Champ magnétique
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Calcul du champ magnétique

Propriétés mathématiques

Symétries

En tant que champ pseudovectoriel, le champ magnétique a un comportement particulier par rapport aux symétries. En effet, contrairement au champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) (vectoriel) électrique, les champs magnétiques ne suivent pas la symétrie de leurs sources. On parle ainsi de vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par...) « axial » ou de « pseudovecteur ».

Par exemple, pour une spire circulaire parcourue par un courant :

  • un plan de symétrie Π+ est celui qui contient la spire ;
  • un plan d'antisymétrie Π- est tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) plan passant par le centre de la spire et orthogonal au premier plan.

Respectivement, Π+ et Π- sont un plan d'antisymétrie et de symétrie pour le champ magnétique (En physique, le champ magnétique (ou induction magnétique, ou densité de flux magnétique) est une grandeur caractérisée par la...).

Changement de référentiel

En mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres...) classique, où l'on considère des vitesses relatives très inférieures à la vitesse de la lumière (La vitesse de la lumière dans le vide, notée c (pour « célérité », la lumière se manifestant macroscopiquement comme un phénomène ondulatoire), est...), le champ magnétique mesuré est identique dans deux systèmes de coordonnées en translation rectiligne et uniforme l'un par rapport à l'autre (référentiels galiléens). Cette propriété n'est pas partagée par le champ électrique (Dans le cadre de l'électromagnétisme, le champ électrique est un objet physique qui permet de définir et éventuellement de mesurer en tout point de l'espace...), dont la valeur change d'un référentiel à l'autre si le champ magnétique est non nul.

Calcul du champ

Le calcul du champ magnétique créé par un système demande de résoudre des équations différentielles assez complexes. Il existe pour cela une multitude de méthodes numériques comme la méthode des éléments finis, la méthode des différences finies et la méthode des volumes finis pour ne citer que les méthodes les plus répandues. Toutefois, il est possible de calculer analytiquement le champ magnétique dans certains cas simples. Sauf mention contraire, les expressions données pour le calcul du champ magnétique sont exprimées dans les unités SI. Cela explique notamment le facteur 1/4 π.

Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers...) d'Ampère (Ampère peut désigner :)

À partir des observations (L’observation est l’action de suivi attentif des phénomènes, sans volonté de les modifier, à l’aide de moyens d’enquête et d’étude appropriés....) révélant un lien entre courants électriques et champ magnétique, André-Marie Ampère (André-Marie Ampère (20 janvier 1775, Lyon - 10 juin 1836, Marseille), était un physicien français.) énonça une loi d'abord phénoménologique, qui décrivait l'effet observé. Démontrée depuis, dans le cadre plus général de l'électromagnétisme (L'électromagnétisme est une branche de la physique qui fournit un cadre très général d'étude des phénomènes électriques et magnétiques dans leur synthèse du champ électromagnétique : le champ...), cette relation est devenue le théorème d'Ampère. Elle n'est valable, en toute rigueur, que dans les cas magnétostatiques.

La formulation (La formulation est une activité industrielle consistant à fabriquer des produits homogènes, stables et possédant des...) originelle de ce théorème est la suivante :

\oint_C \boldsymbol B \cdot \mathrm d \boldsymbol \ell = \mu_0 I,

B étant le champ magnétique, C une courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles...) fermée et orientée et I l'intensité qui traverse (Une traverse est un élément fondamental de la voie ferrée. C'est une pièce posée en travers de la voie, sous les rails, pour en maintenir l'écartement et l'inclinaison, et...) une surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent abusivement confondu avec sa...) délimitée par C.

Cete équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre...) peut être écrite localement, on a alors :

\boldsymbol \nabla \wedge \boldsymbol B = \mu_0 \boldsymbol j

μ est la perméabilité magnétique du vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.), et j le vecteur densité de courant (On notant i le courant électrique dans une portion de conducteur, et soit un vecteur élément de surface d'une section droite de ce conducteur, on pose  :).

Cette relation étant mise en défaut dans le cas de champs magnétiques ou électriques dépendant du temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.), Maxwell introduisit en 1861 les « courants de déplacement », dont la variation corrigeait cette relation : c'est l'équation locale de Maxwell-Ampère. On peut l'écrire localement sous la forme :

\boldsymbol \nabla \wedge \boldsymbol B = \mu_0 \boldsymbol j + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol E}{\partial t},

E étant le champ électrique et ε la perméabilité électrique du vide.

On peut a posteriori réécrire cette loi sous forme intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une intégrale est donc composée d'un intégrande (la fonction à intégrer) et d'un opérateur que l'on appelle intégrateur (le...), également appelée théorème d'Ampère :

\oint_C \boldsymbol B \cdot \mathrm d \boldsymbol \ell = \epsilon_0 (I + I_{\rm D}),

avec

I_{\rm D} = \int_S \frac{\partial \boldsymbol E}{\partial t} \cdot {\rm d} {\boldsymbol S},

S est la surface délimitée par le contour C.

Ceci se comprend aisément grâce au théorème de Green-Stokes : \int_S (\boldsymbol \nabla \wedge \boldsymbol B) \cdot . {\rm d} {\boldsymbol S} = \oint_C \boldsymbol B \cdot {\rm d} \boldsymbol \ell.

Loi de Biot-Savart locale

La loi de Biot-Savart permet de donner l'expression du champ magnétique dans un milieu de perméabilité magnétique isotrope et homogène.

