les outils privilégiés utilisés pour résoudre les problèmes tels que la résolubilité des équations, la constructibilité et le dernier théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un...) de Fermat.

Les fondements

Les mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les...) grecques sont essentiellement arithmétiques et géométriques. Les résolutions d'équations se font pratiquement sans symbolisme et avec une référence fréquente à l'aspect géométrique. On voit apparaître chez Diophante (250) un début d'écriture algébrique : l'inconnue y est nommé Le Nombre et une lettre ξ lui est attribuée.

Durant leur séjour chez les mathématiciens de langue arabe, les mathématiques se détachent progressivement de la contrainte géométrique. C'est la naissance de l'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon...) que l'on attribue traditionnellement à al-Khawarizmi dans son ouvrage Abrégé du calcul par restauration et comparaison. Il y décrit et résout les 6 équations canoniques du second degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) ainsi que les méthodes pour s'y ramener. Il y distingue: la racine (X) , le carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre...) (X²) et le nombre seul. Avec les travaux d'Abu Kamil, les calculs ne se font plus à l'aide seulement de rationnels mais les nombres réels positifs y prennent toute leur place. On voit apparaître alors une généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les détails de façon à ce...) des opérations qui ne vont plus s'appliquer seulement aux nombres mais aussi aux inconnues. L'étude des équations se poursuit avec celle des équations cubiques chez Omar Khayyam et Din al-Tusi ( XIII e siècle). Dans les ouvrages d'Ibn al-Banna (1321), les polynômes de degré n sont représentés par la suite de leurs coefficients. La contrainte d'une homogénéité géométrique (X est une longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa...), X² est une aire) disparait. Les raisonnements se font presque entièrement dans le domaine de l'algèbre.

En Europe (L’Europe est une région terrestre qui peut être considérée comme un continent à part entière, mais aussi comme l’extrémité occidentale du continent eurasiatique, voire comme une des...), la recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Par extension métonymique, la recherche...) d'une symbolique se développe. Michael Stifel (1487-1567) utilise une inconnue privilégiée qu'il répète autant de fois qu'il le faut pour indiquer le degré. Cohabitent à cette époque, plusieurs symboles pour le plus (p ou +) et le - (m ou -) et le = (=, [ , S). En 1484, Nicolas Chuquet invente l'exposant : l'inconnue à la puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) 5 s'écrira I5. Cette notation sera reprise par Bombelli, Simon Stevin et Descartes. Viète (1540-1603) développe le calcul littéral, représente les inconnues par des voyelles et les paramètres par des consonnes et introduit les notations de la somme, du produit, du quotient, et de la puissance : B in A quadratum, plus D in A, aequari C se traduit ensuite par Descartes en bx2 + dx = c. Tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) est alors en place pour que se développe l'étude générale des polynômes.

Théorème fondamental de l'algèbre

Dès cette époque, on cherche à découvrir les relations existant entre un polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que...) et ses racines (nombres, formes, etc.). Viète met en évidence les relations existant entre les coefficients d'un polynôme et ses racines.

Le nombre de racines d'un polynôme pose problème. Les racines sont d'abord cherchées parmi les réels positifs puis parmi tous les réels. L'invention des nombres complexes par Bombelli (vers 1572) va permettre de trouver des racines à toute équation_du_second_degré. La question suivante se pose alors : un polynôme de degré n possède-t-il toujours n racines ? René Descartes l'affirme sans le prouver. Bombelli, formalisant le calcul sur les complexes, met en évidence l'écriture a + b\sqrt{-1} pour les racines d'un polynôme. Jean Le Rond ( Le mot rond caractérise et par abus de langage désigne un cercle ou une sphère. En argot, un rond c'est un sou. Une affaire rondement menée est une affaire traitée...) d'Alembert prouve en 1746 que toutes les racines doivent avoir la forme précédente. Cependant, il faut attendre Carl Friedrich Gauss (1777- 1855) et une incursion dans le domaine de l'analyse et la topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures).) pour prouver que tout polynôme de degré n à coefficients dans \mathbb Rpossède exactement n racines dans \mathbb C. C'est le théorème de d'Alembert-Gauss ou théorème fondamental de l'algèbre.

