Théorème de Riesz - Définition

Théorème sur la compacité et la dimension

Au sein de la théorie des espaces vectoriels normés, le théorème de Riesz établit un lien entre la notion de compacité et celle de dimension.

Énoncé

Plus précisement, le théorème de Riesz s'énonce de la façon suivante :

Théorème

Soit E un espace vectoriel normé. Les quatre propositions suivantes sont équivalentes :

1. E est de dimension finie.
2. Toute partie bornée de E est relativement compacte.
3. La boule unité fermée de E est compacte.
4. E est localement compact.

Démonstrations

Sens direct

Dans un sens, c'est " facile ", si E est de dimension finie, c'est un résultat connu : tout fermé borné dans un espace normé de dimension finie est compact. (d'après le Théorème de Bolzano-Weierstrass)

Sens réciproque, avec la propriété de Borel-Lebesgue

Pour la réciproque, il est commode d'utiliser la caractérisation des compacts de Borel-Lebesgue.

En effet, . Donc si B est compacte, il existe un recouvrement fini de cet ouvert par des boules de centre x_i et de rayon 1/2 : .

Soit alors . Montrons que B est incluse dans F.

Soit , il existe tel que et donc .

Montrons maintenant que .

Si donc 2x = f + y où et d'où , et enfin .

Par récurrence sur n, on a alors . Soit alors , il existe tel que . Donc , et . Mais F est un espace vectoriel de dimension finie, donc est fermé : donc  : E est de dimension finie.

Sens réciproque, sans la propriété de Borel-Lebesgue

Comme on peut définir la compacité par la propriété de Bolzano-Weierstrass, donnons une démonstration de la réciproque plus élémentaire.

Propos heuristiques

On considère un espace vectoriel E de dimension infinie. Typiquement, on prend , le -espace vectoriel des suites (infinies dénombrables) de nombres réels.

On cherche dans cet espace E une suite (x_n) qui n'admette aucune sous-suite convergente, c'est-à-dire qui contredise la propriété de Bolzano-Weierstrass, et qui ainsi démontre que notre espace E n'est pas compact.

La première suite qui vient à l'esprit, c'est la base canonique de E, c'est-à-dire la base formée des vecteurs , où le 1 est à la i-ième place.

Et, effectivement, si est un espace préhilbertien réel ou complexe de dimension infinie, si est une base orthonormée de E et si est une suite injective à coefficients dans et à valeurs dans I, alors, la suite est une suite qui n'a aucune valeur d'adhérence.

Il nous faut donc trouver l'analogue d'une base orthonormée dans un espace vectoriel E qui n'a pas de produit scalaire. Désormais, est un ou -EVN de dimension infinie.

L'analogue de l'orthonormalisation de Schmidt

On se donne une famille libre . On va construire une suite (e_i) qui sera une pseudo-orthonormalisée de Schmidt de (x_i).

D'abord, on pose , de telle sorte que | | e₀ | | = 1.

Puis, pour e₁, on procède ainsi. On note E₀ l'espace vectoriel de dimension finie engendré par e₀ ; c'est une fermé de E. En particulier, il existe un point tel que . Dans le cas des espaces préhilbertiens, c'est normalement le projeté orthogonal de x₁ qui joue le rôle de y₀. S'inspirant alors de l'orthonormalisation, on pose .

On itère ensuite la construction : E₁ est engendré par e₀ et e₁ ; y₂ réalise la distance de x₂ à E₁, etc.

La démonstration

On montre alors que la suite e_n contredit la propriété de Bolzano-Weierstrass. Supposons qu'il existe une extractrice telle que la suite converge. On va montrer que c'est impossible.

Pour cela, rappelons quelques propriétés de la distance à un sous-espace vectoriel : si F est un sous-espace vectoriel de l'EVN E et si , alors, pour tout et tout λ dans ou , on a :

• d(x + f,F) = d(x,F)
• d(λx,F) = λd(x,F)

On a donc .

Puis, on sait que  ; donc, . Donc, la suite n'est pas de Cauchy. Donc, elle ne converge pas.

Théorème sur les formes linéaires dans un espace de Hilbert

Un autre théorème de Riesz concerne les formes linéaires continues dans un espace de Hilbert.