Au sein de la théorie des espaces vectoriels normés, le théorème de Riesz établit un lien entre la notion de compacité et celle de dimension.
Plus précisement, le théorème de Riesz s'énonce de la façon suivante :
Dans un sens, c'est " facile ", si E est de dimension finie, c'est un résultat connu : tout fermé borné dans un espace normé de dimension finie est compact. (d'après le Théorème de Bolzano-Weierstrass)
Pour la réciproque, il est commode d'utiliser la caractérisation des compacts de Borel-Lebesgue.
En effet, . Donc si B est compacte, il existe un recouvrement fini de cet ouvert par des boules de centre xi et de rayon 1/2 : .
Soit alors . Montrons que B est incluse dans F.
Soit , il existe tel que et donc .
Montrons maintenant que .
Si donc 2x = f + y où et d'où , et enfin .
Par récurrence sur n, on a alors . Soit alors , il existe tel que . Donc , et . Mais F est un espace vectoriel de dimension finie, donc est fermé : donc : E est de dimension finie.
Comme on peut définir la compacité par la propriété de Bolzano-Weierstrass, donnons une démonstration de la réciproque plus élémentaire.
On considère un espace vectoriel E de dimension infinie. Typiquement, on prend , le -espace vectoriel des suites (infinies dénombrables) de nombres réels.
On cherche dans cet espace E une suite (xn) qui n'admette aucune sous-suite convergente, c'est-à-dire qui contredise la propriété de Bolzano-Weierstrass, et qui ainsi démontre que notre espace E n'est pas compact.
La première suite qui vient à l'esprit, c'est la base canonique de E, c'est-à-dire la base formée des vecteurs , où le 1 est à la i-ième place.
Et, effectivement, si est un espace préhilbertien réel ou complexe de dimension infinie, si est une base orthonormée de E et si est une suite injective à coefficients dans et à valeurs dans I, alors, la suite est une suite qui n'a aucune valeur d'adhérence.
En effet, supposons qu'il existe une extractrice telle que la suite converge vers a.
On note tout d'abord que a est non-nul car tous les sont de norme 1, donc a aussi.
Il existe donc un vecteur de base tel que est non-nul.
Pourtant, à cause du caractère orthonormé de la base qu'on a choisie, à partir d'un certain rang, est nul. C'est absurde.
Il nous faut donc trouver l'analogue d'une base orthonormée dans un espace vectoriel E qui n'a pas de produit scalaire. Désormais, est un ou -EVN de dimension infinie.
On se donne une famille libre . On va construire une suite (ei) qui sera une pseudo-orthonormalisée de Schmidt de (xi).
D'abord, on pose , de telle sorte que | | e0 | | = 1.
Puis, pour e1, on procède ainsi. On note E0 l'espace vectoriel de dimension finie engendré par e0 ; c'est une fermé de E. En particulier, il existe un point tel que . Dans le cas des espaces préhilbertiens, c'est normalement le projeté orthogonal de x1 qui joue le rôle de y0. S'inspirant alors de l'orthonormalisation, on pose .
On itère ensuite la construction : E1 est engendré par e0 et e1 ; y2 réalise la distance de x2 à E1, etc.
On montre alors que la suite en contredit la propriété de Bolzano-Weierstrass. Supposons qu'il existe une extractrice telle que la suite converge. On va montrer que c'est impossible.
Pour cela, rappelons quelques propriétés de la distance à un sous-espace vectoriel : si F est un sous-espace vectoriel de l'EVN E et si , alors, pour tout et tout λ dans ou , on a :
On a donc .
Puis, on sait que ; donc, . Donc, la suite n'est pas de Cauchy. Donc, elle ne converge pas.
Un autre théorème de Riesz concerne les formes linéaires continues dans un espace de Hilbert.
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