Théorème de Riesz
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Théorème sur la compacité et la dimension

Au sein de la théorie des espaces vectoriels normés, le théorème de Riesz établit un lien entre la notion de compacité et celle de dimension.

Énoncé

Plus précisement, le théorème de Riesz (Au sein de la théorie des espaces vectoriels normés, le théorème de Riesz établit un lien entre la notion de compacité et celle de dimension.) s'énonce de la façon suivante :

Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un...)
Soit E un espace vectoriel normé (Un espace vectoriel normé est une des structures importantes rencontrées en analyse, et plus particulièrement en analyse fonctionnelle. Développée...). Les quatre propositions suivantes sont équivalentes :
  1. E est de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son...) finie.
  2. Toute partie bornée de E est relativement compacte.
  3. La boule unité (En topologie, une boule est un sous-ensemble particulier d'un espace métrique. Le nom évoque, à juste titre, un objet familier dans et plus généralement dans muni de la distance euclidienne usuelle. Cependant, les boules peuvent avoir des...) fermée de E est compacte.
  4. E est localement compact.

Démonstrations

Sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant...) direct

Dans un sens, c'est " facile ", si E est de dimension finie, c'est un résultat connu : tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) fermé borné dans un espace normé de dimension finie est compact. (d'après le Théorème de Bolzano-Weierstrass)

Sens réciproque (La réciproque est une relation d'implication.), avec la propriété de Borel-Lebesgue

Pour la réciproque, il est commode d'utiliser la caractérisation des compacts de Borel-Lebesgue.

En effet, B \subset \cup_{x \in B} B\left(x,\frac{1}{2}\right). Donc si B est compacte, il existe un recouvrement (Un recouvrement d'un ensemble X est un ensemble P de sous-ensembles non vides de X tel que l'union de ces sous-ensembles soit égal à X. Autrement dit P est un recouvrement de X si et seulement si tout élément x de X se trouve dans au...) fini de cet ouvert par des boules de centre xi et de rayon 1/2 : B \subset \cup_1^p B\left(x_i,\frac{1}{2}\right).

Soit alors F=Vect(x_1,\cdots,x_p). Montrons que B est incluse dans F.

Soit x \in B, il existe i \in [1, p] tel que x \in B\left(x_i,\frac{1}{2}\right) et x-x_i \in B\left(0,\frac{1}{2}\right) donc B \subset F + B\left(0,\frac{1}{2}\right).

Montrons maintenant que B\left(0,\frac{1}{2}\right) \subset F + B\left(0,\frac{1}{4}\right).

Si x \in B\left(0,\frac{1}{2}\right), 2x \in B donc 2x = f + yf \in F et y \in B\left(0,\frac{1}{2}\right) d'où x = \frac{f}{2} + \frac{y}{2}, et enfin x \in F + B\left(0,\frac{1}{4}\right).

Par récurrence sur n, on a alors \forall n \in \mathbb{N}, B \subset F + B\left(0,\frac{1}{2^n}\right). Soit alors x \in B, \forall n \in \mathbb{N}, il existe x_n \in F tel que x-x_n \in B\left(0,\frac{1}{2^n}\right). Donc \lim_{n\rightarrow \infty}x_n = x, et B \subset \bar{F}. Mais F est un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur, voir...) de dimension finie, donc est fermé : B \subset F donc E \subset F : E est de dimension finie.

Sens réciproque, sans la propriété de Borel-Lebesgue

Comme on peut définir la compacité par la propriété de Bolzano-Weierstrass, donnons une démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de propositions initiales, en s'appuyant sur un ensemble de...) de la réciproque plus élémentaire.

Propos heuristiques

On considère un espace vectoriel E de dimension infinie. Typiquement, on prend E=\mathbb{R}^\mathbb{N}, le \mathbb{R}-espace vectoriel des suites (infinies dénombrables) de nombres réels.

On cherche dans cet espace E une suite (xn) qui n'admette aucune sous-suite convergente, c'est-à-dire qui contredise la propriété de Bolzano-Weierstrass, et qui ainsi démontre que notre espace E n'est pas compact.

La première suite qui vient à l'esprit, c'est la base canonique (Dans un espace vectoriel, une base canonique est une base qui se présente de manière naturelle d'après la manière dont l'espace vectoriel est présenté. C'est ainsi que l'on parle de la base canonique de ,...) de E, c'est-à-dire la base formée des vecteurs e_i=(0,\ldots, 0, 1, 0, \ldots), où le 1 est à la i-ième place.

Et, effectivement, si (E, (\cdot |\cdot))) est un espace préhilbertien réel ou complexe de dimension infinie, si (e_i)_{i \in I} est une base orthonormée de E et si (i_j)_{j \in \mathbb{N}} est une suite injective à coefficients dans \mathbb{N} et à valeurs dans I, alors, la suite (f_j=e_{i_j})_{j\in \mathbb{N}} est une suite qui n'a aucune valeur d'adhérence.


