Construction à la règle et au compas - Définition et Explications

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Introduction

Euclide a fondé sa géométrie sur un système d'axiomes qui assure en particulier qu'il est toujours possible de tracer une droite passant par deux points donnés et qu'il est toujours possible de tracer un cercle de centre donné et passant par un point (Graphie) donné. La géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à...) est donc la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...) des droites et des cercles, donc de la règle et du compas. L'intuition d'Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης...) était que tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) pouvait être construit, ou "obtenu", à l'aide de ces deux instruments.

Cette conjecture (En mathématiques, une conjecture est une assertion qui a été proposée comme vraie, mais que...) va d'une part remettre en question la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) d'un nombre : les nombres rationnels ne suffisent pas à exprimer toutes les longueurs puisque la diagonale (On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non...) d'un carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses...) de côté 1 est constructible (On qualifie de constructible une chose qui peut être construite ou qui peut accueillir une...), mais correspond au nombre √2 dont on démontre facilement qu'il ne saurait être le rapport de deux entiers, d'autre part engager la communauté mathématique dans la recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue...) de résolutions impossibles, comme la quadrature du cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale...), la trisection de l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts...) et la duplication du cube (En géométrie euclidienne, un cube est un prisme dont toutes les faces sont carrées....). La recherche des nombres constructibles et des polygones constructibles débouchera, après le développement de l'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche...) et de la théorie de Galois (En mathématiques et plus précisément en algèbre, la théorie de Galois est...), sur le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) de Gauss-Wantzel sur les polygones constructibles et sur le théorème de Wantzel (Le théorème de Wantzel précise les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un nombre soit...) pour les nombres constructibles.

Georg Mohr (1672) puis Lorenzo Mascheroni (L’abbé Lorenzo Mascheroni (13  mai  1750 à Bergame – 14 juillet...) (1797) prouveront que toute construction à la règle et au compas peut se réaliser au compas seul.

La règle et le compas en architecture

Architectes médiévaux - Dictionnaire raisonné de l'architecture française (Viollet-le-Duc)

Les liens qui unissent les constructions à la règle et au compas avec l'architecture sont très étroits :

La géométrie offre plusieurs ressources à l'architecte : elle le familiarise avec la règle et le compas, qui lui servent (Servent est la contraction du mot serveur et client.) surtout à déterminer l'emplacement des édifices. (Vitruve)

Au Moyen-Âge, le maître architecte (L'architecte est le professionnel du bâtiment dont la fonction est de concevoir et de diriger...) est celui qui possède le savoir de la géométrie, il discute sur un pied d'égalité avec les dirigeants religieux. Dans une société où peu savent lire, le plan, construit à la règle et au compas, est le seul moyen de communication (La communication concerne aussi bien l'homme (communication intra-psychique, interpersonnelle,...) simple entre l'architecte et les ouvriers. Se pose cependant le problème de l'échelle puisque les unités de longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus...) ne sont pas complètement (Le complètement ou complètement automatique, ou encore par anglicisme complétion ou...) normalisées. Sur le terrain s'active alors, avec son compas, le parlier ou maître de chantier qui fait le lien entre l'architecte et les ouvriers. Ceux-ci utilisent pour leur construction, un compas et une règle, mais aussi, quand la taille des mesures est trop importante, le cordeau (Le cordeau est un outil de jardin ou du bâtiment.) qui remplace indifféremment la règle (trait tiré au cordeau) et le compas. Associés à l'équerre, la règle et le compas deviennent alors le symbole de l'Architecte, maître architecte des cathédrales ou Architecte du monde (Le mot monde peut désigner :). Ainsi les retrouve-t-on dans l'emblème de la franc-maçonnerie.

La règle et le compas en géométrie

En géométrie, la règle (non graduée) et le compas sont les outils de base permettant de travailler en géométrie plane (La plane est un outil pour le travail du bois. Elle est composée d'une lame semblable à celle...). Ils permettent des constructions simples comme celles d'axe ou de centre de symétrie, de parallèle ou de perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en...) et sont à l'origine de l'étude des éléments dits remarquables dans un triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points...). Mais certaines constructions restent irréalisables comme la construction d'un heptagone régulier ou l'extraction d'une racine cubique (En mathématiques, la racine cubique d'un nombre réel y est l'unique nombre x qui, élevé à la...).

Médiatrice (En géométrie plane, la médiatrice d'un segment est l'ensemble des points...) et bissectrice (La bissectrice d'un secteur angulaire est la demi-droite issue du sommet de l'angle qui partage cet...)

Construction de la médiatrice

La principale construction de la géométrie est sans doute le tracé de la médiatrice d'un segment. La médiatrice du segment [AB] est la droite d qui coupe perpendiculairement [AB] en son milieu I. mais c'est aussi l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) des points équidistant des extrémités du segment. Il suffit donc d'ouvrir le compas sur une longueur supérieure à la moitié de la longueur du segment, puis de tracer deux cercles avec ce rayon, l'un centré sur A, l'autre sur B (on peut se contenter de ne tracer que des arcs de cercle). L'intersection des deux cercles est constituée de deux points situés à égale distance de A et de B, et qui définissent donc bien la médiatrice.

