Hermitien - Définition et Explications

Plusieurs entités mathématiques sont qualifiées d'hermitiennes en référence au mathématicien Charles Hermite.

Espace hermitien

On appelle espace hermitien tout espace vectoriel E complexe de dimension finie muni d'un produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique...) hermitien (Plusieurs entités mathématiques sont qualifiées d'hermitiennes en référence au mathématicien...).

Produit scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les...) hermitien

On dit qu'une forme définie sur un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant...) complexe E est sesquilinéaire si (notant X, Y, Z des vecteurs, et a, b des scalaires, c'est-à-dire des nombres complexes) :

  • \ f(aX+Y,Z)=\overline{a}f(X,Z)+f(Y,Z), et
  • \ f(X,bY+Z)=bf(X,Y)+f(X,Z).
  • Une telle forme est dite hermitienne si de plus f(X,Y)=\overline{f(Y,X)}.
  • Elle est dite hermitienne définie positive si f(X,X)>0\, pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet...) X\,\not=0\,.

Un produit scalaire hermitien est une forme hermitienne définie positive.

Les deux exemples de base sont \mathbb{C}^n\,, avec

f(U,V)=\sum_{i=1}^n\overline{u_i}{v_i}

et L^2(I)\, pour un intervalle I\subset\R\,, avec

f(g,h)=\int_I\overline{g(t)}h(t)dt

(On considère des fonctions à valeurs complexes.)

En théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) des séries de Fourier, il est plus commode de travailler avec les e^{inx}\, qu'avec les sinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour...) et les cosinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour...), ce qui explique l'intervention de cette notion dans la décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils...) spectrale de Fourier.

Les deux propriétés de base du produit scalaire réel subsistent :

  • l'inégalité de Cauchy-Schwarz ;
  • \sqrt{f(x,x)} est une norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un...) (une conséquence).

Opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :) hermitien

Un opérateur u de l'espace hermitien E est dit hermitien si :

\forall x \in E, \forall y \in E, (u(x)|y) = (x|u(y))

Les opérateurs hermitiens jouent un rôle important en mécanique quantique (La mécanique quantique est la branche de la physique qui a pour but d'étudier et de...), car ils représentent les grandeurs physiques. Les valeurs propres (réelles) représentent les valeurs possibles de la grandeur et les fonctions propres (ou vecteurs) les états associés.

Dans une base orthonormale (Soit En un espace vectoriel euclidien de dimension n, où n est un entier naturel non nul, et , une...), la matrice d'un tel opérateur est égale à la transposée de son conjugué (En mathématiques, le conjugué d'un nombre complexe z est le nombre complexe formé de...) (auto-adjoint). Notons : A + = t(A) * . Alors si A = A + , A est la matrice d'un opérateur hermitien.

Matrice hermitienne

Une matrice hermitienne (ou auto-adjointe) est une matrice carrée avec des éléments complexes qui vérifie la propriété suivante :

  • la matrice est égale à la matrice transposée conjuguée.
    En d'autres termes, a_{i,j} = \overline{a_{j,i}}

Par exemple, A=\begin{pmatrix}3&i&-5i\\-i&-2&5\\ 5i&5&10\end{pmatrix} est une matrice hermitienne.

En particulier, une matrice à éléments réels est hermitienne si et seulement si elle est symétrique.

Une matrice hermitienne est orthogonalement diagonalisable et toutes ses valeurs propres sont réelles ; ses sous-espaces propres sont 2 à 2 orthogonaux.

Polynômes orthogonaux (En mathématiques, une suite de polynômes orthogonaux est une suite infinie de...) d'Hermite

Les polynômes d'Hermite interviennent dans la théorie de l'approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de...) uniforme des fonctions. En physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la...), on les retrouve dans la résolution de l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement...) de la chaleur (Dans le langage courant, les mots chaleur et température ont souvent un sens équivalent :...), mais aussi en mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes...) quantique où ils donnent les fonctions d'ondes (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible...) de l'oscillateur harmonique (Les oscillateurs existent dans de nombreux domaines de la physique : mécanique, électricité...).

La suite des polynômes d'Hermite, notés Hn, est orthogonale pour le produit scalaire défini par :

<\! f,g\! >\, = \int_{-\infty}^{+\infty} {f(x)\,g(x)\,\mathrm{e}^{-x^2}}{dx}.

Ces polynômes sont définis de telle manière que Hn soit de degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines...) n, le premier d'entre eux étant H0 = 1.

Cette suite satisfait les relations suivantes :

  • H^{}_{n+1}(x)-2x\,H_n(x)+2n\,H_{n-1}(x)=0
  • H^{'}_n(x)=2n\,H_{n-1}(x)
  • H_n^{''} - 2x\,H_n^{'} + 2n\,H_n = 0
  • H_n(x)=(-1)^{n}\,\mathrm{e}^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}\left(\mathrm{e}^{-x^2}\right)
Articles de mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...) en rapport avec l'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche...) bilinéaire (Soit E, F et G trois espaces vectoriels sur un corps . Soit une application, on dit que est...)
Espace euclidien (En mathématiques, un espace euclidien est un objet algébrique permettant de...) | Forme bilinéaire (En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, une forme...) | Forme quadratique (En mathématiques, une forme quadratique est un polynôme homogène de degré deux...) | Forme sesquilinéaire | Orthogonalité (En mathématiques, l'orthogonalité est un concept d'algèbre linéaire...) | Base orthonormale | Projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de...) orthogonale | Inégalité de Cauchy-Schwarz (En mathématiques, l'inégalité de Cauchy-Schwarz, aussi appelée inégalité de Schwarz, ou...) | Inégalité de Minkowski | Matrice définie positive (En algèbre linéaire, la notion de matrice définie positive est analogue à celle...) | Matrice semi-définie positive | Décomposition QR (En algèbre linéaire, la décomposition QR (appelée aussi, décomposition QU) d'une matrice A est...) | Déterminant de Gram | Hermitien | Espace de Hilbert (Un espace de Hilbert est un espace de Banach (donc complet) dont la norme découle d'un produit...) | Base de Hilbert (Une base de Hilbert ou encore base hilbertienne est une généralisation aux espaces de Hilbert de...) | Théorème spectral (En mathématiques, une quadrique désigne une surface d’un espace euclidien. Elle...) | Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) de Stampacchia | Théorème de Riesz (Au sein de la théorie des espaces vectoriels normés, le théorème de Riesz établit un lien...) | Théorème de Lax-Milgram | Théorème de représentation de Riesz
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