Trace (algèbre) - Définition

Applications

Réduction d'opérateurs

Un projecteur p de E est un opérateur vérifant p²=p. Le lemme des noyaux implique que E est la somme directe du noyau F de p et de l'image G de p ; et p se restreint en l'identité sur G. Géométriquement, p est la projection sur G parallèlément à F. En concaténant des bases de F et G, on a une base de E dans laquelle le matrice de u est diagonale avec comme coefficients 0 et 1. Il s'en suit que la trace de p est la dimension de G :

.

Plus généralement, les traces fournissent des informations sur la réduction des opérateurs. On rappelle que le polynôme caractéristique de u est

P(X) = det(X − u).

Si P(X) est scindé (par exemple, si le corps de base K est algébriquement clos) alors u est triangularisable. Autrement dit, il existe une base de E dans laquelle l'opérateur u s'écrit sous la forme d'une matrice triangulaire supérieure. Les coefficients diagonaux sont les racines de son polynôme caractéristique P(X) comptées avec multiplicité, qui sont les valeurs propres de u. On les note ici . Par définition, la trace de u est

.

En particulier, le développement du polynôme caractéristique est

.

Les autres coefficients du polynôme caractéristique sont les valeurs des polynômes symétriques élémentaires en . Par conséquent, si le corps K est de caractéristique nulle, les coefficients s'expriment comme des polynôme en les traces des puissances de u :

pour .

Par exemple, si E est de dimension 3,

.

L'application suivante est un exercice proposé au concours d'entrée de l'École polytechnique. Soit u un opérateur sur un espace vectoriel réel E, tel que . Alors u est un opérateur nilpotent.

Divergence

Étant donné un espace vectoriel réel E de dimension finie, le déterminant définit une application det de l'espace des opérateurs sur E vers R, qui est homogène de degré n. Le nombre det(u) s'exprime comme une fonction polynômiale en les coefficients de la matrice représentant u dans une base quelconque de E. La fonction det est donc différentiable. Sa différentielle en l'identité est la trace. Autrement dit, pour tout opérateur u sur E,

det(I + u) = 1 + Tr(u) + o(u)

où o(u) signifie que le reste est négligeable devant u quand u tend vers zéro. Comme conséquence, pour tout opérateur u sur E,

det(exp(u)) = exp(Tr(u)).

En particulier, l'exponentielle de u est de déterminant 1 ssi u est un opérateur de trace nulle. Ce résultat s'interprète dans la théorie des groupes de Lie comme suit. L'application det est un morphisme continu de groupes du groupe linéaire GL(E) vers R. Son noyau, l'ensemble des opérateurs de déterminant 1, donc est un sous-groupe de GL(E), noté SL(E). Il s'agit d'un groupe de Lie classique, c'est-à-dire d'un sous-groupe fermé de GL(E). Géométriquement, un opérateur appartient à SL(E) ssi il préserve le volume de Lebesgue de E. Son algèbre de Lie est exactement l'ensemble des opérateurs u de trace nulle, noté .

Sur un ouvert U de E, un champ de vecteurs X est une application . Si cette application est lipschitzienne, le théorème de Cauchy-Lipschitz affirme l'existence de solutions maximales de l'équation différentielle ordinaire

c'(t) = X(c(t)) (1).

Le flot de X est la famille de difféomorphismes f_t qui envoient x sur c(t), où c est la solution de (1) avec comme condition initiale c(0)=x. Le flot est défini localement. On introduit la divergence de X

div(X)(x) = Tr(dX(x))

où dX(x) désigne la différentielle de X en x, qui est un opérateur sur E. Le flot f_t préserve le volume de Lebesgue ssi la divergence est nulle. Plus précisément, pour tout ouvert Ω dont l'adhérence est incluse dans U,

.

(Cette égalité permet d'étendre la définition de la divergence, par exemple sur des variétés orientées en présence de formes volumes. Voir divergence (mathématiques).)

Forme de Killing

Si est une algèbre de Lie sur un corps K, la représentation adjointe de , notée ad, est donnée par

ad(X)(Y) = [X,Y].

La forme de Killing sur est la forme bilinéaire symétrique

.

Les automorphismes de l'algèbre de Lie préserve la forme de Killing. En particulier, sa représentation adjointe préserve B. La forme de Killing a été introduite par Cartan pour caractériser la semi-simplicité des algèbres de Lie. Quand K=R, elle fournitaussi des infiormations sur le groupe de Lie associé. Voir critère de Cartan.

Soit G un groupe de Lie (par exemple, un sous-groupe fermé de GL(E)). Par définition, son algèbre de Lie est l'espace des champs de vecteurs sur G invariants à gauche, muni du crochet de Lie [,] (commutateur de champs de vecteurs). La forme de Killing associée B définit une métrique pseudo-riemannienne bi-invariante sur G. Si la forme de Killing B est définie positive, alors la métrique associée est une métrique riemannienne à courbure positive. Le théorème de Meyers implique que G est compact. D'autres liens existent.

Produit scalaire canonique

Soit et deux matrices dans . On remarque que

On dispose ainsi d'une écriture agréable du produit scalaire canonique sur l'espace R^np.

Si H est un espace de Hilbert de dimension finie, la transposée d'un opérateur u sur H est un opérateur sur H. On définit alors le produit scalaire sur l'espace des opérateurs sur H :

.

Avec cette définition, il apparait clairement que les opérateurs symétriques et les opérateurs antisymétriques forment deux sous-espaces orthogonaux de . La transposée est la symétrie orthogonale par rapport à l'espace des opérateurs symétriques.

Laplacien

Soit U un ouvert d'e l'espace vectoriel réel Rⁿ contenant 0, et soit de classe C². La hessienne de f en 0 est une forme bilinéaire symétrique sur E, vérifiant

.

Par définition, le laplacien de f en 0 est la trace de la hessienne :

Les fonctions de classe C² de laplacien nul sont dites harmoniques. Nécessairement analytiques, ces fonctions interviennent notamment en analyse complexe et en analyse fonctionnelle. En particulier, les fonctions de laplacien nul sont les solutions du problème de Dirichlet qui est la recherche des extrémales de l'énergie de Dirichlet.

Par ailleurs, la définition du Laplacien se généralise en géométrie différentielle pour des fonctions sur des variétés riemanniennes, mais aussi pour des objets plus généraux, comme par exemple les formes différentielles. Y compris dans ce cadre plus général, la définition peut être donnée par des traces de formes bilinéaires. Les formes de laplacien nul sont appelées harmoniques, et la théorie de Hodge en montre l'importance.

Termes de courbure

Etant donné une surface orientée lisse S de l'espace euclidien R³, la courbure moyenne de S en x est la moyenne des deux courbures principales de S en x. Formellement, ces courbures sont les valeurs propres d'une forme quadratique sur le plan tangent T_xS, appelée la seconde forme fondamentale de S en x, notée II_x. La courbure moyenne de S en x est

.

La définition de la courbure moyenne s'étend aux sous-variétés lisses N des variétés riemanniennes. Sa valeur en x n'est plus un scalaire mais un vecteur orthogonal à T_xN, qui se définit encore au moyen de traces. Les sous-variétés de courbure moyenne nulle sont appelées minimales et sont les extrémales du volume riemannien.