Cette méthode permet aussi de placer un milieu ou de construire une perpendiculaire.

Construction de la bissectrice

La bissectrice d'un angle, ou plus précisément, d'un secteur angulaire est l'axe de symétrie de ce secteur. Il suffit de construire sur chaque demi-droite (Une demi-droite est comme son nom l’indique la moitié d’une droite, à savoir...) deux points à égale distance du sommet en construisant les points d'intersection des demi-droites avec un même cercle de centre le sommet de l'angle. En prenant ces deux points comme centres de deux cercles de même rayon, on construit deux arcs de cercle qui se coupent en deux points appartenant tous deux à la bissectrice recherchée.

Il est donc toujours possible de couper, à la règle et au compas, un angle en deux parts égales. Mais il n'est pas toujours possible de découper, à la règle et au compas, un angle en trois part égales. C'est le problème de la trisection de l'angle.

Milieu et symétriques

Le milieu du segment [AB] s'obtient en construisant le point d'intersection de la droite (AB) avec la médiatrice du segment [AB].

Le symétrique du point A par rapport à B s'obtient en construisant le point d'intersection (différent de A) entre la droite (AB) et le cercle de centre B passant par A.

Le symétrique du point C par rapport à la droite (AB) s'obtient en construisant le point d'intersection (différent de C) entre le cercle de centre A passant par C et le cercle de centre B et passant par C. Si le point C est sur la droite (AB), il est son propre symétrique et aucune construction n'est nécessaire.

Construction du symétrique par rapport à un point
Construction du symétrique par rapport à une droite

Perpendiculaire et parallèle

La parallèle à la droite (AB) passant par un point C se construit à l'aide de la propriété de la droite des milieux. On construit le symétrique C1 du point C par rapport à A puis le symétrique C2 du point C1 par rapport à B. la droite recherchée est la droite (CC2).

Construction d'une parallèle

La perpendiculaire à la droite (AB) passant par un point C non situé sur (AB) est la droite (CC') joignant le point C à son symétrique par rapport à la droite (AB). Si le point C est situé sur (AB), il suffit de prendre le symétrique A' (ou B') du point A (ou du point B) par rapport à C, la prependiculaire est alors la médiatrice de [AA'] (ou de [BB'])

Construction d'une perpendiculaire

Géométrie du triangle

Le triangle est une figure emblématique de la géométrie euclidienne. Tous ses éléments remarquables : bissectrices, médiatrices, hauteurs, médianes, cercle d'Euler et droite d'Euler sont constructibles à la règle et au compas.

Polygones réguliers

Un polygone régulier (En géométrie, un polygone régulier est un polygone équilatéral (tous ses...) est un polygone (En géométrie euclidienne, un polygone (du grec polus, nombreux, et gônia, angle) est...) inscriptible dans un cercle et dont tous les côtés sont égaux. Il est aisé de construire à la règle et au compas le triangle, le carré et l'hexagone (Un hexagone (du grec hexi = six et gonia = angle) est un polygone à six sommets et six...). Avec plus de difficultés, on peut construire le pentagone. On peut assez facilement doubler le nombre de côtés d'un polygone constructible en traçant des bissectrices et construire, par exemple, des polygones à 2 \times 4 = 8, à 2 \times 5 = 10 et à 2 \times 6 = 12 côtés. Même s'il est théoriquement possible de tracer des polygones à 4 \times 5 = 20, à 8 \times 5 = 40 et à 16 \times 5 = 80 côtés, leur réalisation est difficile en pratique.

Restent parmi les polygones à moins de 10 côtés, l'heptagone (7 côtés) et l'ennéagone (9 côtés) qui ne sont pas constructibles ; il faudra attendre Gauss, puis Wantzel pour faire l'inventaire de tous les polygones constructibles.

Construction du pentagone régulier :

Pentagone construit.png

Construction de l'hexagone régulier :

La construction d'un hexagone se fait simplement à l'aide de trois cercles de même rayon. Elle utilise la propriété du triangle équilatéral qui possède trois angles de 60° et le fait que les angles au centre d'un hexagone valent 60°. hexagoneconstruit.png

Nombres constructibles

Pour Euclide, un nombre constructible (Un nombre constructible à la règle et au compas est la mesure d'une longueur...) est un nombre associé à une longueur constructible. De nos jours (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la...), un nombre constructible est un nombre obtenu comme coordonnée d'un point constructible à partir d'un quadrillage. On sait maintenant que l'ensemble des nombres constructibles contient l'ensemble des nombres rationnels, mais est strictement inclus dans l'ensemble des nombres algébriques. On sait en particulier que π, nombre transcendant (En mathématiques, un nombre transcendant sur les rationnels est un nombre réel ou...), n'est pas constructible (quadrature du cercle) et que \sqrt[3] 2 ne l'est pas (duplication du cube)

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