Il nous faut donc trouver l'analogue d'une base orthonormée dans un espace vectoriel E qui n'a pas de produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois définissant la structure d'espace vectoriel. À deux vecteurs elle associe leur produit, qui est un nombre (ou scalaire). Elle permet...). Désormais, (E,||\cdot|| ) est un \mathbb{R} ou \mathbb{C}-EVN de dimension infinie.

L'analogue de l'orthonormalisation de Schmidt

On se donne une famille libre (x_i)_{i\in \mathbb{N}}. On va construire une suite (ei) qui sera une pseudo-orthonormalisée de Schmidt de (xi).

D'abord, on pose e_0=\frac{x_0}{||x_0||}, de telle sorte que | | e0 | | = 1.

Puis, pour e1, on procède ainsi. On note E0 l'espace vectoriel de dimension finie engendré par e0 ; c'est une fermé de E. En particulier, il existe un point (Graphie) y_0\in E_0 tel que ||x_1-y_0||=\inf_{y\in E_0}||x_1-y||=d(x_1, E_0). Dans le cas des espaces préhilbertiens, c'est normalement le projeté orthogonal de x1 qui joue (La joue est la partie du visage qui recouvre la cavité buccale, fermée par les mâchoires. On appelle aussi joue le muscle qui sert principalement à ouvrir et...) le rôle de y0. S'inspirant alors de l'orthonormalisation, on pose e_1=\frac{x_1-y_0}{||x_1-y_0||}.

On itère ensuite la construction : E1 est engendré par e0 et e1 ; y2 réalise la distance de x2 à E1, etc.

La démonstration

On montre alors que la suite en contredit la propriété de Bolzano-Weierstrass. Supposons qu'il existe une extractrice \varphi telle que la suite e_{\varphi(n)} converge. On va montrer que c'est impossible.

Pour cela, rappelons quelques propriétés de la distance à un sous-espace vectoriel : si F est un sous-espace vectoriel de l'EVN E et si x\in E, alors, pour tout f\in F et tout λ dans \mathbb{R} ou \mathbb{C}, on a :

  • d(x + f,F) = d(x,F)
  • dx,F) = λd(x,F)

On a donc d(e_{\varphi(n)}, E_{\varphi(n)-1})=\frac{d(x_{\varphi(n)}, E_{\varphi(n)-1})}{d(x_{\varphi(n)}, E_{\varphi(n)-1})}=1.

Puis, on sait que e_{\varphi(n-1)} \in E_{\varphi(n)-1} ; donc, ||e_{\varphi(n)}-e_{\varphi(n-1)}||\geq d(e_{\varphi(n)}, E_{\varphi(n)-1})=1. Donc, la suite n'est pas de Cauchy. Donc, elle ne converge pas.

Théorème sur les formes linéaires dans un espace de Hilbert (Un espace de Hilbert est un espace de Banach (donc complet) dont la norme découle d'un produit scalaire ou hermitien par la formule . C'est la généralisation en dimension quelconque d'un espace euclidien ou hermitien.)

Un autre théorème de Riesz concerne les formes linéaires continues dans un espace de Hilbert.

Articles de mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les...) en rapport avec l'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon...) bilinéaire (Soit E, F et G trois espaces vectoriels sur un corps . Soit une application, on dit que est bilinéaire si et seulement si elle est linéaire en chacune de ses variables, c'est-à-dire: : )
Espace euclidien (Un espace euclidien, dans la conception actuelle, est un espace vectoriel ou affine réel de dimension finie muni d'un produit scalaire. Dans un tel espace, on peut traiter des questions de longueur ou d'orthogonalité. En physique,...) | Forme bilinéaire | Forme quadratique (En mathématiques, une forme quadratique est un polynôme homogène de degré deux avec un nombre quelconque de variables. Par exemple, la distance comprise entre deux points dans un espace euclidien à trois dimensions...) | Forme sesquilinéaire | Orthogonalité | Base orthonormale (Soit En un espace vectoriel euclidien de dimension n, où n est un entier naturel non nul, et , une base de En.) | Projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la surface plane d'une carte.) orthogonale | Inégalité de Cauchy-Schwarz (En mathématiques, l'inégalité de Cauchy-Schwarz, aussi appelée inégalité de Schwarz, ou encore inégalité de Cauchy-Bunyakovski-Schwarz, se rencontre dans de nombreux domaines tels que l'algèbre...) | Inégalité de Minkowski | Matrice définie positive (En algèbre linéaire, la notion de matrice définie positive est analogue à celle de nombre réel strictement positif.) | Matrice semi-définie positive | Décomposition QR (En algèbre linéaire, la décomposition QR (appelée aussi, décomposition QU) d'une matrice A est une décomposition de la forme) | Déterminant de Gram | Hermitien (Plusieurs entités mathématiques sont qualifiées d'hermitiennes en référence au mathématicien Charles Hermite.) | Espace de Hilbert | Base de Hilbert (Une base de Hilbert ou encore base hilbertienne est une généralisation aux espaces de Hilbert de la notion classique de base orthonormée en algèbre...) | Théorème spectral | Théorème de Stampacchia | Théorème de Riesz | Théorème de Lax-Milgram | Théorème de représentation de Riesz
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