Hermitien - Définition et Explications

Plusieurs entités mathématiques sont qualifiées d'hermitiennes en référence au mathématicien Charles Hermite.

Espace hermitien

On appelle espace hermitien tout espace vectoriel E complexe de dimension finie muni d'un produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois s'appliquant aux vecteurs. À deux...) hermitien (Plusieurs entités mathématiques sont qualifiées d'hermitiennes en référence au mathématicien Charles Hermite.).

Produit scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les vecteurs, par opposition à un pseudoscalaire, qui est un...) hermitien

On dit qu'une forme définie sur un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant d'effectuer des combinaisons linéaires.) complexe E est sesquilinéaire si (notant X, Y, Z des vecteurs, et a, b des scalaires, c'est-à-dire des nombres complexes) :

  • \ f(aX+Y,Z)=\overline{a}f(X,Z)+f(Y,Z), et
  • \ f(X,bY+Z)=bf(X,Y)+f(X,Z).
  • Une telle forme est dite hermitienne si de plus f(X,Y)=\overline{f(Y,X)}.
  • Elle est dite hermitienne définie positive si f(X,X)>0\, pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un...) X\,\not=0\,.

Un produit scalaire hermitien est une forme hermitienne définie positive.

Les deux exemples de base sont \mathbb{C}^n\,, avec

f(U,V)=\sum_{i=1}^n\overline{u_i}{v_i}

et L^2(I)\, pour un intervalle I\subset\R\,, avec

f(g,h)=\int_I\overline{g(t)}h(t)dt

(On considère des fonctions à valeurs complexes.)

En théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une...) des séries de Fourier, il est plus commode de travailler avec les e^{inx}\, qu'avec les sinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes périodiques. Elles peuvent...) et les cosinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes périodiques. Elles...), ce qui explique l'intervention de cette notion dans la décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils soient d'origine animale ou végétale dès l'instant qu'ils sont privés de vie,...) spectrale de Fourier.

Les deux propriétés de base du produit scalaire réel subsistent :

  • l'inégalité de Cauchy-Schwarz ;
  • \sqrt{f(x,x)} est une norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un état habituellement répandu ou moyen considéré le plus souvent comme une règle à suivre. Ce...) (une conséquence).

Opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :) hermitien

Un opérateur u de l'espace hermitien E est dit hermitien si :

\forall x \in E, \forall y \in E, (u(x)|y) = (x|u(y))

Les opérateurs hermitiens jouent un rôle important en mécanique quantique (La mécanique quantique est la branche de la physique qui a pour but d'étudier et de décrire les phénomènes fondamentaux à l'œuvre dans les systèmes physiques, plus...), car ils représentent les grandeurs physiques. Les valeurs propres (réelles) représentent les valeurs possibles de la grandeur et les fonctions propres (ou vecteurs) les états associés.

Dans une base orthonormale (Soit En un espace vectoriel euclidien de dimension n, où n est un entier naturel non nul, et , une base de En.), la matrice d'un tel opérateur est égale à la transposée de son conjugué (En mathématiques, le conjugué d'un nombre complexe z est le nombre complexe formé de la même partie réelle que z mais de partie imaginaire opposée.) (auto-adjoint). Notons : A + = t(A) * . Alors si A = A + , A est la matrice d'un opérateur hermitien.

Matrice hermitienne

Une matrice hermitienne (ou auto-adjointe) est une matrice carrée avec des éléments complexes qui vérifie la propriété suivante :

  • la matrice est égale à la matrice transposée conjuguée.
    En d'autres termes, a_{i,j} = \overline{a_{j,i}}

Par exemple, A=\begin{pmatrix}3&i&-5i\\-i&-2&5\\ 5i&5&10\end{pmatrix} est une matrice hermitienne.

En particulier, une matrice à éléments réels est hermitienne si et seulement si elle est symétrique.

Une matrice hermitienne est orthogonalement diagonalisable et toutes ses valeurs propres sont réelles ; ses sous-espaces propres sont 2 à 2 orthogonaux.

