Loi de Rayleigh - Définition
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Introduction
| Rayleigh | |
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![Graphique de la densité de la loi de Rayleigh](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/1200px/r/rayleigh-distributionpdf_56d19230296722baf225ba7dbb765415.png") | |
![Plot de la Rayleigh CDF](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/1200px/r/rayleigh-distributioncdf_d4fddcfc8a974ce8beba7482739b2c72.png") | |
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| Paramètres |  (nombre réel) |
| Support |  |
| Densité de probabilité (fonction de masse) |  |
| Fonction de répartition |  |
| Espérance |  |
| Médiane (centre) |  |
| Mode |  |
| Variance |  |
| Asymétrie (statistique) |  |
| Kurtosis (non-normalisé) |  |
| Entropie |  |
| Fonction génératrice des moments |  |
| Fonction caractéristique |  |
| modifier | |
En probabilités et en statistiques, la loi de Rayleigh est une loi de probabilité à densité. Elle apparaît comme la norme d'un vecteur gaussien bi-dimensionnel dont les coordonnées sont indépendantes, centrées et de même variance. Cette loi de probabilité est baptisée d'après Lord Rayleigh.
Typiquement, la distance 
à laquelle une particule se trouve de son point de départ, après avoir effectué n pas d'une marche aléatoire symétrique dans le plan, suit approximativement une loi de Rayleigh de paramètre 
Dans un tout autre domaine, elle est fréquemment utilisée pour décrire l'enveloppe d'un processus de Gauss à bande étroite.
La densité de la loi de Rayleigh est
pour 
Propriétés
Les moments sont donnés par :
où Γ(z) est la fonction Gamma.
L'espérance et la variance d'une variable aléatoire de Rayleigh X sont les suivantes :
![\mathbb{E}[X] = \sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}}\,](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/9/9a1d889da48c8b9c5dec0ac2133a5ebf_84a9ee0300042c9f2470cb946aace599.png){kind=small}
et
La skewness est :
La kurtosis est :
La fonction caractéristique est :
où 
est la fonction d'erreur complexe. La transformée de Laplace est
où 
est la fonction d'erreur.
Entropie
L'entropie est
où γ est la constante d'Euler-Mascheroni.
Engendrer des variables de Rayleigh
Étant donnée une variable U uniforme sur l'intervalle (0, 1), la variable
suit la loi de Rayleigh de paramètre σ. Cela provient de la forme de la fonction de répartition, en particulier du théorème de la réciproque, et du fait que 1–U a même loi que U.
Estimation du paramètre
Étant données N variables de Rayleigh indépendantes et de même loi de paramètre σ, l'estimateur du maximum de vraisemblance de σ est
Lien avec certaines distributions discrètes
Marche aléatoire dans le plan
![](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/1200px/w/walk2d-0_d9a3237388fe991296c17dbf50b7881b.png")
(en 10 000 pas). La distance maximale (ou, aussi bien, la distance terminale) sont typiquement de l'ordre de 100 pas.Notons 
la distance entre la position d'un marcheur au hasard dans le plan, après n pas au hasard, et son point de départ : 
converge en loi vers la loi de Rayleigh, ce qui signifie qu'en parcourant une distance n, le marcheur ne s'éloigne vraiment de son point de départ que de 
pas approximativement, la convergence vers la loi de Rayleigh permettant de préciser cette approximation.
Distance entre deux points au hasard d'un arbre de Cayley aléatoire
À l'aide de la bijection de Joyal, on peut montrer que la loi de la distance entre deux points au hasard d'un arbre de Cayley aléatoire est donnée, pour 
par
On peut montrer, par exemple à l'aide du lemme de Scheffé, que converge en loi vers la loi de Rayleigh, ce qui indique que la distance "typique" entre deux points d'un arbre de taille n est de l'ordre de 
Points cycliques d'une application
En vertu de la bijection de Joyal, le nombre 
de points cycliques d'une application 
de ![\scriptstyle\ [\![1,n]\!]](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/4/4f7c2145ef89507b6795bb90369c150f_37b9a339e0652aec7caa1e9ca41d021e.png){kind=small}
dans , suit la même loi que 
Ainsi, 
converge en loi vers la loi de Rayleigh.
Problème des anniversaires
Cette loi discrète apparaît aussi dans des problèmes d'allocations (boules et urnes), dont le fameux problème des anniversaires. Lorsqu'on alloue séquentiellement des boules dans un ensemble de n urnes, avec équiprobabilité, ce qui revient à considérer un univers probabiliste ![\scriptstyle\ \Omega\ =\ [\![1,n]\!]^{\mathbb{N}},\](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/3/38c42b67486631ccd41234f2921b5446_e4b84b4dc079c5f286b1a0dfe25ba1e9.png){kind=small}
le rang 
de la première boule à être allouée dans une urne non vide suit la même loi que 
Ainsi, 
converge en loi vers la loi de Rayleigh.
Pour n=365, soit 365 boîtes, s'interprète comme la taille du groupe pour laquelle il devient probable qu'au moins deux membres du groupe ait la même date d'anniversaire (il faut imaginer un groupe dont l'effectif augmente progressivement) : la probabilité que dans un groupe de 
personnes, toutes les dates d'anniversaire soit différentes, est approximativement
et vaut donc 1/2 pour un groupe d'approximativement 
(soit 22,5) personnes, ou bien 1/10 pour un groupe d'approximativement 
(soit 41) personnes. Le calcul exact du premier entier tel que cette probabilité soit plus petite que 1/2 (respectivement 1/10) donne les mêmes résultats : 23 (respectivement 41).