Le champ B généré en un point (Graphie) de coordonnées r par une charge (La charge utile (payload en anglais ; la charge payante) représente ce qui est effectivement transporté par un moyen de transport donné, et qui donne lieu à un paiement ou un bénéfice non pécuniaire pour être transporté.) q en mouvement, située en un point r’ et se déplaçant à la vitesse (On distingue :) v, est donné par la relation suivante :

\boldsymbol {B}(\boldsymbol r) = \frac{\mu}{4\pi} \; \frac{q \boldsymbol{v} \wedge ({\boldsymbol{r}} - {\boldsymbol{r'}})}{|{\boldsymbol{r}} - {\boldsymbol{r'}}|^3}.

Loi de Biot-Savart intégrale

Si on a affaire à une distribution de courants, qui est connue en tout point, alors on peut intégrer la relation locale.

Avec les notations précédentes, cela donne :

\boldsymbol B (\boldsymbol{r}) = \frac{\mu}{4\pi} \; \int \frac{\boldsymbol j (\boldsymbol{r}') \wedge (\boldsymbol r - \boldsymbol r')} {|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}'|^3} {\mathrm d} \boldsymbol x.

Potentiel vecteur

L'absence de monopôles magnétique implique que la divergence du champ magnétique est nulle :

\boldsymbol \nabla \cdot \boldsymbol B = 0.

Ceci implique, d'après les théorèmes de l'analyse vectorielle (L'analyse vectorielle est une branche des mathématiques qui étudie les champs de scalaires et de vecteurs suffisamment réguliers des espaces euclidiens, c'est-à-dire les applications différentiables d'un ouvert d'un...), qu'il existe un champ vectoriel A, dont le rotationnel est égal à B :

\boldsymbol B = \boldsymbol \nabla \wedge \boldsymbol A.

Un tel champ A est appelé potentiel vecteur, par analogie au potentiel électrique (Le potentiel électrique est l'une des grandeurs définissant l'état électrique d'un point de l'espace. Son unité est le volt.), dit « potentiel scalaire », du champ électrique.

Ce potentiel n'est toutefois pas unique : il est défini à un gradient près. En effet, le rotationnel d'un gradient est identiquement nul, aussi le potentiel vecteur A’ défini par :

\boldsymbol A' = \boldsymbol A + \boldsymbol \nabla \phi

vérifie-t-il également la relation :

\boldsymbol B = \boldsymbol \nabla \wedge \boldsymbol A'.

De façon quelque peu étrange, la quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière de dénommer la valeur d’une collection ou...) fondamentale (En musique, le mot fondamentale peut renvoyer à plusieurs sens.) n'est pas le champ magnétique mais le potentiel vecteur, alors que ce dernier ne peut être défini de façon univoque. Une telle situation (En géographie, la situation est un concept spatial permettant la localisation relative d'un espace par rapport à son environnement proche ou non. Il inscrit un lieu dans...) est appelée en physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique désigne...) invariance de jauge : des phénomènes identiques, ici le champ B, peuvent être générés par plusieurs configurations, appelées pour diverses raisons historiques « jauges » de l'objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut...) fondamental, ici le champ A. D'un point de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et...), l'invariance de jauge ( En tant qu'instrument de mesure : Une jauge est un instrument de mesure. On trouve par exemple : La jauge de contrainte, traduisant un effort mécanique en résistance...) est la cause d'une loi fondamentale de l'électromagnétisme, la conservation de la charge électrique (La charge électrique est une propriété fondamentale de la matière qui respecte le principe de conservation.). Cette loi, expérimentalement vérifiée à une très grande précision implique en effet que l'objet fondamental apparaissant en électromagnétisme n'est ni le champ magnétique ni le champ électrique, mais le potentiel vecteur et le potentiel électrique.

Connaissant A, on peut facilement en déduire B. Le fait que le potentiel vecteur soit plus fondamental que le champ magnétique transparaît en mécanique quantique (Fille de l'ancienne théorie des quanta, la mécanique quantique constitue le pilier d'un ensemble de théories physiques qu'on regroupe sous l'appellation générale de...), où en présence de champ magnétique, c'est en fait le potentiel vecteur qui apparaît dans l'équation de Schrödinger (L'équation de Schrödinger, conçue par le physicien autrichien Erwin Schrödinger en 1925, est une équation fondamentale en physique quantique non-relativiste....), qui décrit l'évolution des particules élémentaires. L'illustration la plus manifeste de la prééminence du potentiel vecteur se trouve dans l'effet Aharonov-Bohm, où l'on est amené à considérer des configurations dans lesquelles le champ B s'annule dans certaines régions alors que le potentiel vecteur A n'est pas nul (mis de rotationnel nul) et influence explicitement le comportement des particules.

Il est d'ailleurs possible de calculer le potentiel vecteur A directement à partir de la donnée (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un événement, etc.) des courants :

 \boldsymbol A (\boldsymbol r) = \frac{\mu}{4 \pi} \int \frac{\boldsymbol j (\boldsymbol r')}{|\boldsymbol r-\boldsymbol r'|} {\mathrm d} \boldsymbol x,

l'expression ci-dessus n'étant valable que lorsque les courants — donc les champs — ne dépendent pas du temps. En pratique, ces variations peuvent souvent être négligées tant que l'on n'étudie pas les ondes (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible de propriétés physiques locales. Elle transporte de l'énergie...) et leur propagation.

Dans ces derniers cas, il faut remplacer l'expression ci-dessus par une expression plus complexe, faisant appel au concept de potentiels retardés pour tenir compte du temps de propagation du champ magnétique.

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