Polynômes orthogonaux d'Hermite

Les polynômes d'Hermite interviennent dans la théorie de l'approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore assez significative pour être utile. Bien...) uniforme des fonctions. En physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique désigne la connaissance de la nature ;...), on les retrouve dans la résolution de l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation...) de la chaleur (Dans le langage courant, les mots chaleur et température ont souvent un sens équivalent : Quelle chaleur !), mais aussi en mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres...) quantique où ils donnent les fonctions d'ondes (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible de propriétés physiques locales. Elle transporte de...) de l'oscillateur harmonique (Les oscillateurs existent dans de nombreux domaines de la physique : mécanique, électricité et électronique, optique. Le modèle de base des oscillateurs est l'oscillateur harmonique : ses oscillations sont décrites par une...).

La suite des polynômes d'Hermite, notés Hn, est orthogonale pour le produit scalaire défini par :

<\! f,g\! >\, = \int_{-\infty}^{+\infty} {f(x)\,g(x)\,\mathrm{e}^{-x^2}}{dx}.

Ces polynômes sont définis de telle manière que Hn soit de degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) n, le premier d'entre eux étant H0 = 1.

Cette suite satisfait les relations suivantes :

  • H^{}_{n+1}(x)-2x\,H_n(x)+2n\,H_{n-1}(x)=0
  • H^{'}_n(x)=2n\,H_{n-1}(x)
  • H_n^{''} - 2x\,H_n^{'} + 2n\,H_n = 0
  • H_n(x)=(-1)^{n}\,\mathrm{e}^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}\left(\mathrm{e}^{-x^2}\right)
Articles de mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les...) en rapport avec l'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les...) bilinéaire (Soit E, F et G trois espaces vectoriels sur un corps . Soit une application, on dit que est bilinéaire si et seulement si elle est linéaire en chacune de ses variables, c'est-à-dire: : )
Espace euclidien (En mathématiques, un espace euclidien est un objet algébrique permettant de généraliser de façon naturelle la géométrie traditionnelle développée par Euclide,...) | Forme bilinéaire (En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, une forme bilinéaire est un type particulier d'application qui, à deux vecteurs d'un même...) | Forme quadratique (En mathématiques, une forme quadratique est un polynôme homogène de degré deux avec un nombre quelconque de variables. Par exemple, la distance comprise entre deux points dans un espace euclidien à trois dimensions s'obtient...) | Forme sesquilinéaire | Orthogonalité (En mathématiques, l'orthogonalité est un concept d'algèbre linéaire associé à une forme bilinéaire. Un cas fréquent est celui où cette forme est un produit scalaire.) | Base orthonormale | Projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la surface plane d'une carte.) orthogonale | Inégalité de Cauchy-Schwarz (En mathématiques, l'inégalité de Cauchy-Schwarz, aussi appelée inégalité de Schwarz, ou encore inégalité de Cauchy-Bunyakovski-Schwarz, se rencontre dans de nombreux domaines tels que l'algèbre linéaire avec...) | Inégalité de Minkowski | Matrice définie positive (En algèbre linéaire, la notion de matrice définie positive est analogue à celle de nombre réel strictement positif.) | Matrice semi-définie positive | Décomposition QR (En algèbre linéaire, la décomposition QR (appelée aussi, décomposition QU) d'une matrice A est une décomposition de la forme) | Déterminant de Gram | Hermitien | Espace de Hilbert (Un espace de Hilbert est un espace de Banach (donc complet) dont la norme découle d'un produit scalaire ou hermitien par la formule . C'est la généralisation en dimension quelconque d'un...) | Base de Hilbert (Une base de Hilbert ou encore base hilbertienne est une généralisation aux espaces de Hilbert de la notion classique de base orthonormée en algèbre linéaire, pour les espaces euclidiens (ou hermitiens...) | Théorème spectral (En mathématiques, une quadrique désigne une surface d’un espace euclidien. Elle est définie par un polynôme du second degré dont les variables correspondent aux coordonnées d’un vecteur...) | Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un...) de Stampacchia | Théorème de Riesz (Au sein de la théorie des espaces vectoriels normés, le théorème de Riesz établit un lien entre la notion de compacité et celle de dimension.) | Théorème de Lax-Milgram | Théorème de représentation de Riesz
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