Résolution générale des équations de degré n

On pourrait croire que le théorème d'existence des racines achève l'étude des polynômes. Cependant, un problème persiste : quelles méthodes peut-on employer pour les trouver? La résolution de l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à...) du second degré, puis celle du troisième degré avec les formules de Cardan-Tartaglia (milieu du XVIe) laisse présager qu'une méthode générale existe. Les équations du quatrième degré tombent grâce à Ludovico Ferrari (Lodovico Ferrari (Louis Ferrari), (2 février 1522 - 5 octobre 1565) est un mathématicien italien.) (1522-1565). Reste le grand champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) des équations de degré supérieur ou égal à 5. Des tentatives de changement de variables, pour se ramener à des degrés moindres sont menées en particulier par Walter von Tschirnhaus (en 1689), Leonhard Euler et Étienne Bézout.

Cependant, c'est dans une autre direction que la solution sera trouvée. Déjà, des résultats intéressants étaient connus sur racines et coefficients : les coefficients s'expriment, en fonction des racines, sous forme de polynômes symétriques. En 1770, Alexandre-Théophile Vandermonde étudie les permutations des racines dans l'expression des coefficients. C'est la naissance d'une nouvelle branche de l'algèbre : l'étude des permutations qui conduira Évariste Galois à construire la notion de groupe de permutations et de groupe en général. On peut citer dans cette voie les études de Paolo Ruffini, en 1813 et celle d'Abel en 1824 et 1826. Mais c'est à Évariste Galois que revient l'honneur de faire tomber la conjecture (En mathématiques, une conjecture est une assertion qui a été proposée comme vraie, mais que personne n'a encore pu démontrer ou réfuter.). Les équations de degré 5 et au-delà ne sont pas toujours résolubles par radicaux.

Nombres algébriques

La connaissances des polynômes à coefficients dans \mathbb Rsemble être complète. Mais qu'en est-il des polynômes à coefficients dans \mathbb Z? Quels sont les réels ou les complexes qui peuvent être exprimés comme solution d'une équation de degré n à coefficients entiers ? L'étude des nombres algébriques est née, dominée par deux problèmes célèbres: celui des nombres constructibles à la règle et au compas et celui du dernier théorème de Fermat.

La question des nombres constructibles à la règle et au compas est un problème qui préoccupe les mathématiciens depuis l'époque d'Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης Eukleidês (né vers -325, mort vers -265 à Alexandrie) est un mathématicien de la Grèce...). Quatre questions résistent encore au XVIIIe siècle : la trisection de l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.), la duplication du cube (En géométrie euclidienne, un cube est un prisme dont toutes les faces sont carrées. Les cubes figurent parmi les solides les plus remarquables de l'espace. C'est un des cinq solides de...), la quadrature du cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est...) et la constructibilité des polygones réguliers. C'est par le biais des polynômes et des extensions quadratiques (partant des nombres rationnels, on agrandit progressivement l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut...) en y ajoutant des solutions d'équations du second degré à coefficients dans \mathbb Q, puis à coefficients dans l'ensemble que l'on vient de créer et ainsi de suite) que la solution sera trouvée. Gauss décrit les polygones constructibles (Théorème de Gauss-Wantzel) et Pierre-Laurent Wantzel fait tomber les deux autres conjectures (la quadrature du cercle résistera quelques temps) et termine la démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de propositions initiales, en s'appuyant sur un...) de Gauss.

Le dernier théorème ou conjecture de Fermat - existe-t'il des solutions entières à une équation du type xn+ yn = zn pour des degrés autres que 1 et 2 ?- nargue les mathématiciens depuis le XVIIe siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué la durée d'une génération humaine et...). Nombreux sont ceux qui vont tenter de la résoudre par l'algèbre. Euler s'y casse les dents. L'école allemande de la fin du XIXe siècle avec Richard Dedekind, Ernst Kummer, David Hilbert, Emmy Noether va développer et approfondir le travail sur les polynômes, construisant la notion d'anneau, d'idéal (En mathématiques, un idéal est une structure algébrique définie dans un anneau. Les idéaux généralisent de façon...), de corps, de nombres algébriques sans pour autant résoudre le problème. Cependant, il font ainsi faire aux mathématiques algébriques un saut considérable.

On peut à juste titre dire que les problèmes précédents, moteur (Un moteur (du latin mōtor : « celui qui remue ») est un dispositif qui déplace de la matière en apportant de la puissance. Il effectue ce travail à partir...) des recherches sur les polynômes, ont contribué à la naissance et développement de l'algèbre générale (L'algèbre abstraite, ou algèbre générale, ou encore algèbre universelle est la branche des mathématiques qui porte principalement sur l'étude des structures algébriques et des relations entre elles. Le terme algèbre abstraite est...).

Sources

  • Une histoire de la science arabe Ahmed Djebbar
  • Histoire des mathématiques Jacques Bouveresse, Jean Itard, Émile Salé
  • Le dernier théorème de Fermat Simon Singh
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