Théorème de Riesz - Définition
Théorème sur la compacité et la dimension
Au sein de la théorie des espaces vectoriels normés, le théorème de Riesz établit un lien entre la notion de compacité et celle de dimension.
Énoncé
Plus précisement, le théorème de Riesz s'énonce de la façon suivante :
- Théorème
- Soit E un espace vectoriel normé. Les quatre propositions suivantes sont équivalentes :
- E est de dimension finie.
- Toute partie bornée de E est relativement compacte.
- La boule unité fermée de E est compacte.
- E est localement compact.
Démonstrations
Sens direct
Dans un sens, c'est " facile ", si E est de dimension finie, c'est un résultat connu : tout fermé borné dans un espace normé de dimension finie est compact. (d'après le Théorème de Bolzano-Weierstrass)
Sens réciproque, avec la propriété de Borel-Lebesgue
Pour la réciproque, il est commode d'utiliser la caractérisation des compacts de Borel-Lebesgue.
En effet, 
. Donc si B est compacte, il existe un recouvrement fini de cet ouvert par des boules de centre xi et de rayon 1/2 : 
.
Soit alors 
. Montrons que B est incluse dans F.
Soit 
, il existe ![i \in [1, p]](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/3/37fb68a4ed91024c9f1c609c4f28523d_aa957f66384a7feac4b685b7369e0d4c.png){kind=small}
tel que 
et 
donc 
.
Montrons maintenant que 
.
Si 
donc 2x = f + y où 
et 
d'où 
, et enfin 
.
Par récurrence sur n, on a alors 
. Soit alors 
, il existe 
tel que 
. Donc 
, et 
. Mais F est un espace vectoriel de dimension finie, donc est fermé : 
donc 
: E est de dimension finie.
Sens réciproque, sans la propriété de Borel-Lebesgue
Comme on peut définir la compacité par la propriété de Bolzano-Weierstrass, donnons une démonstration de la réciproque plus élémentaire.
Propos heuristiques
On considère un espace vectoriel E de dimension infinie. Typiquement, on prend 
, le 
-espace vectoriel des suites (infinies dénombrables) de nombres réels.
On cherche dans cet espace E une suite (xn) qui n'admette aucune sous-suite convergente, c'est-à-dire qui contredise la propriété de Bolzano-Weierstrass, et qui ainsi démontre que notre espace E n'est pas compact.
La première suite qui vient à l'esprit, c'est la base canonique de E, c'est-à-dire la base formée des vecteurs 
, où le 1 est à la i-ième place.
Et, effectivement, si 
est un espace préhilbertien réel ou complexe de dimension infinie, si 
est une base orthonormée de E et si 
est une suite injective à coefficients dans 
et à valeurs dans I, alors, la suite 
est une suite qui n'a aucune valeur d'adhérence.
En effet, supposons qu'il existe une extractrice 
telle que la suite 
converge vers a.
On note tout d'abord que a est non-nul car tous les 
sont de norme 1, donc a aussi.
Il existe donc un vecteur de base 
tel que 
est non-nul.
Pourtant, à cause du caractère orthonormé de la base qu'on a choisie, à partir d'un certain rang, 
est nul. C'est absurde.
Il nous faut donc trouver l'analogue d'une base orthonormée dans un espace vectoriel E qui n'a pas de produit scalaire. Désormais, 
est un ou 
-EVN de dimension infinie.
L'analogue de l'orthonormalisation de Schmidt
On se donne une famille libre 
. On va construire une suite (ei) qui sera une pseudo-orthonormalisée de Schmidt de (xi).
D'abord, on pose 
, de telle sorte que | | e0 | | = 1.
Puis, pour e1, on procède ainsi. On note E0 l'espace vectoriel de dimension finie engendré par e0 ; c'est une fermé de E. En particulier, il existe un point 
tel que 
. Dans le cas des espaces préhilbertiens, c'est normalement le projeté orthogonal de x1 qui joue le rôle de y0. S'inspirant alors de l'orthonormalisation, on pose 
.
On itère ensuite la construction : E1 est engendré par e0 et e1 ; y2 réalise la distance de x2 à E1, etc.
La démonstration
On montre alors que la suite en contredit la propriété de Bolzano-Weierstrass. Supposons qu'il existe une extractrice 
telle que la suite 
converge. On va montrer que c'est impossible.
Pour cela, rappelons quelques propriétés de la distance à un sous-espace vectoriel : si F est un sous-espace vectoriel de l'EVN E et si 
, alors, pour tout et tout λ dans ou , on a :
- d(x + f,F) = d(x,F)
- d(λx,F) = λd(x,F)
On a donc 
.
Puis, on sait que 
; donc, 
. Donc, la suite n'est pas de Cauchy. Donc, elle ne converge pas.
Théorème sur les formes linéaires dans un espace de Hilbert
Un autre théorème de Riesz concerne les formes linéaires continues dans un espace de Hilbert.
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